广东省仁化县仁化中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题（解析版）.docx

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1、 第二学期期中考试高二年级数学试卷第卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据集合的交并补定义进行计算即可【详解】，故选：C2. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则不同的排列顺序有（ ）种A. 6B. 4C. 3D. 2【2题答案】【答案】A【解析】【分析】运用排列的定义进行求解即可.【详解】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则不同的排列顺序有，故选：A3. 在等差数列中，则（ ）A. 3B. 4C. 5D. 7【3

2、题答案】【答案】D【解析】【分析】先求出等差数列的公差，再利用通项公式进行求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，则.故选：D.4. 随机变量的分布列如表：则（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】A【解析】【分析】由分布列中的概率和为可直接求得结果.【详解】由分布列性质知：，解得：.故选：A.5. 北京在2022年成功召开了冬奥会和冬残奥会，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事，是世界唯一的双奥之城我校计划举行奥运知识演讲比赛，某班有5名同学报名参加班级预赛，其中有2名男同学，3名女同学，要求男同学比赛顺序相邻，则这5名同学不同的演讲顺序有（ ）A. 12

3、0种B. 72种C. 48种D. 36种【5题答案】【答案】C【解析】【分析】应用分步计数，首先将2名男生全排，再把他们作为整体与3名女生全排列，即可得结果.【详解】1、男同学之间排序有种，把他们看成一个整体，2、把3个女生与男生组合作全排列有种，所以共有种.故选：C6. 的展开式中常数项是（ ）A. 60B. 160C. 120D. 240【6题答案】【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项进行求解.【详解】的展开式的通项为，令，得，即，即展开式常数项为160.故选：B.7. 已知等比数列的前项和是，若，则（ ）A. 或5B. 或5C. D. 【7题答案】【答案】C【解析】【分析】利用

4、等比数列通项公式及前项和公式列出方程组，解得即可【详解】解：等比数列的前项和是，当公比时，无解，当公比时，解得，故选：C8. 已知函数，若恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】B【解析】【分析】令，利用导数分析函数的单调性与极值，将问题转化为直线与曲线有三个交点，数形结合可得实数的取值范围.【详解】令，由，可得，则问题转化为直线与曲线有三个交点.当时，则，则函数在上单调递减，当时，则.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，所以，.作出直线与函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线有三个交点.故选：B.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数

5、零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，全部选对得5分，有漏选得2分，有错选得0分）9. 已知向量，则（ ）A. 当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，【9题答案】【答案】AC【解析】【分析】根据平面向量垂直的坐标表示公式、平面向量

6、共线的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式逐一判断即可.【详解】A：当时，因为，所以，因此本选项正确；B：由（1）可知，该选项不正确；C：当时，向量，因为，所以，即，因此本选项正确；D：因为，所以有，所以，因此本选项不正确，故选：AC10. 下列关于说法正确的是（ ）A. 抛掷均匀硬币五次，出现正面的次数是随机变量B. 某人射击时命中概率为0.5，此人射击二次必命中一次C. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则D. 抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，事件，则事件A，B独立【10题答案】【答案】AC

7、D【解析】【分析】根据随机变量和概率的定义、结合条件概率公式、独立事件的定义逐一判断即可.【详解】A：抛掷均匀硬币五次，出现正面的次数为，所以本选项说法正确；B：某人射击时命中的概率为0.5，说明每次命中的可能性为0.5，而不是射击二次必命中一次，因此本选项说法不正确；C：因为，所以，于是有，故本选项说法正确；D：因为，所以有，因此事件A，B独立，所以本选项说法正确，故选：ACD11. 有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是A. 分给甲乙丙三人，每人各2本，有90种分法；B. 分给甲乙丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C. 分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本

8、，有180种分法；D. 分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；【11题答案】【答案】ABC【解析】【分析】选项，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲乙丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人

9、. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.【详解】对，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；对，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙三人，所以不同的分配方法有种，故正确；对，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；对，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故错误.故选：.【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于

