高等代数教案.doc

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1、陇南师专数学系高等代数精品课程教案 第八章 欧氏空间 8.2 度量矩阵与正交基8.2 度量矩阵与正交基教学目的通过本节的学习，让学生理解度量矩阵的概念，同时掌握规范正交基的定义及在规范正交基下的内积、坐标的算法及规范正交基的求法正交化过程，最后掌握正交矩阵的有关概念教学难点度量矩阵的概念，规范正交基的求法正交化过程教学重点度量矩阵的概念，规范正交基的定义及在规范正交基下的内积、坐标的算法，规范正交基的求法正交化过程教学过程备注教学引入设V是一个n维欧氏空间, 取V的一个基e1, e2, , en, 对V中任意两个向量ax1e1x2e2xnen , by1e1y2e2ynen . 由内积的性质得

2、a, bx1e1x2e2xnen, y1e1y2e2ynen .令ei, ejaij , (i, j1, 2, , n).显然aijaji .于是a, baij xiyj . (1)利用矩阵, a, b还可以写成a, bXTAY.其中XT(x1, x2, , xn), YT(y1, y2, , yn)，分别是a, b的坐标, 而对称矩阵A(aij)nn称为基e1, e2, , en的度量矩阵. 上面的讨论表明, 在知道了一个基的度量矩阵后, 任意两个向量的内积就可以通过坐标按(1)来计算, 因而度量矩阵就完全确定了内积. 教学内容一、 度量矩阵定理8.2.1 n维欧氏空间V的两个基的度量矩阵是

3、合同的, 且度量矩阵是正定的. 证 设e1, e2, , en与g1, g2, , gn是V的两个基, 它们的度量矩阵分别是A(aij)与B(bij). 两个基之间的过渡矩阵是C(cij), 即因为bijgi, gjc1ie1c2ie2cnien, c1je1c2je2cnjenckicsjek, esckicsjaks. 另一方面, 令DCTA(dij), CTACDC(eij),那么, D的元素dis.CTAC的元素eijbij . 所以CTACB.最后证明V的基e1, e2, , en的度量矩阵A是正定的. 任取一组不全为0的实数a1, a 2, , a n，令a，那么a 0. 由于(a

4、1, a 2, , a n) Aa, a 0，因此A正定. 例1 取欧氏空间R2 x的一个基e11, e2x, e3x2. 则e1, e1, e2, e2, e3, e3, e1, e2e2, e1, e1, e3e3, e1, e2, e3e3, e2. 所以这个基的度量矩阵为.二、规范正交基1. 规范正交基的定义定义1 欧氏空间中一组非零的向量, 如果它们两两正交, 就称为一个正交向量组. 定理8.2.2 正交向量组e1, e2, , en是线性无关的. 证 设k1e1k2e2knen0，用ei与等式两边作内积, 得kiei, ei0.而ei,ei0, 故ki0, i1, 2, , n.

5、因此,e1, e2, , en线性无关. 从定理8.2.2可以看出, 有了正交向量组，确定内积就比较容易一些, 因为当基e1, e2, , en是正交向量组时, 度量矩阵为A.实际上, 我们还可以使度量矩阵更简单. 定义2 在n维欧氏空间中, 由n个向量组成的正交向量组称为正交基, 由单位向量组成的正交基称为规范正交基. 设e1, e2, , en是一个规范正交基, 由定义有ei, ej它的度量矩阵AI, 换句话说, 一个基为规范正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵. 可以看出, 在规范正交基下求内积很容易. 设V是n维欧氏空间, e1, e2, , en是它的一个规范正交基, 对任意

6、a, bV，令ax1e1x2e2xnen，by1e1y2e2ynen，则a, bx1y1x2y2xnyn，a, ax12x22xn2，|a |. 例2 已知e1, e2, , en是n维欧氏空间V的一个规范正交基，a是V中的一个向量，令a= x1e1x2e2xnen，则a,ei= xiei, ei，即 xi =a,ei，i1, 2, , n. 因此, a关于规范正交基e1, e2, , en的坐标为(a,e1，a,e2， ，a,en). 例3 令a1，a2是V2中由原点出发的任意两个不共线的向量，则a1，a2构成V2的基. 令b1=a1，过a2的终点B向a1所在的直线作垂线，垂足为A，将向量平

