湖南省邵阳市2020-2021学年高一下学期期末考试——数学试题.doc

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1、 2021年上学期高一期末考试数学试题一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合Ax|2x15，B3，4，5，6，则AB（）AB3C3，4，5，6D4，5，62若aR，且复数a1+（a2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则a（）A1B1C2D23已知向量（9，6），（3，x），若，则（）（）A26B25C25D264已知函数，则f（2021）（）A1 B2 C D35已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若，m，n，则mnD若mn，n，则m6某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改

2、善，野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i1，2，15），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，经统计得60，1200，则该地区这种野生动物数量的估计值为 （）A60B12000C1200D60007已知正方体的棱长为4，点为中点，点为中点，若平面过点且与平面平行，则平面截正方体所得的截面面积为（）AB2CD38函数（，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）A

3、函数的最小正周期是2B函数的图象关于点成中心对称C函数在单调递增D将函数的图象向左平移后得到的关于y轴对称二选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。部分选对的特2分，有选错的得0分。9经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，xn，则下列说法正确的是（）A若数据x1，x2，xn方差s20，则所有的数据xi（i1，2，n）相同B若数据x1，x2，xn的均值为3，则数据yi2xi+1（i1，2，n）的均值为6C若数据x1，x2，xn的中位数为90，则估计总体中有至少有50%的数据不大于90D若数据x1，x2，xn的众数为78，则可以

4、说总体中的众数为7810在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）Aa2b2+c22bccosABasinBbsinACabcosC+ccosBDacosB+bcosCc11在ABC中，A90，AB3，AC4，点D为线段AB上靠近A端的三等分点，E为CD的中点，则下列结论正确的是（）A B与的夹角的余弦值为C DAED的面积为212如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，ADDE2，G为线段AE上的动点，则（）AAECFB多面体ABCDEF的体积为C若G为线段AE的中点，则GB平面CEFDBG2+CG2的最小值为11三填空题：本题共4小题，每小题

5、5分，共20分。13若对任意xR，cos（x）sinx恒成立，则常数的一个取值为 14已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互独立，则同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为 15设函数，则使得成立的的取值范围是 .16我国古代数学名著九章算术中，将底面是直角三角形的直棱柱称之为“堑堵”如图，三棱柱ABCA1B1C1为一个“堑堵”，底面ABC中，ABAC，且ABAC2，AA14，点P在棱CC1上，当A1PBP时，三棱锥PABC外接球的表面积为 四解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知|4，

6、|3，（23）（2）43（1）求与的夹角；（2）求18（12分）某校2020届高三数学教师为分析本校2019年高考文科数学成绩，从该校文科生中随机抽取400名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段80，90），90，100），100，110），110，120），120，130），130，140后得到如图所示的频率分布直方图（1）若每组数据以该组的中点值作为代表，估计这400个学生数学成绩的众数和平均数；（2）用分层抽样的方法，从这400名学生中抽取20人，再从所抽取的20人中成绩在120，140内的学生中抽取2人，求这2人至少有一人成绩在130，140内的概率 19（12分）如图，三棱柱

7、ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，且各棱长均相等D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（1）证明：EF平面A1CD（2）求直线EF与直线A1B1所成角的正弦值20（12分）中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.（1）求A；（2）若BC3，求周长的最大值.21（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.22（12分）已知关于x的不等式ax2x+1a0（1）当aR时，解关于x的不等式；（2）当a2，3时，不等式ax2x+1a0恒成立，求x的取值范围2021年上学期高一期末考试

8、数学参考答案一选择题（共8小题）1已知集合Ax|2x15，B3，4，5，6，则AB（）AB3C3，4，5，6D4，5，6【答案】D2若aR，且复数a1+（a2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则a（）A1B1C2D2【答案】A【点评】本题考查了复数基本概念的理解，解题的关键是掌握纯虚数的定义，考查了运算能力，属于基础题3已知向量（9，6），（3，x），若，则（）（）A26B25C25D26【解答】解：，9x18，x2，（3，2），（6，4），（）36+2426故选：D4已知函数，则f（2021）（）A1B3Clog36D2【解答】解：根据题意，函数f（x），则f（2021）f（3+4506）f（3

9、）log33+23；故选：B5已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若，m，n，则mnD若mn，n，则m【解答】解：对于A，若m，n，则mn或m与n相交或异面，故A错误；对于B，若m，mn，则n或n或n与相交，相交也不一定垂直，故B错误；对于C，若，m，则m，又n，mn，故C正确；对于D，若mn，n，则m或m，故D错误故选：C6某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i1，2

