初中数学旋转专题.doc

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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版名师归纳总结旋转证明一 利用旋转添加辅助线045. 过点 A 做例 1.如图，在正方形ABCD中，点 E，F 分别为DC， BC 边上的动点，且始终EAFAP EF. （ 1）求证： EF=DE+BF.(2) 求证： AP=AD.AB（ 3）若 EFC周长为 a ，求正方形的面积.FDEC变式 1：如图，点M、 N 分别在正方形求证： MAN=45ABCD的边 BC、 CD上，已知AB=a，MCN的周长为2a，ADNBMC90 到 ED，连结1. 如图，直角梯形ABCD中， AD BC,AB BC,AD=2,BC=3,将腰CD以 D 为中心逆时针

2、旋转AE、 CE,则 ADE的面积是。EDABCBAEB2. 如图，在正方形ABCD中，点E，F 分别为DC， BC边上的动点，且始终满足AAF平分，探究： BF、 DE与 AE 的关系 .FDECEF=BE+FD成立。5. 如图 1，在正方形ABCD中， E、F 分别是BC、 CD上的点，且EAF=45，则有结论（ 1）如图 2，在四边形ABCD中， AB=AD， B= D=90， E、 F 分别是 BC、 CD上的点，且EAF是BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（ 2）若将（ 1）中的条件改为：在四边形ABCD中， AB=AD， B+

3、D=180，延长BC到点 E，延长 CD请证明； 若不成立。到点 F，使得 EAF仍然是 BAD的一半， 则结论 EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。精品学习资料第 1 页，共 8 页名师归纳总结例 2. 在等边 ABC中， O 为 ABC内一点，连接AO、 BO、 CO且 AO=2,BO=1,CO= 3 , 求 AOB， BOC的度数分别是多少？030,AD=4,CD=3，求A2. 如图，点 D 为等边 ABC外一点，ADCBD的长。DBCAO、 BO、 CO，有 AOB 1500 ，0BOC=120. 问： AO、 BO、3. 在等边 ABC中， O为

4、ABC内一点，连接CO三条线条能否构成一个三角形若能，求出这个三角形的三个内角分别是多少度？若不能，请说明理由。25（ 09 朝阳一模） . （本小题8 分）图Rt ABC图， AC=BC（ 1）已知：如图，中， ACB=90，点D 、 E在斜边上，且AB DCE=45 . 求证：线段（ 2）已知：如图，等边三角形DE 、 AD 、EB 总能构成一个直角三角形；ABC 中，点 D、 E 在边 AB 上，且 DCE=30 ，请你找出一个条件，使线段 DE、 AD 、 EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（ 3）在（ 1）的条件下，如果AB=10 ，求 BDAE的值ABCD

5、 ，使 P、D 两点落在直线25（ 09 西城一模）已知：AB 的两侧 .， PB4 ，以AB 为一边作正方形PA2（1）如图，当APB= 45时，求AB 及 PD 的长；（2）当 APB 变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应APB 的大小 .精品学习资料第 2 页，共 8 页名师归纳总结二 旋转型相似例 1. 图 1 是边长分别为 的图形ABC和 CDE叠放在一起 （ C与 C 重合）a 和 b（ ab）的两个等边三角形纸片（ 1）操作：固定ABC，将CDE绕点C 按顺时针方向旋转30，连结AD， BE，如图 2；在图2BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论中，线段（2）操

6、作：若将图1 中的CDE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连结 AD， BE，如图3；在图 3 中，线段 BE与 AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论（ 3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD的长度最大？是多少？当为多少度时，线段AD的长度最小？是多少？（不要求证明）AAADDEEBBCCBCED图图 2图13例 2.如图为等边 ABC和菱形 BDEF, DBF=60（ 1）观察图形 1 , 猜想 AF与 CD之间有怎样的数量关系?直接写出结论, 不必证明 .ABC内部 , 在图 2（ 2）将菱形 BDEF绕点 B 按顺时针方向旋转, 使菱形 BDEF的一边落在等边中画出

