高三数学一轮复习专题-平面与平面垂直的题型讲义.docx

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1、高三数学第一轮复习专题 平面与平面垂直的题型第一部分 基础知识一、二面角：1。半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，每一部分都叫做半平面。2。二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。 棱为，面为为二面角记作：。3。二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线OA、OB，叫做二面角的平面角。 二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的度数等于其平面角的度数。 平面角是直角的二面角叫做直二面角。规律：几何法寻找二面角平面角的方法：寻找棱的垂面。二、 面面垂直的判定定理：面面垂直定义：两

2、平面相交，若它们所成的二面角是直二面角，则称这两个平面垂直。 1.面面垂直判定定理：若一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。证明：设，在内过B作 又 为二面角的平面角又 2.推论：若一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。（小题中使用）证明：过作平面交平面于直线。 又 又 。 三、面面垂直的性质定理：1.面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 三个核心条件：证明：在内过B作，则为二面角的平面角 又 第二部分 面面垂直的基本题型题型一：证明两平面垂直 规律：证明两平面垂直，关键是要在一个平面中找到另一平面的垂线。例1.在几何

3、体中，四边形ABCD为矩形，求证：。证明： 又 。例2.在长方体中，E是的中点，F是CE的中点。（1）求证：EA平面BDF；（2）求证：。分析：可以看出，要证，只需证：。（2）证明： 。例3如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且.(1)求证：；(2)若，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.【分析】（1） 由已知，根据条件先推导，然后再根据，结合，使用线面垂直的判定定理证明平面，然后再使用面面垂直的判定定理证明面面垂直即可；规律总结：欲证面面垂直，先证线面垂直，即先在一个平面中找出另一平面的垂线，这一步需要眼光，多做题可以训练出眼光。证明：，又，又平面，平面，又，平面，平面，而平

4、面，平面平面.例4如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，且BAP =CDP =90(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPD，PA = PD = 2，AB = 4，求三棱锥的体积【分析】（1）证平面，由面面垂直的判定定理可得到证明；证明：（1），又，平面PAD，平面，平面，AB 平面PAB，平面PAB平面PAD例5如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，F分别是棱的中点，二面角为.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【分析】（1） 作出辅助线，由余弦定理求出PB，从而由勾股定理逆定理得到线线垂直，从而证明线面垂直，得到面面垂直；证明：(1)连接PE，BE，为A

5、D中点，PEAD，E为AD中点，BEAD，AD平面PBE，平面PBE，ADPB，E为AD中点，由勾股定理得：，由勾股定理逆定理可得：，BEAD，PEAD，即为二面角的平面角，=.在三角形PEB中，由余弦定理得：，平面ABCD，平面PBC，平面PBC平面ABCD例6如图，在水平放置的直角梯形中，.以所在直线为轴，将向上旋转角得到，其中.(1)证明：平面平面；(2)若平面与平面的夹角余弦值不超过，求的范围.【解析】（1）首先利用线面垂直的判定定理证明平面，又由可证平面，再根据面面垂直的判定定理可证平面平面；（1）证明：由题意，且平面，平面；又，平面，而平面，平面平面；例7如图，在四棱锥中，底面AB

6、CD是边长为2的菱形，M为BC中点，且(1)求证：平面平面PMD；(2)若平面平面ABCD，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值【解析】（1） 结合已知条件及线面垂直的判定定理证明平面PDM，再由面面垂直的判定定理即可证明；(1)证明：在菱形ABCD中，为的中点，平面PMD又平面DMC，平面平面PMD例8如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面(1)证明：平面平面；(2)设，求二面角的余弦值【解析】（1）易得，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；(1)证明：是圆的直径，又平面，平面，且，平面，平面，又平面，平面平面；题型二：面面垂直性质定理的应用。规律：凡

7、是已知条件中有面面垂直的，都要用到面面垂直的性质定理。注意：面面垂直性质定理有三个核心条件，缺一不可！关键：找出两平面的交线，并在两平面中找出垂直于交线的垂线。例1。如图，在四棱锥中，为等边三角形，已知，（1）设M为PC上一点，证明：。（2）求四棱锥体积。分析：要证，因为上动点，故只需证即可。而条件中的是一定要用上的，其交线为，故只需证即可。（1）证明： 又 。(2)取AD的中点O，连接PO，作于H为等边三角形，O为AD中点 又 又 。例2如图，在四棱锥中，平面平面ABCD(1)证明：平面ABCD；(2)AD与平面PBD所成角的正弦值为，求三棱锥的表面积【解析】（1）取AD中点为Q，由题意可得

8、，又平面平面，可得平面，由线面垂直的判断定理即可证明；(1)证明：取AD中点为Q，在四棱锥中，且，四边形为平行四边形，又平面平面，平面平面，平面，又，平面ABCD；例3如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，为的中点(1)证明：；(2)若面积为，求点到面的距离【解析】【分析】(1) 由平面平面，根据面面垂直性质定理证明平面，由此证明，(1)证明：在等边三角形中，为的中点，又 平面平面，平面面，平面，平面，平面， ；例4如图，在三棱锥中，平面平面平面.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的大小.【解析】【分析】（1）作于，先证平面，得，又，即可证得平面；(1)证明：作于，平面平面，平面平面

9、，平面，则平面，又平面，则，又平面，平面，则，又平面，则平面；例5如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是的菱形，平面PAD垂直于底面ABCD，G为AD边的中点. 求证：(1)平面PAD；(2)若，求多面体PABCD的体积.【解析】【分析】（1）利用面面得到平面；(1)证明：四边形是的菱形，为等边三角形，又为的中点，又平面平面，平面，平面平面，平面；例6如图，在三棱锥中，平面平面，O为的中点，(1)证明：平面；(2)点E在棱上，若，二面角的大小为，求实数的值【解析】（1） 根据题意可得，结合面面垂直的性质定理可证平面；(1)证明：在中，O为的中点，又平面平面，平面平面，平面，平面例7如图，在四棱锥中，面平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，满足，点G在线段PC上，且.(1)求证：；(2)求证：PA平面BDG.【解析】（1）由结合面面垂直的性质证得面PCD，即可证得；(1)证明：由，可得，又面平面ABCD，面平面ABCD，平面，面，又面，；14学科网（北京）股份有限公司