重庆市南开中学校2021-2022学年高一下学期期中数学试题.docx

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1、 重庆南开中学高2024级高一（下）期中考试数学试题一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项最符合题目要求的）1. 已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）A. B. 2C. D. 【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解.【详解】，所以z的虚部为.故选：A.2. 若向量，满足，则（ ）A. B. 2C. 2D. 4【2题答案】【答案】B【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】由题意可得.故选：B.3. 两个体积分别为，几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，则

2、“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【3题答案】【答案】B【解析】【分析】由祖暅原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解【详解】解：根据祖暅原理，由，得到，必要性成立，由，则，不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，充分性不成立，是的必要不充分条件，故选：B4. 如图，在ABC中，设，则（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】D【解析】【分析】根据向量的加法法则，即可求解.【详解】解：由题意得：，故选：D.5. 现将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，

3、得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】A【解析】【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.【详解】向右平移 个单位长度得，再将所得图像上所有点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得：，所以故答案为：A6. ABC中，则 ABC的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C 钝角三角形D. 不确定【6题答案】【答案】C【解析】【分析】先利用二倍角公式化简得到化简得，进而得到，再利用余弦定理判断.【详解】解：因为在 ABC中，所以，化简得，即，所以，因为，所以 ABC的形状为钝角三角形，故选：C7. 已知函数在区间上恰有3个零点，则正实数的取

4、值范围是( )A. B. C. D. 【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据，得，结合正弦函数图像，确定的位置范围即可求出的范围【详解】，函数在区间上恰有3个零点，则如图，故选：D8. 如图，正方体中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过，E，F三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为，则（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】C【解析】【分析】结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案.【详解】由于，所以共面，所以是台体，设正方体的边长为，所以.故选：C二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，

5、有选错的得0分9. 下列关于复数z的运算结论，正确的有（ ）A B. C. D. 【9题答案】【答案】ACD【解析】【分析】设出复数直接计算可得.【详解】记，则则，A正确；因为，故B错误；因为，所以又，故C正确；因为所以，D正确.故选：ACD10. 如图，正四棱柱中，点E，F，G分别为棱CD，的中点，则下列结论中正确的有( )A. 与FG共面B. AE与异面C. 平面AEFD. 该正四棱柱外接球的表面积为【10题答案】【答案】ABC【解析】【分析】证明即可判断；连接，证明与分别是两个互相平行的平面里面的不平行直线即可判断；取的中点为，连接，连接，证明即可判断；根据长方体外接球球心为体对角线中点

6、即可计算长方体外接球半径，从而计算其外接球表面积，从而判断D【详解】，且是中点，是中点，且，四边形是平行四边形，与共面，故A正确；连接四边形为平行四边形，故与不平行，而平面平面，平面面，和互为异面直线，故B正确；取的中点为，连接，连接.是中点，是中点，且四边形是平行四边形，是的中点，又是中点，在中，是中点，是中点，四边形是平行四边形，平面平面平面，故C正确设该四棱柱外接球半径为，则，故该正四棱柱外接球的表面积为，故D错误故选：ABC.11. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则ABC有唯一解D. 若，则【11题答案】【答

7、案】ACD【解析】【分析】根据正弦定理可解A，根据余弦定理和基本不等式可判断BD，根据余弦定理解三角形可判断C【详解】A选项：根据正弦定理得，故A正确；B选项：根据余弦定理得，故B错误；C选项：由余弦定理得，即，即，方程，设方程两根为，方程只有一个正根，即c边有唯一取值，故三角形有唯一解，故C正确；D选项：根据余弦定理得，当且仅当bc时取等号，故D正确故选：ACD12. 已知平面向量满足，则以下说法正确的是（ ）A. B. C. 若，则的最大值是D. 的取值范围是【12题答案】【答案】BCD【解析】【分析】由题意当时，由已知不能确定，判断A;利用绝对值不等式性质可判断B;建立直角坐标系，利用坐

8、标运算表示出，结合三角函数性质，判断C;作图分析可得向量 对应的点轨迹为圆，利用圆的性质，结合数量积的几何意义，可判断D.【详解】A选项：当时， ，即，由已知不能确定是否成立，故A错误；B选项：，B选项正确：对于C,因为，故以向量，起点坐标原点，方向为y轴正方向，方向为x轴正方向，建立坐标系,则，设，由，得，设， ，则，其中， ，故，当且仅当 时取等号，故，故C选项正确；D选项：以，邻边作平行四边形OADB为菱形， ，设 ，由题目条件，可知点C的轨迹是以D为圆心，为半径的圆设，则，所求的，即为在上的投影，如图所示，延长OA交点C的轨迹于F,作 ,当C为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值，

9、当时取等号，同理，可得，当 时取等号，故，故D选项正确，故选：BCD三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 在中，是角所对的边长，若，则_【13题答案】【答案】【解析】【分析】由正弦定理得到，设的三边分别为，结合余弦定理，即可求解.【详解】由，由正弦定理可得，可设的三边分别为，由余弦定理可得，故答案为：.14. 如图，ABC中，点M为边BC的中点，点N为边AB的中点，则_【14题答案】【答案】1【解析】【分析】用作为基底表示出即可根据数量积的运算律计算【详解】故答案为：115. 某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台经测量，灯罩的上底面直

