《概率论》期中测试题参考解答.doc

《《概率论》期中测试题参考解答.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率论》期中测试题参考解答.doc（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版精选名师资料优秀学习资料欢迎下载概率论期中测试题参考解答1、（10 分） 设 A、B、C 表示三个随机事件，试用事件示下列各事件：A、B、C 的运算分别表(1) A 不发生而 B、C 都发生；表示为： ABC(2) A、B、C 三个事件至少有一个发生；表示为： AU B UC ；或表示为：ABC U ABC U ABC U ABC U ABCU ABCU ABC(3) A、B、C 三个事件至多有一个发生；表示为：ABC U ABC U ABC U ABC(4) A、B、C 恰有两个不发生；表示为：ABC U CAB U BAC；(5) A、B、C

2、 都不发生；表示为：ABC(6) A、B、C 三个事件不少于两个发生；表示为： AB U BC U AC ；ABC U ABC U ABC U ABC或表示为：(7) A、B、C 同时发生；表示为： ABC(8) A、B、C 三个事件不多于两个发生；表示为：A U B U C；或表示为：ABCABC U ABC U ABC U ABCU ABCU ABCU ABC或表示为：(9) A、B、C 不全发生；表示为：A U B U C；或表示为：ABC精品学习资料第 1 页，共 9 页精选名师资料优秀学习资料欢迎下载或表示为：ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U A

3、BC(10) A、B、C 恰有一个发生 .或表示为：ABC U ABC U ABC2、（14 分）已知 P( A)0.3, P(B)0.6, 求：(1) P( AB) ；(2) P( AB) ；0.6, P(AB )(3) P( A U B) ；(4) P( AB ) ；(5) P( A B) ；(6) P( B A) ；(7) P( A B U A) .解：（ 1）因为 0.3P( AB )P( AB)P( A)P( AB) ，所以有P( AB )P( A)0.31P( A)0.30.40.30.1 ；P( AB)P( A)P( AB)1P( A)P( AB)(10.6)0.10.3（ 2）

4、（3） P( A U B)P( A)P(B)P( AB)0.40.60.10.9 ；（4） P( AB)P(A U B)1P( A U B)10.90.1；P( AB )P(B)0.10.61 ；6（5） P( AB)P( AB)P( A)P( AB)0.30.43 ；4（ 6）P(B A)1P( A)P A(B U A)P( B U A)P( AB U AA)（7） P( AB U A)P(B)P( A)P( BA)P( AB )P(B)P( A) P(B)P( AB)P(AB )0.10.60.117P( A)P( AB )3、（8 分）一个盒子中有 10个球，其中 4 个黑球 6 个红球

5、，求下列事件的概率：(1) A =“从盒子中任取一球，这个球是黑球”；(2) B =“从盒子中任取两球，刚好一黑一红”；(3) C =“从盒子中任取两球，都是红球”；(4) D =“从盒子中任取五球，恰好有两个黑球”.精品学习资料第 2 页，共 9 页精选名师资料优秀学习资料欢迎下载1112C42；（ 2）5C4 C6C10815C613解：（ 1）P( A)P( B)P(C)；（ 3）；122C10C1023C4 C6C101021（ 4）P(C)54、（3 分）设甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为 1 , 1 , 2 ，求目标被命中的概率323.解： 设A1=“甲命

6、中目标 ”； A2 =“乙命中目标 ”； A3 =“丙命中目标 ”； A =“目标被击中 ”。则A1 U A2 U A3 ，且 A1 , A2 , A3 独立。故有，P( A)P( A1 U A2 U A3 )1P( A1 U A2 U A3 )1P(A1A2 A3 )1P( A1) P( A2 ) P( A3 )1(11/ 3)(11/ 2)(12 / 3)8 / 95、（6 分）设某批产品中 , 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45% 、35% 和 20% ，各厂的产品的合格品率分别为96%、 98%、 95%. 现从中任取一件， (1)求恰好取到不合格品的概率；(2)取到的不合格品是由甲厂