7、一个变换后的图形请说明理由 ;, 并对照已知图形标记字母, 请问 :(1)中的结论是否依然成立?若成立请证明 ; 若不成立 ,（ 3）在上述旋转过程中,AF 与 CD之间所夹的锐角度数是否发生变化?若不变 , 请你求出它的度数, 并说明理由 ; 若改变 , 请说明它的度数是如何变化的.AADEB1CBCF2ABE 和练习BCF1点 A、 B、C 在同一直线上，在直线中点 M 、N ，连接 BM ， BN ， MN 的同侧作，连接 AF ， CE取AF、 CE 的AC090( 如图（ 1 ）若ABEFBC 是等腰直角三角形，且和MBNABEFBC1) ，则是三角形ABEBCFMBNABEFBCM

8、BN（ 2）在和中，若且，（如图2），则是BA=BE,BC=BF,.三角形，且（ 3）若将（ 2）中的ABE 绕点B 旋转一定角度 ,(如同 3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.精品学习资料第 3 页，共 8 页名师归纳总结FFFEMEEMAMNNNCCBAB（如图 3 ）CAB（如图 1)（如图 2）3. 填空或解答：点B、C、E 在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧， AB AC，ECED， BAC CED，直线 AE、 BD交于点 F。(1) 如图，若(2) 如图，若(3) 将图中的BAC 60，则 AFB ；如图，

9、若BAC 90，则 AFB ；BAC ，则 AFB ( 用含 的式子表示 ) ；ABC绕点 C旋转 ( 点 F 不与点 A、B 重合 ) ，得图或图。在图中，AFB与 的数量关系是 ；在图中， AFB与 的数量关系是 。请你任选其中一个结论证明。4、我们给出如下定义：四边形为等平方和四边形。若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，则称这个（ 1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：2222（ 2）如图，在梯形是等平方和四边形。（ 3 ）如果将图中的ABCD中， AD BC， AC BD，垂足为O。求证： AD+BC=AB+DC。即四边形ABCDAOD

10、 绕点O 按逆时针方向旋转a度（ 0a90）后得到图，那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形？若能，请证明；若不能，请说明理由。三正方形中的旋转例 1. 如图 1 已知 ABC中，AB BC 1， ABC 90， 把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D精品学习资料第 4 页，共 8 页名师归纳总结放在 AC的中点上 ( 直角三角板的短直角边为方向旋转。(1) 在图 1 中， DE交 AB于 M， DF 交 BC于 N。证明 DMDN；DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕 D 点按逆时针在这一旋转过程中，直角三角板DEF与 ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的

11、面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；(2) 继续旋转至如图2 的位置，延长AB 交 DE于 M，延长 BC交 DF于 N，DM DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3) 继续旋转至如图结论，不用证明。3 的位置，延长FD交 BC于 N，延长 ED交 AB于 M， DM DN是否仍然成立？请写出0练习： 1. 已知 AOB=90，在 AOB的平分线 OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、 OB(或它们的反向延长线) 相交于点D、E当三角板绕点C 旋转到 CD与 OA垂直时 ( 如图 1) ，易证

12、： OD+OE= 2OC当三角板绕点C 旋转到 CD与 OA不垂直时，在图2、图 3 这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、 OE、 OC之间又有怎样的数量关系 ?请写出你的猜想，不需证明2. （ 08 平谷一模25）在图中，把一副直角三角板ABC和 EFG（其短直角边长均为4）叠放在一起（如EFG绕点 O顺时针图），且使三角板EFG 的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合 现将三角板00o90），四边形 CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图）旋转（旋转角 满足条件：（ 1）在上述旋转过程中，论；BH与 CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积

13、有何变化？证明你发现的结（ 2）联结 HK，在上述旋转过程中，设自变量 x 的取值范围；BH=x， GKH的面积为y，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出116（ 3）在（ 2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH的面积恰好等于ABC 面积的A？若存在，求A出此时 x 的值；若不存在，说明理由G(O)G(O)BCKFC10 1，将 DBC的面积图BHRt DEF45角的三角板E，如图3. （ 08 延庆一模23）（ 1）已知：有两块完全相同的含F的直角的 =顶点 D 放在 Rt ABCE斜边 AB 的中点处，这时两块三角板重叠部分图精品学习资料第 5 页，共 8 页名师归纳总结是 ABC的面

