高考数学构造函数模型解决数列综合题与应用题.doc

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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版高考要求 :高考数学构造函数模型解决数列综合题与应用题纵观近几年的高考、在解答题中、有关数列的试题出现的频率较高、不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系、而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数、在实际问题中有着广泛的应用、如增长率、减薄率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外、还要善于观察题设的特征、联想有关数学知识和方法、迅速确定解题的方向、以提高解数列题的速度.重难点归纳 :1. 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识 、 又要有良好的思维能力和分析、 解决问题的能力；解答应用

2、性问题、应充分运用观察、归纳、猜想的手段、建立出有关等差 ( 比) 数列、递推数列模型、再综合其他相关知识来解决问题 .2. 纵观近几年高考应用题看、解决一个应用题、重点过三关 :(1) 事理关 : 需要读懂题意、明确问题的实际背景、即需要一定的阅读能力.(2) 文理关 : 需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言、用数学式子表达数学关系.(3) 事理关 : 在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力、认定或构建相应的数学模型、 完成用实际问题向数学问题的转化. 构建出数学模型后、要正确得到问题的解、还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.典型题例示范讲解:例 1 从社会效益和经济

3、效益出发、某地投入资金进行生态环境建设、并以此发展旅游产业、根据规划、本年度投入800 万元、以后每年投入将比上年减少1 、本年度当地旅游业收入估计5为 400 万元、 由于该项建设对旅游业的促进作用、预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1 :4(1) 设 n 年内( 本年度为第一年) 总投入为an 万元、旅游业总收入为bn 万元、写出an、 bn 的表达式；(2) 至少经过几年、旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图 : 本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力、本题有很强的区分度、属于应用题型、正是近几年高考的热点和 重点题型 .知识依

4、托 : 本题以函数思想为指导、以数列知识为工具、涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析 :(1)问 an、bn 实际上是两个数列的前n 项和、易与“通项”混淆；(2) 问是既解一元二次不等式又解指数不等式、易出现偏差.技巧与方法 : 正确审题、深刻挖掘数量关系、建立数量模型是本题的灵魂、(2) 问中指数不等式采用了换元法、是解不等式常用的技巧.解:(1)第 1 年投入为800 万元、第 2 年投入为800(1 1 ) 万元、5第 n 年投入为800(1 1 ) n 1 万元、5所以、 n 年内的总投入为:an =800+800(1 1 )+ +800 (1 155) n1)n=

5、800 (1 1 ) k1=4000 1 ( 4nk 155第 1 年旅游业收入为400 万元、第 2 年旅游业收入为400 (1+1 ) 、4第 n 年旅游业收入400 (1+1 ) n1 万元.4所以、 n 年内的旅游业总收入为11k 1bn =400+400(1+)+ +400 (1+)44n=400 (k 15 ) k 1=1600 (45 ) n 14(2) 设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入、由此bn an0、即1600 (5 ) n4 1 4000 1 (4 ) n 0、5令 x=(4 ) n、代入上式得 :5 x2 7x+2 0.5解此不等式、得x 2 、或 x 1(

6、 舍去 ).5即( 4 ) n52 、由此得n 5.5至少经过5 年、旅游业的总收入才能超过总投入.例 2 已知 S=1+ 11 + + 1 、( nN* ) 、设 f ( n)= S S、 试确定实数m的取值范围、使得n23n2n+1n+1对于一切大于1 的自然数n、不等式 :f ( n) log2m( m 1) 11 log202( m1)m 恒成立 .命题意图 : 本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题、需较强的综合分析问题、解决问题的能力.知识依托 : 本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起、构思巧妙.错解分析 : 本题学生很容易求f ( n) 的和、但由于无法求和、故对不等

