高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式.doc

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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版名师归纳总结立身以立学为先，立学以读书为本高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式知识、方法、技能三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与 求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差” 、“切割化弦” 、“降次”等是我们

2、常用的变形技巧。当然有时也可以利ttan x 的代数恒等式的证明问题用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于.2要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.TTT2相除相除相除SCSCS2C 2相加减万能 公S2积化和差C式2S3TC32和差化积上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础 .此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题.三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法

3、、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角精品学习资料第 1 页，共 7 页名师归纳总结立身以立学为先，立学以读书为本形内角和等于180这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式12c) 其中 p，大家往往不甚熟悉，但十分有用Sp( pa)( pb)( p(abc).赛题精讲sincos例 1：已知1, 求证 : ta

4、n(sinA sin(), | A |).A【 思 路 分析 】 条 件 涉 及 到角、， 而 结 论 涉 及到 角，. 故可 利 用或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A ”(入手 .)()【证法1】sinsin(Asin(),A sin(),sin(sin() cos)(coscos(A) sincos(Asin(),),sin| A |cos1,A0,)sin cossin从而cos(0,tan().Asinsinsin(cossin() sin)sin【证法2】sinsin(Acos)sin() sinsin(cossin( cos( tan(7 cos5xsin() sin

5、) sin).21ocs3x64 cos7 x.例 2：证明： cos7 x35cos x【思路分析】 等号左边涉及角7x、5x、3x、x 右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为sin x、cos x 的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次.4 cos33 cos x,所以 4 cos 3【证明】因为cos 3xcos 3 x3cos x,xx622从而有 16 cosxcos3x6 cos 3 xcos x9 cosx1cos6x29 (123(cos4xcos2x)cos2x)精品学习资料第 2 页，共 7 页名师归纳总结立身以立学为先，立学以读书为本32cos6 x64

6、cosx1cos6x6 cos4x6 cos2 x99 cos2 x,72 cos6x cosx12cos 4x cos x30cos2 x cosx20 cosx15 cos xcos7 xcos7 x【评述】本题看似“化简为繁”cos5x6cos5x6 cos3x15cos3x20 cos x7 cos 5x21 cos3x35cos x.，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复z1 , 从而 ,128 cos1 ) 7 ，展开即可 .z7数求解 . 令i sin,则2 coszcos(zz例 3：求证：3 tan18tan18tan123 tan121.【 思 路 分 析

7、】 等 式 左 边 同 时 出 现tan18tan12、 tan18tan12， 联 想 到公 式t a nt a nt a n ().1t a nt a n【证明】3 tan18tan18tan123 tan 123 (tan 18tan12 )12 )(1tan18tan18tan12tan12 )3tan(18tan18tan121(1tan1 )(1tan 2)(1tan 43)【评述】本题方法具有一定的普遍性仿此可证.222 等 .(1tan 44 )11tantan例 4：已知2001,求证 : sec2tan22001.1cos(2)1sin 2cos22【证明】sec2tan

8、2tan()4sin(2)211tantan2001.) sin(60例 5：证明：4 sinsin( 60)sin 3 .【证明】4sin 3sin 33 sin精品学习资料第 3 页，共 7 页名师归纳总结立身以立学为先，立学以读书为本3424 sin(sin)3(cos 414224 sinsin)321(sin 2cos 60224 sin(cos)4 sin4 sin(sin 60cossin)(sin 60coscos 60sin)sin(60) sin(60【评述】这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地，有cos 34 coscos(60) cos(60) . 利用这几个公式可解下

9、例tan 3tantan(60) tan(60.116例 6：求证：cos6cos42cos66 cos 781445sin1 sin2 sin3 sin89 = ()610.【证明】 cos6cos42 cos66 cos78cos 42cos 78cos 54=cos6 cos54 cos66cos18 cos42cos784 cos5414cos(318 )4 cos54116. sin1 sin2 sin3 sin89=(sin1sin59sin61 )(sin2sin58sin62)(sin29sin31sin89)sin30 sin601434) 29= (sin 3sin 6si