7、生产的概率.解： 设 A =“任取一件产品，恰为不合格品”； Bi =“任取一件产品，恰为第i 条流水线生产 ”， i =甲，乙，丙。0.45 ，P( B乙 )0.35 ，P( B丙 )0.20 ，P ( A | B甲 )0.04 ，P( A | B乙 )0.02 ，P( B甲 )P( A | B丙 )0.05 。（1）由全概率公式有：P( A)P(B甲 ) P( A | B甲 )P( B乙 ) P(A | B乙 )P(B丙 ) P( A | B丙 )=0.450.04+0.350.02+0.20.05=0.035（2）由贝叶斯公式有：P( AB甲 )P( A)P(B甲 )P( A|B甲 )P

8、( A)0.450.04P( B甲 |A)=0.514290.035精品学习资料第 3 页，共 9 页精选名师资料优秀学习资料欢迎下载6、（8 分）在电源电压不超过200 伏, 在 200240 伏和超过 240 伏三种情形下 ,2X N (220,25) ,某种电子元件损坏的概率分别为0.1, 0.001和 0.2. 假设电源电压试求：(1)该电子元件损坏的概率； (2)在该电子元件损坏时， 电源电压在 200240伏的概率 .(注：(0.8)0.7881 )解： 设 A =“该电子元件损坏”； B1 =“电源电压不超过200 伏”，B2 =“电源电压在 200240 伏”，B3 =“电源电

9、压超过240 伏”。已知P( A | B1 )0.1 ， P( A | B2 )0.001 ， P( A | B3 )0.2( 200220P(B )P( X200)(0.8)0.2119 ，1(0.8)10.7881125240252202002200.5762 ，P(B2 )P(200X240)()()2(0.8)125240220，P(B3 )P( X240)1P( X240)1()1(0.8)0.211925（1）由全概率公式有：P( A)P(B1 )P( A | B1 )P(B2 )P( A| B2 )P(B3) P( A | B3 )=0.21190.1+0.57620.001+0

10、.21190.2=0.064146（2）由贝叶斯公式有：P( AB2 ) = P( B2 )P( A|B2 ) = 0.57620.001 =0.008983P( B |A)2P( A)P( A)0.0641467、（6 分）设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，现进行 n 次独立试验，试求 : (1) A 恰好发生两次的概率；次的概率 .(2) A 至少发生两次的概率；(3) A 至多发生两Xn 次独立试验中事件A发生的次数，易知X b(n, p) 。解： 设表示22n 2（ 1）P( X2)Cn p (1np)；Cpi (1p)nii（ 2）；P( X2)ni 200n 011n 1或

11、P( X2)1P( X0)P( X1)1Cn p (1p)Cn p (1p)精品学习资料第 4 页，共 9 页精选名师资料优秀学习资料欢迎下载nn 11(1p)np(1p)；2Cpi (1ip)ni（ 3）P( X2)；ni 08 、（ 6分 ） 从37五 个 整 数 中 任 取 三 个 不 同 的 数 ， 设 为 x1 , x2 , x3 ， 记min x1 , x2 , x3 ，求：(1) X 的分布列； (2) X 的分布函数；(3) PX4 .X2解：（1）随机变量X的可能取值为：3,4,5 且有222C4610C3310C2110P( X3)； P( X4)； P( X5)。所以X

12、的分布333C5C5C5列为：36/10343/1051/10XP0x6 /109 /10134xx45（ 2）分布函数；F ( x)x5（ 3）P(2X4)P( X3)P( X4)9/10；0,0.3,0.5,0.7,1,x213x2xx x7137，求：9、（6 分）设随机变量X 的分布函数为 F ( x)（ 1） X 的分布列；（ 2） E( X ) ；（3） Var ( X ) .解：（1） X 的可能取值为分布函数F (x) 的间断点：-2,1,3,7；P( X2)F (2)F (10)0.300.3 ；P( X1)F (1)F (10)0.50.30.2 ；P( X3)F (3)F

13、 (30)0.70.50.2 ；P( X7)F (7)F (70)10.70.3 ；X 的分布列为：X所以-2137精品学习资料第 5 页，共 9 页精选名师资料优秀学习资料欢迎下载0.30.30.270.22.3 ；P20.3（2） E( X )10.230.20.3（3） E( X 2 )2(2)2232717.9 ；0.310.20.20.322212.61 。Var ( X )E( X) E( X )17.92.310、（3 分）随机变量X 服从泊松分布，且P( X0)P( X1)，求2) .keP( X解： 因为X 服从泊松分布，即X P() ，故 X 的分布列为： P( Xk)，k

