最新版一次函数反比例函数二次函数知识点归纳总结(超详细).doc

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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（ a， b）表示，

2、其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位ab 时，（ a， b）和（ b，a）是两个不同点的坐标。置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y) 在第一象限点 P(x,y) 在第二象限点 P(x,y) 在第三象限点 P(x,y) 在第四象限x x xx0, y0, y0, y0, y00002、坐标轴上的点的特征点 P(x,y) 在 x 轴上点 P(x,y) 在 y 轴上yx0 ， x 为任意实数0 ， y 为任意实数点 P(x,y) 既在 x 轴上，又在y 轴上x， y 同时为零，即点P 坐标为（

3、 0， 0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y) 在第一、三象限夹角平分线上点 P(x,y) 在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 相等x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于精选精品精选学习资料第 1 页，共 20 页位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、 y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 P 与点点 P 与点点 P 与点p关于 x 轴对称p关于 y 轴对称p关于原点对称横坐标相等，纵坐标互为相反数纵坐标相等，横坐标互为相反数横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 P(x

4、,y) 到坐标轴及原点的距离：（ 1）点 P(x,y) 到 x 轴的距离等于yx（2）点 P(x,y) 到 y 轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于x2y 2知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。x 与 y，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对一般地，在某一变化过程中有两个变量应，那么就说x 是自变量， y 是 x 的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1） 解析法两个

5、变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2） 列表法把自变量x 的一系列值和函数（3）图像法y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1） 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2） 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3） 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。精选精品精选学习资料第 2 页，共 20 页知识点四，正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念ykxb （ k， b 是常数，k0）

6、，那么 y 叫做 x 的一次函数。一般地，如果特别地，当一次函数y例函数。kxb 中的 b 为0 时， ykx （k为常数， k0）。这时， y 叫做 x 的正比2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数y的直线。kxb 的图像是经过点（ykx 的图像是经过原点（0，b）的直线；正比例函数0，0）k 的符号b 的符号函数图像y图像特征yx图像经过一、二、三象限，的增大而增大。随b00xk0yyx图像经过一、三、四象限，的增大而增大。随b00xK0yyx图像经过二、三、四象限，的增大而减小。随b0 时，图像经过第一、三象限，（2） 当 k0

7、时， y 随（2） 当 k0k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，随 x的增大而减小。当 k0a0图像精选精品精选学习资料第 7 页，共 20 页yy0x0x（ 1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（ 1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；b2 ab2 ab2ab2a（ 2）对称轴是x=（ 2）对称轴是x=，顶点坐标是（，顶点坐标是（，b2b 24 ac4a4ac4 a）；）；b2ab2a（ 3）在对称轴的左侧，即当x（ 3）在对称轴的左侧，即当x时， y 随 x 的增大而增大，x时， y 随 x 的增大而减小，简记左简记左减右增；增右减；b2a 时， y 有最小b2 a

8、 时， y 有最（ 4）抛物线有最低点，当x=（ 4）抛物线有最高点，当x=b2b 24ac4a4ac4 a值，y最小值大值，y最大值2、二次函数yax2bxc(a,b, c是常数， a0) 中，a、b、c 的含义：a 表示开口方向：a 0 时，抛物线开口向上a 0=0x 轴有两个交点；x 轴有一个交点；当当时，图像与时，图像与精选精品精选学习资料第 8 页，共 20 页当0)【或向下( k0) 【或左 (h0)【或左 ( h0)【或左 (h0) 【或下 (k0)【或下 (k0)】平移 |k |个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； 函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占

9、很大帮助，可以大大节省做题的时间）k 值正上移，负下移”3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有特别记忆 -(必须理解记忆 )同左上加异右下减精选精品精选学习资料第 9 页，共 20 页y 轴左侧 同左， a b 值异号，图像顶点必在Y 轴右侧 异右函数中 ab 值同号，图像顶点在说明左上加右下减向左向上移动为加，向右向下移动为减3、直线斜率：b为直线在 y轴上的截距 4、直线方程：y2x2y1x1ktan4、 两点:由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式y2xy1xyykxb( t a n) xbx( xx )此公式有多种变形牢记1121 点斜yy1kx(xx1 ) 斜截: y kx