7、式难以处理.2技巧与方法 : 解决本题的关键是把f ( n)( n N*) 看作是 n 的函数、此时不等式的恒成立就转化为 .函数 f ( n) 的最小值大于log m( m 1) 11220 log ( m 1) m解: Sn=1+ 11 + + 1( n N )*23nf (n)SS111n2n32n11111122n又f (n1)f (11n 12n22n3n22n22n32n4111(n)()02n22n42n32n4f ( n+1) f ( n)f ( n) 是关于 n 的增函数f ( n) .min =f (2)=122192320要使一切大于1 的自然数n、不等式f ( n) l

8、og2m( m 1) 11 log20( m1)m 2 恒成立只 要 920 log m( m 1) 11220 log ( m 1) m2成立即可m0、 m1由得 m 1 且 m 2m10、 m112此时设 log m( m 1) =t : 则 t 09t11于是2020t0解得 0 t 12. 由此得 0 log m( m1) 1. 解得 m 15 且 m2.2t2t 2例 3已知二次函数y=f ( x) 在 x=2(1) 求 y=f ( x) 的表达式；处取得最小值n+1.( t 0)、 f (1)=0.4*(2) 若任意实数x 都满足等式f ( x) g( x)+ anx+bn=x示

9、an 和 bn； g( x) 为多项式、nN )、 试 用 t 表C222(3) 设圆n 的方程为 ( x an) +( y bn) =r n 、圆 Cn 与 Cn+1 外切 ( n=1、2、3、);r n 是各项都是正数2的等比数列、记Sn 为前 n 个圆的面积之和、求r n、Sn.22解:(1)设 f ( x)= a( x t2 ) t24、由 f (1)=0得 a=1. f ( x)= x ( t +2) x+t +1.n+1(2) 将 f ( x)=( x 1) x ( t +1) 代入已知得:( x 1) x ( t +1) g( x)+ anx+bn=x、 上式对任意的x R都成立

10、、取 x=1 和 x=t +1 分别代入上式得:anbn1n+1(t1) anbn( t1) n1 且 t 0、解得 an= 1t ( t +1) 1、bn=t1 1 ( t +1 )nt2nnn(3) 由于圆的方程为( x a ) 2+( yb ) 2=r、又由 (2) 知 an+bn=1、故圆 Cn 的圆心 On在直线 x+y=1 上、+1n又圆 Cn 与圆 Cn+1 相切、故有r n+rn +1=2 an+1 an =2 ( t +1)设 r n 的公比为q、则rnrnq2( t1)n 1rrqn 22( t1)n 1n 1得q=rn 1rn=t +1、代入得r n=2 (t t1) n

11、 122222 (q 2n1)2(t1)42nr1Sn=( r 1 +r 2 + +r n )=q 21t (t2) 3 ( t +1) 1.学生巩固练习:21. 已知二次函数y=a( a+1) x (2 a+1) x+1、当 a=1、 2、 n、时、其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d1、 d2、 、 dn、 、 则 limn.( d1+d2+ +dn) 的值是 ()A 1.B 2C 3D 42. 在直角坐标系中、O是坐标原点、 P1( x1、y1) 、P2( x2、 y2) 是第一象限的两个点、若1、x1、x2、 4 依次成等差数列、而1、 y1、 y2、 8 依次成等比数列、则OP1P

12、2 的面积是 3. 从盛满 a 升酒精的容器里倒出b 升、然后再用水加满、再倒出b 升、再用水加满；这样倒了 n 次、则容器中有纯酒精升.4. 据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议 政府工作报告 :“ 2001 年国内生产总值达到95933 亿元、比上年增长7.3%、”如果“十五”期间(2001年2005 年) 每年的国内生产总值都按此 年增长率增长、 那么到“十五”末我国国内年生产总值约为亿元.5. 已知数列 an 满足条件 : a1=1、 a2=r ( r 0)、 且 an an+1 是公比为q( q 0) 的等比数列、设bn=a2n 1+a2n ( n=1、2、 ).*(1)

