不等式知识结构及重点知识点.doc

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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版精品学习资料精品学习资料名师总结优秀知识点不等式知识结构及知识点总结一知识结构二知识点1、不等式的基本性质abba （ 对 称 性 ） （传递 性 ）ab,bcac （ 可 加 性）ab（acb加ac性c同向可）b 0（异向可减性）ab, cdacbdab, cdd（可积性）ab, cacbcab, c0acbcacbd（ 同向正数 可乘性） a（异向正数 可除性）ab0, cd0acbdb0,0cd（平方法则）nanb (n0N, 且 n1)（开方法则）abnnab0ab ( nN , 且 n1)1a1b1a1b（倒数法则）ab0; ab02、

2、几个重要不等式22ab2a2b2aba，bR ,（当且仅当ab 时取 号）.变形公式： ab.2欢迎下载第 1 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料名师总结优秀知识点ab（基本不等式）ab 时取到等号）.aba， bR,（当且仅当22abab2ab变形公式：. 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积ab2最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.ab3c（三个正数的算术几何平均不等式）(a、 b、 cabcR)（ 当且仅当3abc时取到等号）.222abc 时取到等号） .abcabbccaa，bR（当且仅当a3b3c3abc 时取到等号） .3abc (a0, b0, c0) （

3、当且仅当0, 则 baabbaab2 （当仅当若ab时取等号） 若 ab0, 则2 （当仅当a=ba=b时取等号）babammabnna其中b0， m0， n(ab0) 规律：小于11 同加则变大， 大于 1同加则变小.22 当 axaxaaxa.x2a20时，xa或xaxa;ababab .绝对值三角不等式222abab3、几个著名不等式平均不等式：a， bR,（当且仅ab11a 号） . （即调和平均2b2算术平均2ab时取几何平均平方平均） .当222(ab)2ababa 2b2变形公式：.ab;221 ( a22222a ) .幂平均不等式：aa.aa.1n12nn222222二维形式

4、的三角不等式：x1y1x2y2( x1x2 )( y1y2 )( x1 , y1, x2 , y2R).2( a22b )( c2d)2bd )(a, b, c, d二维形式的柯西不等式R). 当且仅当 adbc(ac时，等号成立 .222222 )a b )2 .三维形式的柯西不等式：( aaa)( bbb(a ba b1231231 12 23 32222222 )一般形式的柯西不等式：(aa.a)(bb.b1n12n2(a1b1a2b2.anbn ).欢迎下载第 2 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料名师总结优秀知识点向量形式的柯西不等式：, 当且仅当k ，使设,是两个向量， 则是零

5、向量， 或存在实数k时，等号成立 .排序不等式（排序原理）：设a1a2.an ,b1b2.bn 为两组实数 . c1 , c2 ,., cn 是 b1 ,b2 ,., bn 的任一排列，则a1bna2bn.an b1a1c1a2c2.an cna1b1a2b2.anbn .（ 反序和乱序和1顺序和 ）当且仅当a1a2.an 或 b1b2.bn 时，反序和等于顺序和.f ( x)琴生不等式: （特例 : 凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数, 对于定义域中任x(xf ( x )f (x ) 或xx(f (x )f (x) 则称 f(x)为凸（或.意两点x1 , x2 ( x1x2 ), 有12

6、121212f)f)2222凹）函数 .4、不等式证明的几种常用方法常用方法有： 比较法 （作差， 作商法）、综合法、 分析法； 其它方法有： 换元法、 反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，常见不等式的放缩方法：数学归纳法等 .1 2)2，如341 2) ;2舍去或加上一些项，如( a(a将分子或分母放大（缩小）221k211k( k11k(k(),222kkkkk1k1)k1)1k2*1) 等 .(kN , kkk15、一元二次不等式的解法ax2b 2求一元二次不等式0(或bxc0)(a0,4ac0) 解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的

7、根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集规律： 当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切 ），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.f ( x)0f ( x) g( x)0g( x)f ( x)g( x)（“或”时7、分式不等式的解法：先移项通分 标准化， 则f ( x)g( x)g (x)000欢迎下载第 3 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料名师总结优秀知识点同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解.f ( x)f (

8、 x)0af (x)f (x)0af ( x)a(a0)f (x)a(a0)22f (x)g(x)f (x)00 g(x)f (x)g(x)f (x)00 g( x)f ( x)g( x)0 0或f ( x)g( x)f (x)g ( x)22f ( x)g( x)f ( x)00g( x)f ( x)g( x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解9、指数不等式的解法：.f (x)g( x)a1时 ,当g( x) 当 0a1时 ,aaf ( x)f ( x)g ( x)aaf ( x)g( x)规律：根据指数函数的性质转化10、对数不等式的解法.f ( x)g