10、 b( k0)直线的斜截式方程，简称斜截式xayb 截距x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1由直线在两点斜截距口 诀 -牢记两点点斜斜截截距l1 ：yk1 xb1l 2 ： yl 1/ll1 / l2k1k 2k2 xb25、设两条直线分别为，若，则有2b1b 2且。若 l1l 2k1k 21kx0y0(b2kx0y02bd6、点 P（ x0，y0）到直线y=kx+b(即： kx-y+b=0)的距离 :2k1)k17、抛物线c 中， a b c,的作用yax 2bxyax2 中的 a 完全一样（ 1） a 决定开口方向及开口大小，这与.ax2（ 2） b 和 a 共同

11、决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线ybxc 的对称轴是直线b2abaa 、 b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；x，故： b0 时，对称轴为y 轴；0 （即ba口诀 -同左异右0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在y 轴右侧 .精选精品精选学习资料第 10 页，共 20 页yax 2bx（ 3） c 的大小决定抛物线c 与y 轴交点的位置 .ax20， c ）：x0 时，yc ，抛物线ybxc 与 y 轴有且只有一个交点（当 c0 ，抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴.ba0 .y 轴右侧，则. 如抛物线的对称轴在以上三点中，当结论和条件互换时

12、，仍成立十一，中考点击考点分析：内容1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系3、一次函数的概念和图像4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题要求 命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的2% 左右一次形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占函数与一次方程有紧密地联系，

13、是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5% 左右反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系， 突出应用价值，3 6 分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描 点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题会求一元二次方程的近似值2009 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计精选精品精选学习资料第 11 页，

14、共 20 页因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用( 函数部分)十二，初中数学助记口诀特殊点坐标特征: 坐标平面点 (x,y),X 轴上 y 为 0,x 为 0 在 Y 轴。(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；横在前来纵在后；对称点坐标 : 对称点坐标要记牢对称最好记 , 横纵坐标变符号。, 相反数位置莫混淆，X 轴对称 y 相反 ,Y轴对称 ,x前面添负号；原点自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的

15、移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k（ x+0） +b、二次函数的解析式写成y=a（ x+h）同左上加异右下减2+k 的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号, 上下平移在末稍,一次函数图像与性质口诀: 一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单, 经过原点一直线；,x 增减 y 增减； k 为两个系数k 与 b, 作用之大莫小看，k 是斜率定夹角 ,b 与 Y 轴来相见 ,k 为正来右上斜负来左下展 , 变化规律正相反；k 的绝对值越大 , 线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与 Y

16、轴来相见 ,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀: 反比例函数有特点, 双曲线相背离的远;k为正, 图在一、三 ( 象) 限,k为负, 图在二、四 ( 象) 限; 图在一、三函数减越近轴 , 永远与轴不沾边。, 两个分支分别减。图在二、四正相反, 两个分支分别添; 线越长k 的正负是关键，决定直线的象限，负k 经过二四限， x 增大正比例函数是直线，图象一定过圆点，y 在

17、减，上下平移系数是关键。k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定k 落在一三限， x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积反比例函数双曲线，待定只需一个点，正都不变，对称轴是角分线x、y 的顺序可交换。a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数二次函数抛物线，选定需要三个点，交点， a、 b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。精选精品精选学习资料第 12 页，共 20 页1对称点坐标 :对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆，X 轴对称 y 相反, Y轴对称 ,x 前面添负号；原点对称

18、最好记, 横纵坐标变符号。关于 x 轴对称2ax2axybxc 关于x 轴对称后，得到的解析式是ybxc ；22ya xhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yaxhk ；关于y 轴对称2ax2axybxc 关于 y 轴对称后，得到的解析式是ybxc ；22ya xhk 关于 y 轴对称后，得到的解析式是yaxhk ；关于原点对称2ax2axybxc 关于原点对称后，得到的解析式是ybxc ；22ya xhk 关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk关于顶点对称2b2yax2axbxc 关于顶点对称后，得到的解析式是ybxc；2a22yaxhkyaxhk 关于顶点对称后，得到的解析式是关于点

19、对称m，n22关于点m ，n对称后，得到的解析式是yaxhkyaxh2m2nka 永远不变求抛根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原精选精品精选学习资料第 13 页，共 20 页抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式口诀Y反对X，X 反对 Y，都反对原点2自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，函数图像的移动规律 :若把一次函数解析式写成y=k （ x+0）

