江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期期末模拟数学试题.docx

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1、 2021/2022学年度第二学期高二期末模拟测试数 学注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式后由交集的概念判断【详解】由得，由得，故，故选：D2. 已知，在上

2、的投影为1，则在上的投影为（ ）A. -1B. 2C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量投影的定义进行计算即可.【详解】在上的投影为，即，在上的投影为，故选：C3. 某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同分配方法总数为（ ）A. 72B. 84C. 90D. 96【答案】B【解析】【分析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配方式再分AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求

3、解，最后相加即为结果.【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有种；第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共

4、3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法，综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式故选：B4. 从0，1，2，9这十个数字中随机抽取3个不同的数字，记A为事件：“恰好抽的是2，4，6”，记B为事件：“恰好抽取的是6，7，8”，记C为事件：“抽取的数字里含有6”.则下列说法正确的是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题得事件与事件互斥，进而，再根据题意，依次讨论求解即可.【详解】解：由题知，从10个数中随机的抽取3个数，共有种可能情况，对于A选项，“恰好抽的是2，4，6”和“恰好抽取的是6，7，8”为互斥事件，故A选项错误；对于B选

5、项，故B选项错误；对于C选项，故C选项错误；对于D选项，由于，故由条件概率公式得，故D选项正确.故选：D5. 若函数，则函数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值【详解】因为，所以.从而，当时，取得最小值，且最小值为.故选：D6. 若二项式的展开式中的系数是，则实数A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：二项式的通项公式为，令，得故展开式中的系数是，解得考点：二项式定理7. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数得出单调性，比较的大小即可

6、求出.【详解】设函数，则为偶函数，且当时，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，又，所以.故选：B.8. 已知定义在D的上函数满足下列条件：函数为偶函数，存在，在上为单调函数. 则函数可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性判断A；求出函数的零点判断B；分析函数的奇偶性，借助导数求出单调区间判断C；求出函数的定义域判断D作答.【详解】对于A，定义域为，即为奇函数，A不是；对于B，定义域为R，由得，即对任意的正整数k，都是的零点，显然不能满足条件，B不是；对于C，必有，则且，即定义域为且，则函数偶函数，满足条件，设，其导数，由得，令，当时，即在上为增函

7、数，而，在上为减函数，因此在上为减函数，即存在，在上为减函数，满足条件，C是；对于D，定义域为，不能满足条件，D不是.故选：C二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用超几何分布的性质，及超几何分布的期望求

8、解公式逐项验证.【详解】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，故；从而，故选项A正确；，故选项B错误，C正确；，故选项D正确；故选：ACD.10. 某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 图中的B. 成绩不低于80分的职工约80人C. 200名职工的平均成绩是80分D. 若单位要表扬成绩由高到低前25%职工，则成绩87分的职工A肯定能受到表扬【答案】AB【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质特点进行分析计算可得答案.【详解】对于A，得，故A正确；对于B，成绩不低于80分的职工人数为，故B正确；对于C

9、，平均成绩为，故C错误；第分位数为，故D错误.故选：AB.11. 双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 当n过时，光由所经过的路程为13C. 射线n所在直线的斜率为k，则D. 若，直线PT与C相切，则【答案】CD【解析】【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，

10、进而求出.即可求出.【详解】对于A：若，则.因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：二者联立解得：故A错误；对于B：光由所经过的路程为.故B错误；对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.故C正确.对于D：设直线PT的方程为.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正确故选：CD12. 若，则下列式子可能成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】构造函数，得到其单调性且零点情况，分与两种情

11、况进行讨论，由函数单调性解不等式，求出答案.【详解】令，则恒成立，所以单调递增，其中，则存在，使得当时，即，若，则，且，则，不满足，故，且，所以又因为，所以，D正确；当时，即（1）当时，则成立，故，B正确；（2）当时，若，则，因为，且在上单调递增，所以当时，则，所以，所以，又因为，所以，选项C正确.故选：BCD【点睛】对于多元方程或不等式问题，要根据方程或不等式特征构造函数，利用函数单调性进行求解，注意分类讨论.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若展开式中各项的系数之和为96，则展开式中的系数为_.【答案】25【解析】【分析】由题意可得，从而可求出，则展开式中的系数等于展开

12、式中一次项系数的2倍加上的3次项系数【详解】由题意可知，得，则，展开式的通项公式为，所以展开式中的系数为.故答案为：2514. 若圆的圆心在直线上，则C的半径为_【答案】【解析】【分析】先求得参数D，再去求C的半径即可解决.【详解】圆的圆心为则有，则，则C的半径为故答案为：15. 已知正方体ABCD的棱长为4，M在棱上，且1，则直线BM与平面所成角的正弦值为_【答案】【解析】【分析】作出正方体，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，计算即可.【详解】如图所示，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，所以有，则，设平面的法向量，则由，令，得，设直线BM与平面所成角为，则，故答

13、案为：.16. 若函数，则的最小值为_；若，且，则的最小值为_【答案】 . . 【解析】【分析】求函数的导数，根据导数判断其单调性，可求得答案；由可得 ，变形为，结合函数的单调性可得到，从而表示出，构造函数，利用导数求得最小值.【详解】由题意可得，则，当 时，函数递减，当 时，函数递增，故 时函数的极小值点，也是最小值点，故的最小值为；由，且可得 ，则 ，即有，由于，当 时， 单调递增，故由，可得 ，故，令 ，则，当 时，递减，当 时，递增，故，即得最小值为，故答案为：；【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最值问题，综合性较强，解答时候要注意对等式的合理变形，如将变形为，从而 可以为后面构造函