10、，15），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，经统计得60，1200，则该地区这种野生动物数量的估计值 （）A60B12000C1200D6000【解答】解：由题意可知，15个样区的野生动物的平均数为1200，所以该地区这种野生动物数量的估计值为故选：B7已知正方体的棱长为4，点为中点，点为中点，若平面过点且与平面平行，则平面截正方体所得的截面面积为（）AB2CD3【解答】如图所示，取的中点，则平面即为平面，过点作的平行线与交于点，则，过点作的平行线与交于点，则，平面截正方体所得的截面为，且，在中，所以，故的面积为故答案为：故选：A8函数（，）的部

11、分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）A函数的最小正周期是2B函数的图象关于点成中心对称C函数在单调递增D将函数的图象向左平移后得到的关于y轴对称【解答】根据函数（，）的部分图象以及圆C的对称性，可得，两点关于圆心对称，故，则，解得：，函数的周期为，故A错误；函数关于点对称，函数的对称中心为，则当时，对称中心为，故B不正确；函数的一条对称轴为，在x轴负方向内，接近于y轴的一条对称轴为，由图像可知，函数的单调增区间为，当时，函数的单调递增区间为，故C正确；的一条对称轴为，函数的图象向左平移个单位后，此时，所得图象关于直线对称，故D错误.故选

12、：C二多选题（共4小题）9经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，xn，则下列说法正确的是（）A若数据x1，x2，xn方差s20，则所有的数据xi（i1，2，n）相同B若数据x1，x2，xn的均值为3，则数据yi2xi+1（i1，2，n）的均值为6C若数据x1，x2，xn的中位数为90，则估计总体中有至少有50%的数据不大于90D若数据x1，x2，xn的众数为78，则可以说总体中的众数为78【解答】解：对于A，数据x1，x2，xn的方差为s20，则所有的数据xi（i1，2，n）相同，即x1x2xn，所以选项A正确；对于B，数据x1，x2，xn的均值为3，则数据yi2xi+1（i1，2，n）

13、的均值为23+17，所以选项B错误；对于C，数据x1，x2，xn的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90，符合百分位数的定义，选项C正确；对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，选项D错误故选：AC10在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）Aa2b2+c22bccosABasinBbsinACabcosC+ccosBDacosB+bcosCc【解答】解：由余弦定理可知A显然成立；由正弦定理，得asinBbsinA，B正确；因为bcosC+ccosB2RsinBcosC+2RsinCcosB2Rsin（B+C）2Rsin

14、Aa，C成立；因为acosB+bcosC2RsinAcosB+2RsinBcosC2R（sinAcosB+sinBcosC）2RsinCc，D不正确故选：ABC11在ABC中，A90，AB3，AC4，点D为线段AB上靠近A端的三等分点，E为CD的中点，则下列结论正确的是（）AB与的夹角的余弦值为CDAED的面积为2【解答】解：在ABC中，A90，AB3，AC4，故以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，0），B（3，0），C（0，4），D（1，0），E（），所以，对于A，因为，所以，故选项A正确；对于B，所以与的夹角的余弦值为，故选项B错误；对于C，故选项C正确；对于D，AED

15、的面积为，故选项D错误故选：AC12如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，ADDE2，G为线段AE上的动点，则（）AAECFB多面体ABCDEF的体积为C若G为线段AE的中点，则GB平面CEFDBG2+CG2的最小值为11【解答】解：如图所示，将几何体ABCDEF补全成棱长为2的正方体，在正方体中，因为CFDM，DMAE，所以AECF，故A正确，因为VABCDEFV正方体2VFAME82，所以B错误，当G为线段AE的中点时，因为平面GBDCEF，所以GBCEF，故C正确，过G作AD的垂线，垂足为H，连接HB，HC，则BG2+CG2AB2+AG2+CD2+DG28+AG2+

16、DG28+AH2+DH2+2GH2，因为AHGH，所以BG2+CG28+DH2+3AH28+（2AH）2+3AH24AH24AH+124（AH2+11，当AH时，BG2+CG2取得最小值为11，故D正确，故选：ACD三填空题（共4小题）13若对任意xR，cos（x）sinx恒成立，则常数的一个取值为【解答】解：因为对任意xR，cos（x）sin（x）sin（x+）sin（x）恒成立，所以x+x+2k，kZ，可得2k+，kZ，故答案为：（或2k+，kZ中的一个）14已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互独立，则同一场比赛中他们两人至少有一人

17、进球的概率为0.58【解答】解：一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互独立，同一场比赛中他们两人至少有一人进球的对立事件是他们两人同时不进球，同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为：P1（10.4）（10.3）0.58故答案为：0.5815设函数，则使得成立的的取值范围是 .【解答】，所以，为上的偶函数，又，当时，故在上为增函数.因，由 得到，故，或故答案为：16我国古代数学名著九章算术中，将底面是直角三角形的直棱柱称之为“堑堵”如图，三棱柱ABCA1B1C1为一个“堑堵”，底面ABC中，ABAC，且ABAC2，AA14，点P在棱CC1上