7、移，使其始点为原点，所得向量记为b2，b2. 因为a2=b2+，而=a1= b1=b1 ,所以 b2=b1，且b1, b20，因此b1, b2就是V2的正交基. 2. 规范正交基的求法正交化过程.定理8.2.3 n维欧氏空间V中任一正交向量组都能扩充成一正交基. 证 设a1, a2, , am是一正交向量组, 我们对nm作数学归纳法. 当nm0时, a1, a2, , am就是一正交基了. 假定nmk时定理成立. 也就是说, 可以找到向量b1, b2, , bk, 使得a1, , am, b1, , bk成为一正交基. 现在看nmk1的情形. 因为mn, 所以一定有向量b 不能被a1, a2,

8、 , am线性表示, 作向量am+1bk1a1k2a2kmam.这里k1, k2, , km是待确定的系数. 用ai与am+1作内积, 得ai, am+1b, aiki ai, ai, (i1, 2, , m). 取ki , (i1, 2, , m)有ai, am+10, (i1, 2, , m) 且am+1ba1a2am . 由b 的选择可知, am+10. 因此a1, a2, , am, am+1是一正交向量组.由于n(m1)k，因此，根据归纳假设, a1, a2, , am, am+1可以扩充成正交基. 我们注意到, 定理的证明实际上给出了一个具体地扩充正交向量组成为正交基的方法. 我们

9、从任一个非零向量出发, 按证明中的方法逐个地扩充, 最后就得到一个正交基. 再把每一个向量单位化, 就得到一个规范正交基. 在求欧氏空间的规范正交基时, 常常是已经有了空间的一个基e1, e2, , en , 这时我们首先将它化成正交基b1, b2, , bn, 再将每一个向量单位化, 得g1, g2, , gn, 那么它就是要求的规范正交基. 例4 在欧氏空间R4中, 把基a1(1, 1, 0, 0), a2(1, 0, 1, 0),a3(1, 0, 0, 1), a4(1, 1, 1, 1)化成规范正交基. 解 先把它们正交化, 得b1a1(1, 1, 0, 0), b2a2b1, b3a

10、3b1b2, b4a4b1b2b3(1,1,1, 1). 再将它们单位化, 得g1b1, g2b2, g3b3, g4b4. g1, g2, g3, g4就是R4的一个规范正交基三、正交矩阵设e1, e2, , en与h1, h2, , hn都是欧氏空间V的规范正交基, 它们之间的过渡矩阵是A(aij), 即（h1, h2, , hn）（e1, e2, , en）由hia1ie1a2ie2anien, hja1 je1a2je2anjen. 知hi, hja1 ia1 ja2ia2 janianj. i, j1, 2, , n. 上式相当于一个矩阵等式AT AI. 或者A-1AT .我们引入定

11、义3 n阶实矩阵A称为正交矩阵, 如果ATAI .实际上，当A是n阶正交矩阵时，由于A-1AT，因此，还有AATI. 以上分析表明, 由规范正交基到规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵. 例5 令 U=，则由正交矩阵的定义可知，U是一个正交矩阵.教学小结本节主要讲解三个内容：1. 度量矩阵(1). 内积的计算(2).度量矩阵 2. 规范正交基(1). 规范正交基的定义注意：一个基为规范正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵. (2). 在规范正交基下内积、坐标的算法(3). 规范正交基的求法正交化过程. 注意：在求欧氏空间的规范正交基时, 常常是已经有了空间的一个基e1, e2, , en, 这时我们首先将它化成正交基b1, b2, , bn，再将每一个向量单位化。3. 正交矩阵 注意：由规范正交基到规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来, 如果一个基是规范正交的, 同时过渡矩阵是正交矩阵,那么另一个基也是规范正交基.本课作业本课教育评注第 7 页 共 7页