10、径为18 cm，下底面直径为34 cm，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为_(结果保置)【15题答案】【答案】【解析】【分析】作出圆台轴截面图像和侧面展开图，找到边长对应关系，根据扇形面积和圆的面积计算公式即可计算【详解】如图为圆台轴截面：如图为圆台侧面展开图：圆台上底面半径为，下底面半径为，则扇环面积为：，则新灯罩所需环保材料的面积为：故答案为：16. ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，点D、E分别在边AC、BC上，若，则ABC的面积的最大值为_【16题答案】【答案】【解析】【分析】根据条件结合余弦定理和三角恒等变换得出角,在中由余弦定理求出

11、的最大值，从而得出答案.【详解】由可得即,即由则，所以即,由则, ,又,所以 在中, 所以所以，当且仅当时等号成立.由 所以ABC的面积的最大值为故答案为：四、解答题（共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知z为虚数，为z的共轭复数，满足，其中i为虚数单位（1）求（2）若为纯虚数，求实数m的值【17题答案】【答案】（1）5 （2）【解析】【分析】（1）设，根据，利用复数相等求解；（2）先化简，再根据为纯虚数求解.【小问1详解】解：设，则，由题意得：，即，则，解得，所以；【小问2详解】，且为纯虚数，19. 已知平面直角坐标系xOy中，有三个不同的点A，B，C，其

12、中，（1）若，求点C的坐标；（2）若，且，求【19题答案】【答案】（1）； （2）【解析】【分析】(1)根据向量线性运算的坐标表示即可列方程求解；(2)向量垂直，数量积为零，据此求出C的坐标，再根据向量数量积坐标表示即可求解【小问1详解】，即C的坐标为【小问2详解】，由，解得：或，又A，B，C为三个不同的点，21. 已知平面向量，设函数（1）求函数图象的对称轴；（2）若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围【21题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由的取值范围，求出的范围

13、，即可求出函数的单调区间，依题意可得与在上有两个不同的交点，即可得解；【小问1详解】解：因为，且，所以即，当时，解得，所以对称轴【小问2详解】解：当时，令，解得，即函数在上单调递增，令，解得，即函数在上单调递减，又，在区间上有两个不相等的实数根，即与有两个不同的交点，23. 在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知（1）求角B的大小；（2）给出三个条件：；，从中选出两个作为已知条件，求ABC的面积【23题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数化简可得；（2）选利用余弦定理可求出，再由面积公式求解；选由余弦定理及正弦定理转化为关于c的方程求解即可得

14、，再得出，由三角形面积公式求解；选由正弦定理转化为三角形边的方程，再联立已知即可求出，由面积公式求解.【小问1详解】，从而【小问2详解】若选：已知，由（1）可知，由余弦定理可得，即解得若选：已知，由余弦定理可得，即，若选：已知，.25. “方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区、技术保障区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能某市有一块三角形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地如图所示，D是BC中点，E、F分别在AB、AC上，CDF拟建成技术保障区，四边形AEDF拟建成病房区，BDE拟建成

15、医疗功能区，DE和DF拟建成专用快速通道，记（1）若，求病房区所在四边形AEDF的面积；（2）当取何值时，可使快速通道E-D-F的路程最短？最短路程是多少？【25题答案】【答案】（1） （2），最短路程【解析】【分析】（1）根据已知条件中的几何关系可知，是直角三角形、是等边三角形 ，分别求出线段的长，再进行面积求解即可；（2）在BDE中和CDF中分别表示出、，表示出快速通道E-D-F的路程，再运用三角恒等变换公式进行化简，最后从函数值域的角度求最值.【小问1详解】，则中，；为等边三角形，四边形为直角梯形，其面积为：【小问2详解】在BDE中，由正弦定理：在CDF中，由正弦定理；所以，设，则在上单

16、调递减，所以当即时，取最小值.27. 如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，EF是圆柱上异于AD，BC的母线，P，Q分别为线段BF，ED上的点（1）若P，Q分别为BF，ED的中点，证明：平面CDF；（2）若，求图中所示多面体FDQPC的体积V的最大值【27题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）最大值【解析】【分析】（1）连接，根据圆柱的性质可得四边形为平行四边形，即可得到为的中点，从而得到，即可得证；（2）设，即可得到，再根据比例关系，表示出，表示出三棱锥与三棱锥的高，根据锥体的体积公式得到，令，则，再令，根据函数的性质求出最大值；【小问1详解】证明：如图连接，根据圆柱的性质可得且，所以四边形为平行四边形，因为为中点，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，【小问2详解】解：中，设，则，所以，所以，设三棱锥高为，设三棱锥高为，由比例关系，可知，所以，设，令，当且仅当时取等号，则又关于在上单调递减，当，即，即时，取到最大值学科网（北京）股份有限公司