13、 求出使不等式anan+1+an+1an+2 an+2an+3( n N ) 成立的 q 的取值范围；(2) 求 bn 和 lim1、其中 Sn=b1+b2+ +bn；nSn(3) 设 r =219.2 1、 q= 1 、求数列 2log 2 bn 1log 2 bn 的最大项和最小项的值.6. 某公司全年的利润为b 元、其中一部分作为奖金发给n 位职工、 奖金分配方案如下: 首先将职工按工作业绩( 工作业绩均不相同) 从大到小、由1 到 n 排序、第1 位职工得奖金b 元、然n后再将余额除以n 发给第 2 位职工、按此方法将奖金逐一发给每位职工、并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1) 设

14、ak (1 k n) 为第 k 位职工所得奖金金额、试求a2、 a3、并用 k、n 和 b 表示 ak( 不必证明) ；(2) 证明 akak +1( k=1、2、 、 n 1)、 并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3) 发展基金与n 和 b 有关、记为Pn( b)、 对常数 b、当 n 变化时、求limnPn( b).7. 据有关资料、 1995 年我国工业废弃垃圾达到7.4 108 吨、占地 562.4 平方公里、若环保部门每年回收或处理1 吨旧物资、则相当于处理和减少4 吨工业废弃垃圾、并可节约开采各种矿石 20 吨、设环保部门1996 年回收 10 万吨废旧物资、 计划以后每年递

15、增20%的回收量、 试问:(1) 2001年回收废旧物资多少吨？(2) 从 1996 年至 2001 年可节约开采矿石多少吨( 精确到万吨 ) ？(3) 从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地？8. 已知点的序列An( xn、0)、 n N、 其中 x1=0、 x2=a( a 0)、 A3 是线段 A1A2 的中点、 A4 是线段 A2A3的中点、An 是线段 An2An 1 的中点、 .(1) 写出 xn 与 xn 1、xn 2 之间关系式 ( n3);(2) 设 an=xn+1 xn、计算 a1、 a2、 a3、由此推测数列 an 的通项公式、并加以证明；(3) 求 lim

16、nxn.参考答案 :1. 解析 : 当 a=n 时 y=n( n+1) x2 (2 n+1) x+1、 由 x x =、得 d =1、12nan(n1) d1+d2+dn11L1 22 31n(n1)1111L2231111nn1n1lim(d1d 2Ldn )lim (11)1nnn1答案 :A2. 解析 : 由 1、 x1、 x2、4 依次成等差数列得:2 x1=x2+1、 x1+x2=5 解得 x1=2、 x2=3.2又由 1、 y1、 y2、8 依次成等比数列、得y1 =y2 、 y1y2=8、 解得 y1=2、 y2=4、 P1(2、2)、P2(3、4). OP1( 2、2)、 OP

17、2 =(3、4) OP1OP26814、 OP112uuur uuuur22、|OP2 |5、cosP1OP2OP1 OP2uuuruuuur1472 、sin POP2| OP1|OP2|5221010S OP P1uuuruuur| OP1 |OP2| sin P1OP2122521 .1 2答案 :122103. 解析 : 第一次容器中有纯酒精ab 即 a(1 bb ) 升、aba(1a)b2第二次有纯酒精a(1 ) b 、即 a(1 )升、aaa故第 n 次有纯酒精a(1 b ) n 升.a答案 : a(1 b ) na4. 解析 : 从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值

18、构成以95933 为首项、以7.3%为公比的等比4数列、 a5=95933(1+7.3%) 120000( 亿元 ).答案 :1200005. 解:(1)由题意得rq n 1+rq n rq n+1. 由题设 r 0、 q 0、 故从上式可得 : q2 q 1 0、解得 15 q 125 、 因 q 0、 故 0 q 15 ;22(2) an 1an 2an 2q、bn 1a2n 1a2n 2a2n 1qa2 n qq0 .an an 1anbna2 n 1a2na2n 1a2 nn-1b1=1+r 0、所以 bn 是首项为1+r 、公比为q 的等比数列、从而bn=(1+ r ) q.当 q=