14、积的；（ 2）如图 10 2，点 D 不动，将 Rt DEF绕着顶点D旋转（090），这时两块三角板重叠部分为任意四边形DNCM，这时四边形DNCM的面积是 ABC的面积的；Rt ABC的两条直角（ 3）若 Rt DEF的顶点 D 在 AB上移动（不与点A、 B 重合），且两条直角边与4边相交，是否存在一点，使得两块三角板重叠部分的面积是Rt ABC的面积的，如果存在，9请在图 103 中画出此时的图形，并说明点D 在AB上的位置。如果不存在，说明理由。FBBBDDMCFACNAACEE图 10 1图 10 3图 10 204. （ 08 东城一模板的直角顶点放在（ 1）如图 1，若25）已知

15、D 处 .ABC中， AB=AC=3, BAC=90, 点D为 BC上一点， 把一个足够大的直角三角BD=CD, 将三角板绕点D 逆时针旋转，两条直角边分别交AB、 AC于点 E、点 F, 求出重叠部分 AEDF的面积（直接写出结果）；（ 2）如图 2，若 BD=CD, 将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AB 于点 E、另一条直角边交ABAE x ，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出y与x 的函数关系式, 并写出自变的延长线于点F, 设量 x 的取值范围；（ 3）若BD2CD, 将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC于点 F、另一条直角边交射线AB于点 E，设 CF=x(x1

16、)，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出y与x 的函数关系，并写出自变量x的取值范围AAEEFCD图2BCDBF图124 （09 延庆一模）. 如图24 1，正方形ABCD和正方形QMN，PM 是正方形CBABCD的对称中心，MN交 AB于 F， QM交 AD于 EMFENADQ精品学习资料24-1第 6P 页，共 8 页名师归纳总结（ 1）猜想： ME 与 MF的数量关系（ 2）如图24 2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”ME与线段 MF的数量关系，并加以证明，且 M = B，其它条件不变，探索线段CBMFEDAN（ 3）如图 24 3，若将原题中的 “正方形” 改为“矩形”，且 AB:

17、BC=1:2 ，其它条件不变， 探索线段ME与线段 MF的数量关系， 并说明理由CQ24-2BPMFNEADQ24-3P（4）如图24 4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，CB且 M=B ，AB:BC = m ，其它条件不变，求出接写出答案）ME：MF的值。（直NMFDAEQP四 . 倍长中线解决四边形旋转例 1. （ 08 北京）请阅读下列材料：A， B， EABCDBEFGP 是线段DF问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，的中点，PGPC连结 PG， PC 若ABCBEF60 ，探究 PG 与 PC 的位置关系及的值GP 交DCH小聪同学的思路是：延长于点，构造全等三角形

18、，经过推理使问题得到解决CCDDGPPFGFBAEABE图 2图 1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：PGPC（ 1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（ 2）将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上， 原问题中的其他条件不变（如图 2）你在（ 1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明精品学习资料第 7 页，共 8 页名师归纳总结（ 3）若图1 中ABCBEF2(090 ) ，将菱形BEFG绕点 B 顺时针旋转任意角度，原PGPC问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用

19、含的式子表示） PGPC解：（ 1）线段 PG 与 PC 的位置关系是；练习1. 如图 1，操作：把正方形 AE 的中点 M。CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边 BC 的延长线上（ CG BC），取线段探究：线段MD、 MF的关系，并加以证明。说明：（ 1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3 步）；（ 2）在你经历说明（的证明。1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你DM的延长线交CE于点 N，且 ADNE；将正方形CGEF绕点 C 逆时针旋转45（如图2），其他条件不变；在的条件下且CF2AD。MD、MF

20、的关系，附加题：将正方形并加以证明。CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段ADFFFEDABMCMMABEEDCBCGGG图 1图 2ADE图 3都是等腰直角三角形，点M为ABC2如图 24-1 ，已知点D在 AC上，和EC的中点 .BMD绕点（ 1）求证：为等腰直角三角形.，如图45ADEBMD（ 2）将A 逆时针旋转24-2 ，（ 1）中的“为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由.135ADE（ 3）将绕点A 逆时针旋转，如图 24-3 ，BMD（1）中的“为等腰直角三角形”成立吗？（不用说明理由）.ADE（ 4）我们是否可以猜想，将绕点 A 任意旋转一定的角度，如图24-4 ，（ 1）中的“BMD 为等腰直角三角形”均成立？（不用说明理由）.精品学习资料第 8 页，共 8 页