对数以及对数运算 讲义--暑假初高衔接高一数学.docx

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1、专题4.3【重点题型归类】【题型1 对数有意义的条件】【题型2 指数式与对数式的互化】【题型3 解对数方程】【题型4 对数运算性质的化简求值】【题型5 换底公式运用】【题型6 用已知对数表示其他对数】【题型7 对数的实际应用】【题型8 利用对数式与指数式的互化解题 选讲】【知识点框架梳理】1对数的定义、性质与对数恒等式(1)对数的定义：一般地，如果=N(a0,且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）对数的基本性质负数和零没有对数，即；（思考为什么？）； 2常用对数与自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把记为.(2)

2、自然对数：在科学技术中常使用以无理数2.71828为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为.3.对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a0，且a1时，=Nx=.用图表示为： 4对数的运算性质条件,且，性质(nR)5对数的换底公式及其推论(1)换底公式：(a0，且a1；c0，且c1；b0)(2)换底公式的推论：； （可推导出：；）.（3）对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子【经典例题解析】【方法点拨】，若a0且a1，N0【例1】【变式1-1】【题型1 对数有意义的条件】【例1】对数式log（a2）（5a）中实数a的取值

3、范围是（）A（，5） B（2，5） C（2，3）（3，5）D（2，+）【变式1-1】若对数式log（t2）3有意义，则实数t的取值范围是（）A2，+）B（2，3）（3，+）C（，2）D（2，+）【变式1-2】在Mlog（x3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）A（，3B（3，4）（4，+）C（4，+）D（3，4）【变式1-3】若对数ln（x25x+6）存在，则x的取值范围为 【题型2 指数式与对数式的互化】【方法点拨】将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可，而将对数化为指数，则反其道而行之。【例2】将下列指数式与对数式互化。（1） ；（2）. （3

4、）； （4） .（5）ln102.303； （6）lg0.012；【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）102100； （2）lnab； （3）73343； （4）log62【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：（1）log2164（2）273 （3）216（4）1g0.0013【题型3 解对数方程】【方法点拨】基本型将对数式转化为指数式，解出需代入型转化为x=1或x=a将对数式化为指数式，解出，注意检验且同底数型转化为求解，必须检验且【例3】求下列各式中x的值：（1） log4x （2）x16 （3）log2（log3x）1 （4）log5（log2x）0；(5)

5、（6） （7）【变式3-1】将下列对数式化为指数式求x值：（1） logx27 （2）log2x （3）；（4） （5）【变式3-2】将下列对数式化为指数式求x值：（1） （2）【题型4 对数运算性质的化简求值】【方法点拨】（1）基本原则：正用或逆用公式，对真数进行处理；选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行（2）两种常用的方法：“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)【例4-1】计算下列各式的值：（1） （2） （3）（4）（5）（6）（7） 【例4-2】计算下列各式的值：（1） （2） （3）（4）

6、（5）（6）【变式4-1】计算下列各式的值：（1）（2）（3）（4） （5） （6） （7）【变式4-2】计算下列各式的值：（1）(lg 5)22lg 2(lg 2)2； （2）. （3）（4）2（lg）2+lg2lg5+ (5)；【题型5 换底公式运用】【方法点拨】【例5-1】利用对数的换底公式化简下列各式：（1）logaclogca； （2）log23log34log45log52； （3）（log43+log83）（log32+log92）（4） (log2125log425log85)(log52log254log1258)【变式5-1】（2021春金凤区校级期末）计算（log54）（

7、log1625）（）A2B1C12D14【变式5-2】利用换底公式求log225log34log59的值【题型6 用已知对数表示其他对数】【方法点拨】对数运算性质以及换底公式的综合运用。【例6-1】已知lg2a，lg3b，用a，b表示下列各式的值（1）lg12； （2）log224；（3）log34； （4）lg【例6-2】已知log189a，18b5，用a、b表示log645【变式6-1】（1）已知log310a，log625b，试用a，b表示log445（2）已知log627a，试用a表示log1816【变式6-2】（1）已知log147a，log145b，用a、b表示log3528（2）

8、已知log189a，18b5，用a、b表示log3645【题型7 对数的实际应用】【方法点拨】对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【例7】（2021双台子区校级开学）音乐是有不同频率的声音组成的，若音1（do）的频率为f，则简谱中七个音1（do）、2（er）、3（mi）、4（fa）、5（so）、6（la）、7（si）组成的音阶频率分别是f、98f、8164f、43f、32f、2716f、243128f

9、其中相邻两个音的频率比是一个到另一个音的台阶，上述“七声音阶”只有两个不同的值，记为、（），称为全阶，称为半音，则下列关系式成立的是（）（参考数据：lg20.3010、lg30.4771）A2B2C|lglg|0.01D|lg2lg|0.01【变式7-1】（2021春烟台期末）某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的23若该物质的剩余质量变为原来的14，则经过的时间大约为（）（lg20.301，lg30.477）A2.74年B3.42年C3.76年D4.56年【变式7-2】（2021凉山州模拟）a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为ba，这个质量比决定了糖水的甜度，

10、如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为b+ma+mba（ab0，m0）若x1log32，x2log1510，x3log4520，则（）Ax1x2x3Bx1x3x2Cx3x1x2Dx3x2x1【题型8 利用对数式与指数式的互化解题 选讲】【方法点拨】(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化（底数不变，左右交换）(2)对于连等式可令其等于k(k0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解【例8】求解下列试题。（1），求； （2）已知2x3y5z，且1，

11、求x，y，z.【变式8-1】求解下列试题。 （1）若，求；（2）已知，求【课后训练】1（3分）（2021秋南开区校级期中）2log62+3log633=（）Alog623B2C0D12计算log225log32log59的结果为()A3 B4C5D63（3分）（2021秋湖南期中）设4a3b36，则1a+2b=（）A3B1C1D34（3分）（2021秋鼓楼区校级月考）声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L110lg（I1012）若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A106倍B105倍C104倍D103倍5.在Mlog（x+2）（3-x）中，要使式子有意义，x的取值范围为 。6（4分）（2021秋仁寿县校级期中）计算：lg52+23lg8 7 （4分）（2021黄浦区二模）方程2log4x+13的解x 8求值：_A1B2C0D-19求满足下列条件的x的值：（1）； （2）；（3）； （4）.10计算或化简：（1）； （2）（3）； .11 （1）求的值.（2）已知，试用，表示13学科网（北京）股份有限公司