9、( x)f ( x)00g( x)当 a1时 ,当 0a1 时 ,logf (x)logg( x)aaf (x)g( x)f (x)00g( x)log a f ( x)logag(x).规律：根据对数函数的性质转化.a(a0 ).0 )11 、 含 绝 对 值 不 等 式 的 解 法： 定 义 法 ：a平方 法 ：a (a22f (x)g(x)f( x)g ( x).同解变形法，其同解定理有：xaaxa(a0); xaxa或 xa(a0);f (x)g( x)g( x)f ( x)g( x) ( g( x)0)f ( x)g (x)f ( x)g( x) 或f ( x)g (x)(g (x)

10、0)规律：关键是去掉绝对值的符号.欢迎下载第 4 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料名师总结优秀知识点12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值13、含参数的不等式的解法、每段中取交集，最后取各段的并集.2解形如axbxc0 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论 a 与14、恒成立问题0 的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小.ax2 不 等 式bxc0 的 解 集 是 全 体 实 数 （ 或 恒 成 立 ） 的 条 件 是 ： 当a0时a00.aax2不等式b0, c0; 当a0 时bxc0 的解集是全0 时b

11、0, c0; 当a0 时a00.体实数（或恒成立）的条件是：当f (x)a 恒成立f (x)maxa;f ( x)a 恒成立f ( x)maxa;f (x)a 恒成立f (x)mina;f ( x) mina.f ( x)a 恒成立15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断：由于直线AxByC0 的同一侧的所有点的坐标代入法一：取点定域法：AxByC 后所得的实数的符号相同.所以， 在实际判断时， 往往只需在直线某一侧任取一特殊点( x0 , y0 )（如原点），由Ax0By0C的正负即可判断出AxByC0 (或0) 表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，

12、常选原点.法二： 根据 AxByC0 ( 或0) ，观察 B 的符号与不等式开口的符号，若同号，AxByC0 ( 或0) 表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域. 即：同号上方，异号下方.二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.利用线性规划求目标函数zAxBy( A, B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数zAxBy（ x、y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应 z 值，最大的那个数为目标函数法二：画移定求：z 的最大值，最小

13、的那个数为目标函数z 的最小值第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0 : AxBy0，平移直线l0 （据可行域，将直线l0 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解( x, y) ；第四步，将最优解 ( x, y) 代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值.欢迎下载第 5 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料名师总结优秀知识点zA xz,第二步中 最优解的确定方法：利用z 的几何意义：为直线的纵截距.yBBB若B0, 则使目标函数zAxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；若B0, 则使目标函数zAxBy所表示

14、直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.常见的目标函数的类型：yxyxb;a“截距”型：zAxBy ;“斜率”型：或zz22y 或2222“距离”型：zxzxy;z(xa)( yb)或( xa) 2b) 2 .z( y在求该 “三型” 的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的题简单化 .几何意义 求解，从而使问16. 利用均值不等式：2ab222ab a， b； a2ab； ab求最值时，你是否注abRb2意到“ a， bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab) 其中之一为定值？（一正、二定、三相等）a2b22ab2aba，babR注

15、意如下结论：2ab当且仅当b时等号成立。a222当且仅当 abc时取等号。abcabbccaa，bRbabammabnnabab0，m0， n0，则14 的最大值为x如：若 x0， 23x4x（设 y3x222122434x23当且仅当3x，又 x0， x时， y max243）3欢迎下载第 6 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料名师总结优秀知识点2y1，则 2 x4y又如： x的最小值为（2x22y2x 2y2 21 ，最小值为22）217. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。1131如：证明122222n1131111（ 1

16、12222n1223n1 n12121311n11n11n2 ）2f (x)g( x)18 .解分式不等式a0 的一般步骤是什么？a（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。 ）19. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始21x3如： x1x2020. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分a1或 0a1讨论21. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）12例如：解不等式 |x3|x11（解集为）x|x22、 会用不等式| b | 证明较简单的不等问题| a | b | ab

17、 | | a |2求证： f ( x)f (a)2 (|a|1)如：设 f (x )x13，实数 a满足 | x1xa|欢迎下载第 7 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料名师总结优秀知识点|( x| x| x|a)( xa1)| (| xaa|1|1)22证明：|f (x)f (a)|( xx13)(aa13)|a|x| a| 1a1| x又|x| |a|xa|1，|x|a| 1 f ( x)f (a)2|a|22 |a| 1（按不等号方向放缩）23. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）如： af (x )恒成立af ( x) 的最小值af ( x) 恒成立af ( x) 的最大值af (x )能成立f ( x) 的最小值a例如：对于一切实数 x，若 xa恒成立，则 a的取值范围是3x2（设 ux2 ，它表示数轴上到两定点2和 3距离之和x35， 5a，即 au m i n325或者：x3x2x3x25，a5）欢迎下载第 8 页，共 8 页