20、+b，二次函数的解析式写成y=a（ x+h）2+k 的形式， 则用下面后的口诀：“左右平移在括号, 上下平移在末稍,左正右负须牢记, 上正下负错不了”。一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单, 经过原点一直线；两个系数k 与 b, 作用之大莫小看，k 是斜率定夹角k 为正来右上斜k 的绝对值越大,b,x与 Y 轴来相见 ,增减 y 增减； k 为负来左下展, 变化规律正相反；, 线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；, 它们确定图象限；开口、顶点和交点精选精品精选学习资料第 14 页，共 20 页开口、大小由a 断,c 与 Y

21、 轴来相见 ,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考, 纵标函数线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴最值见。若求对称轴位置,符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点, 双曲线相背离的远;k 为正, 图在一、三 ( 象) 限； k 为负 , 图在二、四 ( 象) 限;图在一、三函数减, 两个分支分别减；图在二、四正相反边。, 两个分支分别添; 线越长越近轴, 永远与轴不沾函数学习口决：k 的正负是关键，决定直线的象限，负k 经过二正比例函数是直线，图象一定过原点，四限，

22、 x 增大 y 在减，上下平移一条线，选定系数是关键；k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点决定k 落在一三限， x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不反比例函数双曲线，待定只需一个点，正变，对称轴是角分线x、y 的顺序可交换；a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，二次函数抛物线，选定需要三个点，a、b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。求定义域：求定义域有讲究，四项原则须留意。负数不能开平方，分母为零无意义。指是分数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，满足多个不等式。求定义域

23、要过关，四项原则须注意。负数不能开平方，分母为零无意义。分数指数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，不等式组求解集。精选精品精选学习资料第 15 页，共 20 页解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“ 1”有讲究，同乘除负要变向。先去分母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化“1”注意了。同乘除正无防碍，同乘除负也变号。解一元二次不等式：首先化成一般式，构造函数第二站。判别式值若非负，曲线横轴有交点。正开口它向上，大于零则取两边。代数式若小于零，解集交点数之间。a方程若无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，开口向下正相反。13.1 用公式法解一元二次方程要用

24、公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。确定参数abc ，计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配方法解一元二次方程：左未右已先分离，二系化“1”是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。精选精品精选学习资料第 16 页，共 20 页该种解法叫配方，解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程：已知未知先分离，因式分解是其次。调整系数等互反，和差积套恒等式。完全平方等常数，间接配方显优势【注】恒等式解一元二次方程：方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。bb、c 相等都为零，

25、等根是零不要忘。、c 同时不为零，因式分解或配方， 也可直接套公式，因题而异择良方。正比例函数的鉴别：判断正比例函数，检验当分两步走。一量表示另一量，有没有。若有再去看取值，全体实数都需要。区分正比例函数，衡量可分两步走。一量表示另一量，是与否。若有还要看取值，全体实数都要有。精选精品精选学习资料第 17 页，共 20 页正比例函数的图象与性质：正比函数图直线，经过和原点。K KK正一三负二四，变化趋势记心间。正左低右边高，同大同小向爬山。负左高右边低，一大另小下山峦。一次函数：一次函数图直线，经过点。KK K正左低右边高，越走越高向爬山。负左高右边低，越来越低很明显。称斜率 b 截距，截距为

26、零变正函。反比例函数：反比函数双曲线，经过点。KK K正一三负二四，两轴是它渐近线。正左高右边低，一三象限滑下山。负左低右边高，二四象限如爬山。二次函数：二次方程零换y，二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。精选精品精选学习资料第 18 页，共 20 页抛物线有对称轴，两边单调正相反。A定开口及大小，线轴交点叫顶点。顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要减。二次方程零换y，就得到二次函数。图像叫做抛物线，定义域全体实数。定开口及大小，开口向上是正数。AA 负数。绝对值

27、大开口小，开口向下抛物线有对称轴，增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，平移描点皆成图。列表描点后连线，三点大致定全图。若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。【注】基础抛物线列方程解应用题：列方程解应用题，审设列解双检答。审题弄清已未知，设元直间两办法。列表画图造方程，解方程时守章法。精选精品精选学习资料第 19 页，共 20 页检验准且合题意，问求同一才作答。两点间距离公式：同轴两点求距离，大减小数就为之。与轴等距两个点，间距求法亦如此。平面任意两个点，横纵标差先求值。差方相加开平方，距离公式要牢记。精选精品精选学习资料第 20 页，共 20 页