19、1 时、 Sn=n(1+ r )、.11limlim0;nSnnn(1r )当0q1时、Sn(1r )(1qn )、11qlimlimn1q ;1qnSnn(1r )(1q )1r当q1时、Sn(1r )(1qn )、11qlimlimn0、1qnSnn(1r)(1q )所以lim11q 、(01rq1)nSn0、( q1)(3)由(2)、 有bn(1r )qn 1log2 bn 1log2 (1r )qn log2 (1r )n log 2 q11.log 2 bnlog2 (1r ) qn 1 log 2 (1r )(n1) log 2 qn20.2记Clog 2 bn1 、 从上式可知、

20、nlog2 bn*当 n 20.2 0、即 n 21( nN ) 时、 Cn 随 n 的增大而减小、故 1 Cn C21=1+21120. 2110.8*=2.25当 n 20.2 0、即 n 20( nN ) 时、 Cn 也随 n 的增大而减小、故 1 Cn C20=1+20120.2110.2= 4综合两式知、对任意的自然数n 有 C20 Cn C21、故 Cn 的最大项C21=2.25 、最小项 C20 = 4.6. 解:(1)第 1 位职工的奖金a1= b 、n第 2 位职工的奖金a2= 1 (1 1 ) b、2n第 3 位职工的奖金a3= 1nn(1 1 )nb、第 k 位职工的奖金

21、ak= 1 .(1 1 ) k 1 b;1(2) ak ak+1=2n(1 n1 ) k 1nn b 0、此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则 .(3) 设 f k ( b) 表示奖金发给第k 位职工后所剩余数、1 ) b, f ( b)=(1 1 ) 2b, , f k (2b)=(1 1 ) k . 得 P ( b)=bnf n( b)=(1 1n)nnnn则 f 1( b)=(1 b、故 limnbPn (b).e7. 解: 设 an 表示第 n 年的废旧物资回收量、Sn 表示前 n 年废旧物资回收总量、则数列 an 是以 10 为首项、 1+20%为公比的等比数列.(

22、1) a6=10(1+20%)5=10 1.25=24.8832 25( 万吨)(2) S6=10(1(120%) 6120%)11.66100.21 =99.2992 99.3( 万吨 )从 1996 年到 2000 年共节约开采矿石20 99.3 1986( 万吨 )(3 ）由于从1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾4 99.3=397.2(万吨 ) 、从 1996 年到 2001 年共节约 :562.4397.28104 3. 平方公里 .7.4108. 解:(1)当 n 3 时、 xn= xn1xn 2 ;22(2)a1x2x1a、 a2x3x2x2x1x 21 (x22x1

23、)1 a、2a2x4x3x3x2x321n-11 ( x32x2 )1 (1 a)1 a224由此推测an=( )2a( nN)证法一 : 因为 a1=a 0、 且anxn 1xnxnxn 1xn2xn 1xn21( xn2xn 1 )1an 12.( n 2)所以 an=( 1 ) n-1 a.2证法二 : 用数学归纳法证明:( ) 当 n=1 时、 a =x x =a=( 1 ) 0a、 公式成立；12121k 1( ) 假设当 n=k 时、公式成立、即ak=( )2a 成立 .那么当 n=k+1 时、 a=x x= xk 1xkx1 ( xx )1 ak +1k +2k+12k 12k 1k2k1 (1 ) k 1 a22(1) (k21 ) 1 a公式仍成立 .1n -1据( )( ) 可知、对任意nN、公式 an=( )2a 成立 .(3) 当 n 3 时、有 xn=( xn xn 1)+( xn 1 xn 2)+ +( x2 x1)+ x1 =an 1+an 2+ +a1 、由(2) 知 an 是公比为1 的等比数列、所以lim xna12 a2n1(1)32