10、n 87(1 ) 3043(sin 3 sin 57sin 63 )(sin 6 sin 54sin 66 )(sin 27sin 33 sin 87 ) sin 30sin 60140()43sin 9sin 18sin 81140()43(sin 9 sin 18 )(sin 18 sin 72 )(sin 27 sin 63 )(sin 36sin 54 )sin 45精品学习资料第 4 页，共 7 页名师归纳总结立身以立学为先，立学以读书为本(1 ) 42432 sin18 sin 36 sin 54 sin 72232323232321()4422 cos72cos54cos36co

11、s181()4422 cos18cos36cos72cos54(1 ) 424(1 ) 4342 cos18cos36sin18cos542 sin 72cos541()4432 cos18sin 361 (14又 (cos182)cos36 )(1cos72)sin 3614145(1cos36cos72cos36cos72 )(1cos36cos72)165 .4即cos18sin 36145()4所以610.sin 1 sin 2sin 89m(k, n,m 为任一整数），有例 7：证明：对任一自然数n 及任意实数x0,1,2,k21sin 2x【思路分析】1sin 4x本题左边为1nc

12、ot xcot 2x.nsin 2xn 项的和，右边为2 项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项2.21sin 2x2 cosxcos 2x2 cosx2 sin x cos xcos 2xsin 2 x【证明】cot xcot 2x,sin 2x1sin 4x同理cot 2xcot 4x1n 1ncot 2xcot 2xnsin 2x【评述】本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：tanntantantan 2tan 2tan 3tan(n1)tannn .精品学习资料第 5 页，共 7 页名师归纳总结立身以立

13、学为先，立学以读书为本22tan 222ntan 2 n12 n 1cot 2n1tan2 tan 2cot.1cos0 cos11cos1 cos2cos1 cot1cos88cos89n2) sin n1sin(例 8：证明：2sinsin()sin(2)sin(n).sin21cos( 2),【证明】sinsin)cos(2221 cos(23252类似地 sin() sin)cos(),223212sin(2) sincos()cos() ,21 cos(2sin(2n2)sin(12n2sin(1sin(n) sin)cos() ,2各项相加得 ,sinsin2)n)21 cos(2

14、2n12)cos()2n2n1s i n () s i n.2n2) sin n1sin(2所以，sinsin()sin(n).sin2【评述】本题也可借助复数获证.n1n2sincos()类似地，有2coscos()cos(n).sin2利用上述公式可快速证明下列各式：n2cos n1sin2coscos2cos3cosnsin2精品学习资料第 6 页，共 7 页名师归纳总结立身以立学为先，立学以读书为本375712coscoscos.9cos 39cos 59cos 791 等.2针对性训练题cos91证明：sin47 +sin61 sin11 sin25 =cos7 .sin(2sin)

15、sinsin2 cos().2证明：3已知：求证：sinA+sinB+sinC=0 ， cosA+cosB+cosC=0.sin2A+sin2B+sin2 C=0， cos2A+cos2B+cos2C=0.1 sin 223tan1 sin 33, 求(0,), 求证 : sin0.4已知5已知 0,且 tan的最大值.2、的最大值 .6已知、(0,), 且2.求 ysinsinsinsin227 ABC 中， C=2B 的充要条件是cbab.8 ABC 中，已知 sin 2 A 、 sin 2 B 、 sin 2 C 成等差数列，求证：成等差数列 .cot A、 cot B、 cot C 也2bac ，求 B 的最大值9 ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别为a、 b、c，已知.(0,), 能否以sin、 sin、 sin() 的值为边长构成一个三角形10若、.2y2x83 x11求函数的值域 .x2x212求函数y12x2 的值域.精品学习资料第 7 页，共 7 页