10、中档题.12. 关于函数，下列判断正确的是（ ）A. 是的极大值点B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数，使得成立D. 对两个不相等的正实数，若，则.【12题答案】【答案】BD【解析】【分析】对函数求导，结合函数极值的定义进行判断即可；求函数的导数，结合函数单调性及零点存在性定理，可判断出零点个数；利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可；设 ，则，构造函数并结合函数的单调性，可证明，再结合的单调性，可得到，即可得到，从而可得证.【详解】A.函数的定义域为，函数的导数，在上，函数单调递减，上，函数单调递增，是的极小值点，即A错误；B.，函数在上单调递减，且

11、，函数有且只有1个零点，即B正确；C.若，可得，令，则，令，则，在上，函数单调递增，上函数单调递减，在上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数，使得恒成立，即C不正确；D.令，则，令，则，在上单调递减，则，令，由，得，则，当时，显然成立，对任意两个正实数，且，若，则，所以.故D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，对于C，解题的关键是利用参变分离进行分析，对于D，解题的关键是判断.综合性较强，运算量较大，有一定的难度第卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 复数（其中i为虚数单位）的共轭复数_

12、【13题答案】【答案】#【解析】【分析】根据共轭复数的概念，即可得答案.【详解】由题意可知：复数（其中i为虚数单位）的共轭复数，故答案为：14. 从0，1，2，3，4中随机取3个数组成不重复的整数有_个（用数字作答）【14题答案】【答案】48【解析】【分析】分类3个数含0、不含0两种情况，结合组合排列数求不重复整数的个数.【详解】当3个数含0时，不重复的整数有个；当3个数不含0时，不重复的整数有个；所以随机取3个数组成不重复的整数有48个.故答案为：4815. 若实数满足，则的最小值是_【15题答案】【答案】4【解析】【详解】，当且仅当时等号成立，故答案为.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本

13、不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件16. 若，则_；在上述展开式右边的按x的升幂排列的九项中，随机任取互不相邻的三项，则取到的三项中含有常数项的概率为_【16题答案】【答案】 . 2 . 【解析】【分析】赋值法求即可，求出取到的三项中含有常数项的取法，再应用插空法求9项中任选3个不相邻项的取法数，即可求概率.【详解】令时，若取到的三项中含有常数项，则其它两项在、的7项中选2个不

14、相邻项，共有15种取法；而在9项中任选3个不相邻的项，等价于在6个球所成的7个空中任选3个放球，则有种取法；所以取到的三项中含有常数项的概率为.故答案为：，.四、解答题（本题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，解答题须写出文字说明或演算步骤）17. 已知展开式中所有项的二项式系数和为16（1）求的值；（2）求展开式中含项的系数【17题答案】【答案】（1）4 （2）1【解析】【分析】（1）利用二项式系数和公式进行求解；（2）先写出展开式通项，再令即可求解.【小问1详解】解：因为 展开式中所有项的二项式系数和为16，所以，解得，即的值为4【小问2详解】解：因为展开式通项为，令，解得，所以展

15、开式中含的项为，即展开式中含的项的系数为119. 已知数列满足（，），且，（1）求，并证明：数列是等比数列；（2）求数列的前10项和【19题答案】【答案】（1）；，证明见解析； （2）4082.【解析】【分析】（1）根据递推公式，利用代入法，结合等比数列的定义进行计算证明即可.（2）根据（1）的结论，结合等比数列前项和公式进行求解即可.【小问1详解】；当时，数列是以2为首项，公比为2的等比数列【小问2详解】由（1）可知：，21. 已知几何体ABCDEF中，DE平面ABCD，ABCD是边长为4的正方形，EFCD，且EFED2（1）求证：ADCF；（2）求平面ADE与平面BCF所成角的大小【21题

16、答案】【答案】（1）证明见解析 （2）45【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，得到ADCD，再由ED平面ABCD，得到EDAD，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，先求得平面BCF的一个法向量，再由平面ADE的一个法向量为，然后由求解.【小问1详解】证明：四边形ABCD是正方形，ADCD，ED平面ABCD，AD平面ABCD，EDAD，又CDEDD，CD、ED平面CDEF，AD平面CDEF，CF平面CDEF，ADCF【小问2详解】以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标