14、 !01因为1) ，所以有P( X0)P(X，得1 ，所以ee0!1!211e1P( X2)e2!2kx,0x3x , 20,4 ， (1)确定常11、（14 分）设随机变量X 的密度函数为f ( x)23x其它72数 k ；(2)求随机变量 X 的分布函数； (3)求；（ 4）求E( X ) ；（5）P1X求 Var ( X ) .x21634解：（1）由 1)dx，；故f ( x) dxkxdx(2k03x6,0x3x , 20,f ( x)23x4其他x（2） X 的分布函数F ( x)P( Xx)(t )dt ，fxx（i）当 x0 时，F (x)f (t) dt0dt0 ；x212t

15、6x0x（ii ）当 0x3 时， F ( x)；f (t)dt0dtdt0精品学习资料第 6 页，共 9 页精选名师资料优秀学习资料欢迎下载（iii ）当 3x4 时，2t6t2xx03x3 ；F (x)f (t) dt0dtdt(2)dt2 x034（iv ）当 x4 时，t6tx034x1 ；F (x)f (t) dt0dtdt(2) dt0dt032402x0x0x3122故 F ( x)x2x33x441x472772x6x2414832 (23（3） P；1Xf ( x)dxdx) dx112727F () 27214721124148或 P。1XF (1)23x6x27334（4

16、） E( X )；xf ( x)dxxdxx(2)dx03x6x2376342222（5） E( X；)xf (x) dxxdxx(2)dx0323767313 。18Var( X )E( X 2 ) E( X ) 2X 212、（3 分）设随机变量X 的分布列如下，试求YX 的分布列 .0X21120.30.20.10.30.1P解： 因为：0X2112精品学习资料第 7 页，共 9 页精选名师资料优秀学习资料欢迎下载0.30.20.10.30.1P220026YXXX2所以 YX 的分布列为：00.320.660.1YP2 x,90,0x3，求：（1）随13、（8 分）设随机变量X 的密度

17、函数为f X (x)其它机变量 Y2X8 的密度函数；（2）求E(Y ) ；（ 3）求 Var (Y ) .解：（ 1） 分布函数法：记 Y2X8 的分布函数与密度函数分别为：FY ( y) ， fY ( y) ；则有：y 82y8)F ( y)P(Yy)P(2 X8y)P( Xf(x)dxYX2y8（i）当0 ，即8 时y2y 82y280；F ( y)f(x)dx0dxYXy8（ii ）当 03 ，即 814 时y2y 82y 8222 x9( y8)360；F ( y)f( x) dx0dxdxYX0y8（iii ）当3 ，即14 时y2y 82y 8233 2 x01 ；F ( y)f

18、( x)dx0dxdx0dxYX0908)361y8y828y14( y14 ，F ( y)8yf ( y)F ( y)故180YYY其它y14精品学习资料第 8 页，共 9 页精选名师资料优秀学习资料欢迎下载公式法：因为yg( x)2 x8 在(,) 上严格递增；y8，且12其反函数为xh( y)h ( y)，故有：2f X h( y)|0h ( y) |0h( y)其它3fY ( y)29y812y8y8048y14202其它180其它293（2） E( X )2 ；xf X ( x)dxxxdx012 ；E(Y )E (2 X8)2 E( X )8228293（3） E( X 2 )x2 fx29 ；( x)dxxdxX0Var ( X )E( X 2 ) E( X ) 2225 ；91248 。Var (Y )Var (2 X8)Var (2 X )4Var ( X )414、（5 分）设 X 为非负连续型随机变量且数学期望存在，证明：E( X ) .xx0 ， P( Xx)1记 X 的密度函数为p(x) ，则x0 有证明：xxP( Xx)p(t)dtp(t)dt1p(t) dt0xtxt x1p(t )dtx1xE( X )x1p(t )dt1tp(t) dt1精品学习资料第 9 页，共 9 页