14、数，利用导数解决问题创造条件.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.（1）求的概率；（2）若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于的零件个数，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）0.1 （2）分布列见解析，数学期望为0.2【解析】【分析】（1）由正态分布的对称性求解；（2）X服从二项分布，求出相应的分布列及数学期望.【小问1详解】因为零件尺寸服从正态分布.所以，因为，所以.【小问2详解】依题意可得，所以.，所以X的分布列为X012P0.8

15、10.180.01所以（或）18. 已知f(x)是定义在区间1，1上的奇函数，且f(1)1，当a，b1，1，ab0时，有0成立.（1）判断f(x)在区间1，1上的单调性，并证明；（2）若f(x)m22am1对所有的a1，1恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）单调递增，证明见解析 （2）m|m0，或m2，或m2【解析】【分析】（1）任取x1，x21，1，且x1x2，再根据题意分析f(x1)f(x2) 的正负即可；（2）由（1）有f(x)1，再将题意转化为m22am0对所有的a1，1恒成立，进而构造函数g(a)2mam2，分类讨论分析即可【小问1详解】f(x)在区间1，1上单调递增.证明如下

16、：任取x1，x21，1，且x1x2，则x21，1.f(x)为奇函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2).由已知条件得.又x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).f(x)在区间1，1上单调递增.【小问2详解】f(1)1，f(x)在区间1，1上单调递增，在区间1，1上，f(x)1.f(x)m22am1对所有的a1，1恒成立，m22am11，即m22am0对所有的a1，1恒成立.设g(a)2mam2.若m0，则g(a)00，对a1，1恒成立.若m0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)0，对a1，1恒成立，必须有g(1)0，且g(1)0，m2或m2.综上所述，实数m的取值范

17、围是m|m0，或m2，或m2.19. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，焦距为，点在曲线上.（1）求的标准方程；（2）若是曲线上一点，为轴上一点，.设直线与椭圆交于两点，且满足的内切圆的圆心落在直线上， 求直线的斜率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）依题意列出几何量方程组，直接求解可得；（2）先求点P坐标，然后可得直线的斜率关系，设直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理代入斜率关系，化简可得.【小问1详解】易知，又，所以.所以；【小问2详解】因为，所以是的中点. 结合轴，所以轴，所以(). 因为的内切圆的圆心落在直线上，所以直线关于直线对称. 所以的倾斜角互补，所以 显然直线的斜率存在，

18、设：，由得，由得.设， ，则，由+，整理得，所以，即 若，则，所以直线的方程为，此时，直线过点，舍去.所以，即.所以的斜率为20. 手机用户可以通过微信查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较或点赞现从小华的朋友圈内随机选取了100人，记录了他们某一天的行走步数，并将数据整理如下表：02000200150005001800080011000010001以上男58121213女10121369若某人一天的行走步数超过8000则被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”（1）根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关；积极型懈怠型总计男女总

19、计附：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828，其中；（2）在被评定为“积极型的对象中采用分层抽样的方法从样本中抽取8人，再从中随机抽取3人，求抽到女性“积极型”人数X的概率分布列和数学期望【答案】（1）表格见解析，有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关 （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）首先根据题意完成下面的列联表，再计算，即可得到答案.（2）利用超几何分布求解即可.【小问1详解】列联表如下：积极型懈怠型总计男252550女153550总计4060100有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关【小问2详解】100

20、人中男生“积极型”有25人，女生“积极型”有15人抽取比例为53，抽取男生5人，女生3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，X的分布列如下X0123P.21. 在矩形ABCD中，点E是线段AD的中点，将ABE沿BE折起到PBE位置（如图），点F是线段CP的中点（1）求证：DF平面PBE：（2）若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即得；（2）由题建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量求法即得.【小问1详解】设PB的中点为G点，连接GF和GE，因为点G、点F分别为PB和PC的中点，所以且，又且，所以且，所以

21、四边形GFDE为平行四边形，所以，又GE平面PBE，DF平面PBE，所以DF平面PBE；【小问2详解】由二面角的大小为可知，平面平面，取BE得中点O，连接，则，平面，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面PCD的法向量为，则，令则，又，所以点A到平面PCD的距离为.22. 已知函数，且对恒成立（1）求的值；（2）若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意是极值点，由此求得并证明满足题意；（2）方程化为，证明，即，则有，设，由导数求得函数的单调性，函数的变化趋势后可得参数范围【详解】解：（1）因为，且，故是函数的极值点，因为，所以，故，又因当时，且，故在上增函数，在上减函数，故，故；（2）因为，则，设，则，故在上增函数，在上减函数，所以，因为，所以，设，则，因为，所以，故函数在上减函数，在上增函数，所以，又当无限增大或无限接近0时，都趋近于0，故，所以实数的取值范围是【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的极值，方程的根，解题关键是在于转化，方程根的个数用分离参数法转化为确定函数的性质（单调性，极值，变化趋势等）利用函数性质得出参数范围学科网（北京）股份有限公司