18、，当A1PBP时，三棱锥PABC外接球的表面积为12【解答】解：在RtABC中，由ABAC2，得BC，在RtAA1B中，设PC1a，则PC4a（0a4），在RtA1C1P中，可得，在RtBPC中，BPA1PBP，得，解得a2，则PC4a2即P为CC1的中点底面ABC为直角三角形，外接圆的圆心在斜边BC的中点M处，设三棱锥PABC外接球的球心为O，则OM平面ABC，且OMPC1R，三棱锥PABC外接球的表面积为S4R24312故答案为：12四解答题（共6小题）17已知|4，|3，（23）（2）43（1）求与的夹角；（2）求【解答】解：（1）|4，|3，（23）（2）43可得48，所以6，所以6，

19、所以cos，可得（2）18某校2020届高三数学教师为分析本校2019年高考文科数学成绩，从该校文科生中随机抽取400名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段80，90），90，100），100，110），110，120），120，130），130，140后得到如图所示的频率分布直方图（1）若每组数据以该组的中点值作为代表，估计这400个学生数学成绩的众数和平均数；（2）用分层抽样的方法，从这400名学生中抽取20人，再从所抽取的20人中成绩在120，140内的学生中抽取2人，求这2人至少有一人成绩在130，140内的概率【解答】解：（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，即众

20、数的估计值为115平均数估计值为10（850.005+950.010+1050.020+1150.03+1250.025+1350.010）114；（2）由频率分布直方图得，成绩在80，90）内的人数为0.0051040020人，90，100）内的人数为0.0101040040人，100，110）内的人数为0.0201040080人，110，120）内的人数为0.03010400120人，120，130）内的人数为0.02510400100人，130，140内的人数为0.0101040040人，按照分层抽样方法，抽取20人，则成绩在80，90）的1人，90，100）的2人，100，110）的4

21、人，110，120）的6人，120，130）的5人，130，140的2人，记成绩在120，130）内的5人分别为a，b，c，d，e，成绩在130，140的2人分别为x，y，则从成绩在120，140内的学生中任意取2人的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，e），（b，x），（b，y），（c，d），（c，e），（c，x），（c，y），（d，e），（d，x），（d，y），（e，x），（e，y），（x，y），共21种，其中成绩在130，140中至少有1人的基本事件有：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x）

22、，（c，y），（d，x），（d，y），（e，x），（e，y），（x，y），共11种，所以2人中至少有一人成绩在130，140内的概率19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，且各棱长均相等D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（1）证明：EF平面A1CD（3）求直线EF与直线A1B1所成角的正弦值【解答】（1）证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1连结ED，在三角形ABC中，因为D、E分别为AB、BC的中点，所以DEAC且DEAC，又因为F为A1C1的中点，可得A1FDE，且A1FDE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以A1DEF又EF平面A

23、1CD，DA1平面A1CD，所以EF平面A1CD（2）易知：A1DEF，直线EF与直线A1B1所成角，就是直线A1D与直线A1B1所成角，也是A1DA，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，且各棱长均相等D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点设棱长为2，则AD1，A1D，sinA1DA直线EF与直线A1B1所成角的正弦值：20（12分）中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.（1）求A；（2）若BC3，求周长的最大值.【解答】（1）由正弦定理可得：，（2）由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.21（12分）如图

24、，在三棱锥中，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【解答】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AOBD因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD，平面ABD，因此AO平面BCD，因为平面BCD，所以AOCD (2)作EFBD于F, 作FMBC于M,连FM因为AO平面BCD，所以AOBD, AOCD所以EFBD, EFCD, ,因此EF平面BCD，即EFBC因为FMBC，,所以BC平面EFM，即BCMF则为二面角E-BC-D的平面角, 因为,为正三角形,所以为直角三角形因为,从而EF=FM= 平面BCD,所以 22

25、已知关于x的不等式ax2x+1a0（1）当aR时，解关于x的不等式；（2）当a2，3时，不等式ax2x+1a0恒成立，求x的取值范围【解答】解：（1）不等式ax2x+1a0可化为（x1）（ax+a1）0，当a0时，不等式化为x10，解得x1，当a0时，不等式化为（x1）（x）0，解得x，或x1；当a0时，不等式化为（x1）（x）0；0a时，1，解不等式得1x，a时，1，解不等式得x1，a时，1，解不等式得x1综上，当a0时，不等式的解集为x|x1，当a0时，不等式的解集为x|x或x1，0a时，不等式的解集为x|1x，a时，不等式的解集为x|x1，a时，不等式的解集为x|x1（2） 由题意不等式ax2x+1a0对a2，3恒成立，可设，a2，3，则是关于a的一次函数，要使题意成立只需：，解之得：，所以x的取值范围是