17、系，则，设平面BCF的一个法向量为，则，即，令y1，则x0，z1，平面ADE的一个法向量为，由图知，平面ADE与平面BCF所成角为锐角，故平面ADE与平面BCF所成角的4523. 某校为了提升学生的科学素养、本学期初开始动员学生利用课外时间阅读科普读物、为了了解学生平均每周课外阅读科普读物所花的时间、至第10周该校通过简单随机抽样的方法收集了20名学生平均每周课外阅读的时间（分钟）的数据、得到如表统计表（设x表示阅读时间，单位：分钟）规定：平均每周课外阅读的时间90分钟以上（含90分钟）为优秀组别时间分组频数频率男生人数女生人数120.1112100.5463m0.231420.11152n2

18、0（1）求出表格中m，n的值，并求出这20名同学平均每周课外阅读的优秀率（2）现从这20名同学中依次抽出两名同学，求在第一次抽得阅读优秀的男同学的情况下，第二次抽得阅读优秀的女同学的概率？（3）为了选出1名选手代表学校参加全市中小学生科普知识比赛，学校组织了考试对选手人选进行考核，经过层层筛选，甲、乙两名学生成为进入最后阶段的备选选手考核组设计了最终确定人选的方案：请甲、乙两名学生从题库中的6道题中随机抽取3道试题作答，正确回答2道题及以上即为通过已知这6道试题中，甲可正确回答其中的4道题目，而乙能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两名学生对每题的回答都是相互独立，互不影响的若从两位同学获得通

19、过的概率的角度进行分析，请问：甲、乙中哪位学生最终入选的可能性更大？【23题答案】【答案】（1），40%； （2）； （3）甲同学最终入选的可能性更大.【解析】【分析】（1）根据频率直方图所有小矩形面积和为、频数之和为20，结合题意进行求解即可；（2）利用条件概率公式进行求解即可；（3）根据古典概型计算公式，结合二项分布的性质进行求解即可【小问1详解】依题意可得，平均每周课外阅读优秀的人数有4228人，故平均每周课外阅读的优秀率为；【小问2详解】记事件A为“第一次抽得阅读优秀的男同学”，事件B为“第二次抽得阅读优秀的女同学”，因为阅读优秀的男同学有6人，阅读优秀的女同学有2人，故，又由条件概率

20、公式；【小问3详解】记甲获得通过为事件C，乙获得通过为事件D，则，因为，即，故甲同学最终入选的可能性更大25. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）.已知每件产品售价为元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.【25题答案】【答案】（1）；（2）当年产

21、量万件时，年利润最大，最大年利润为万元.【解析】【分析】（1）根据题中条件，分和两种情况，分别求出对应的解析式，即可得出结果；（2）根据（1）中解析式，分别求出和两种情况下，的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，由题意可得，当时，；当时，；所以；（2）由（1）可得，当，当且仅当时，等号成立；当时，则，所以，当时，即函数单调递增；当时， ，即函数单调递减；所以当时，取得最大值；综上，当时，取得最大值万元；即当年产量为时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是万元.【点睛】思路点睛：导数的方法求函数最值的一般步骤：（1）先对函数求导，根据导数的

22、方法判定函数在给定区间的单调性；（2）根据函数单调性，即可求出函数的最值.26. 已知函数，（1）若函数在处存在极值，求a的值，并求出此时函数在x1处的切线方程；（2）当时，若函数有两个极值点，且不等式恒成立，试求实数的取值范围【26题答案】【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出的值，代检验即可，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出切线方程；（2）首先求出的导函数，令，依题意有两个不相等的正根，即可得到，即可得到，依题意可得恒成立，又，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围；【小问1详解】解：函数的定义域为，所以函数在处存在极值，则，故此时，所以，当时，即单调递增，当时，即单调递减，在处取得极大值，符合题意；则，故所求切线方程为，化简得【小问2详解】解：因为的定义域为，令，又因为函数有两个极值点，所以有两个不等正实数根，所以，且，从而，由不等式恒成立，所以恒成立，又，令，所以，当时恒成立，所以函数在上单调递减，所以，故实数的取值范围是学科网（北京）股份有限公司