最全面高中数学公式大全最全-高中数学公式大全总结(精华版).doc

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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版高中数学常用公式及结论元素与集合的关系: xAxCU A , xCU AxA .1?AA2n2n2n1个；非空子集有21 个；非空的真子集有集合 a ,a , a 的子集个数共有个；真子集有12nn22 个.3二次函数的解析式的三种形式：ax2(1)一般式f (x)bxc(a0) ;h)2(2)顶点式f (x)a(xk(a0) ; （当已知抛物线的顶点坐标(h, k ) 时，设为此式）(3)0) ；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为零点式f (x)a(xx1 )( xx2 )(a( x1,0),( x2 ,0) 时，设为此式）2a(xx0 )（

2、4）切线式：f ( x)(kxd ), (a0) 。（当已知抛物线与直线ykxd 相切且切点的横坐标为x0 时，设为此式）45真值表：同真且真，同假或假;常见结论的否定形式原结论是都是大于小于反设词不 是 不都是不大于不小于存在某存在某原结论至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个p 或 qp 且 q反设词一个也没有至少有两个n n qq1）个1）个至多有（至少有（p 且p 或x ，成立x ，不成立x ，不成立x ，成立对所有对任何6( 下图 ): （ 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. ）四种命题的相互关系原命题若则互逆逆命题若则互互互否为为互否逆逆否否否命题若非则非

3、逆否命题若非则非互逆ppq ，则q ，且充要条件：(1)P 是 q 的充分条件，反之，q 是 p 的必要条件；、（ 2）、q p，则 P 是 q 的充分不必要条件；(3) 、p p ，且 qp ，则 P 是 q 的必要不充分条件；4、p p ，且 q p，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。7 函数单调性 :增函数： (1)y 随 x 的增大而增大。、文字描述是：精选精品精选学习资料第 1 页，共 24 页x1, x2D , 且x1x2（ 2）、数学符号表述是：设f（ x）在 x，都有D 上有定义，若对任意的f ( x1 )f ( x2 ) 成立，则就叫f（ x）在 xD 上是增函数。D

4、则就是 f（ x）的递增区间。减函数： (1) 、文字描述是：y 随 x 的增大而减小。x1, x2D ,且x1x2（ 2）、数学符号表述是：设f（ x）在 x，都有D 上有定义，若对任意的f ( x1 )f ( x2 ) 成立，则就叫f（ x）在 xD 上是减函数。D 则就是 f（ x）的递减区间。单调性性质： (1)(3)、增函数 +增函数 =增函数；（ 2）、减函数 +减函数 =减函数；、增函数 -减函数 =增函数； (4) 、减函数 -增函数 =减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数内层函数外层函数复合函数等价关系

5、：单调单调性(1) 设x1 , x2a, b, x1x2 那么f ( x1 )xf ( x2 )xf ( x)在(xx )f (x )f (x )0上是增函数；0a, b121212f ( x1 )1f ( x2 )f ( x)在.(xx )f (x )f (x )0上是减函数0a, b1212xx2(2) 设函数yf ( x) 在某个区间内可导，如果f( x)0 ，则 f ( x) 为增函数；如果f (x)0 ，则f (x)为减函数 .8 函数的奇偶性： （注： 是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：定义： 在前提条件下，若有f (x)f ( x)或f (x)f ( x)0

6、 ，则 f（ x）就是奇函数。性质 ：（ 1）、奇函数的图象关于原点对称；（ 2）、奇函数在x0 和 x0 和 x0 上具有 相反的单调区间；(1)(3)(5)=奇函数；（ 2）、奇函数奇函数=偶函数；=奇函数（也有例外得偶函数的）=非奇非偶函数、奇函数偶函数、偶奇函数偶函数=偶函数；、偶函数偶函数=偶函数；(4)(6)、奇函数奇函数、奇函数偶函数偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来， 如果一个函数的图象关于原点对称，奇函数的图象关于原点对称，那y 轴对称，那么这个函数是偶函数么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于9 函数的周期性：精选精品精选学习资料第 2 页，共 24 页定义： 对函

7、数 f（x ），若存在T的一个周期。 周期函数几种常见的表述形式：0，使得 f （x+T ）=f （x ），则就叫f（ x）是周期函数，其中，T 是 f （x）(1) 、f（ x+T ） = - f（ x ），此时周期为2T ；mn（ 2）、 f（x+m ） =f （ x+n ），此时周期为2；1f ( x)(3) 、f ( xm)2m，此时周期为。10 常见函数的图像：yyyyy=log a x0a1y=a xa0k0xoox0a1ox11a0y=ax 2+bx+cy=kx+ba1oxab; 两个函2xR ),11 对于函数yf ( x) (f ( xa)f (bx) 恒成立f ( x) 的

8、对称轴是, 则函数xba对称 .2yf ( xa) 与 yf (bx)数的图象关于直线x12 分数指数幂与根式的性质：mnam1ma na n(1)（ a0, m, nNn1 ） .，且mn1am（ 2） a（ a0, m, nNn1 ） .，且na )n（ 3） ( na .a, aa, a0nnanan（ 4）当 n 为奇数时，a ；当 n 为偶数时，| a |.0ab13:log a指数式与对数式的互化式NbN( a0, a1, N0).指数性质：1a p（ 2）、 a 0mn、 a( am ) np1 （ a0 ）(1) 1 、 a； (3)；m；(5) 、 a nn am、 ara

9、sars(a0, r , sQ)(4)；指数函数：ax (a1) 在定义域内是单调递增函数；(1) 、ya x (01) 在定义域内是单调递减函数。（ 2）、ya0，1）注：指数 函数图象都恒过点（对数性质：MN、logloglog( MN )(1)MN；（ 2）、logMlogNlog；aaaaaanmbmbn、loglog(3)mblog a mlogblog10； (4) 、(5) 、；aaaal o gbaa(6)log a1、ba(7) 、；精选精品精选学习资料第 3 页，共 24 页对数函数：log ax(a1)(1) 、y在定义域内是单调递增函数；log a x(01) 在定义域

10、内是单调递减函数；（ 2）、ya注：对数 函数图象都恒过点（1， 0）(3) 、l o ga0x,( 0或 , 1 )a,( 1,xax(4) 、 log a0(0,1)则x(1,)a(1,)则x(0,1)xa或log m N14 对数的换底公式:logN(a0 , 且a1,m0 , 且 m1,N0 ).alogama loga Nn logN对数恒等式：a0 , 且a1 ,N0).(bn推论logb (a0 , 且 a1,N0 ).amam15 对数的四则运算法则: 若 a 0， a 1， M 0， N 0，则MN(1) log(MN )loglogMNloglogMlogN ;(2)aaa

11、aaanmnN n(3) logn logM (nR) ;MloglogN (n, mR) 。(4)aaaamp0 ）：16平均增长率的问题（负增长时p)x .x 的总产值N (1N，平均增长率为p ，则对于时间y ，有如果原来产值的基础数为y17等差数列：（ 1）通项公式：ana1(n1)d，其中 a1 为首项， d 为公差， n 为项数，an 为末项。(nk)d（ 2）推广：anak（ 3） anSnSn 1(n2)（注： 该公式对任意数列都适用）n(a1an )前 n 项和：（ 1） Sa为首项， n 为项数， a 为末项。；其中1nn2n(n2an ( n1) d（ 2） Snan1（

12、 3） SnSn2)（ 注： 该公式对任意数列都适用）1（ 4） Sna1a2an（ 注： 该公式对任意数列都适用）常用性质：（ 1）、若 m+n=p+q，则有amana paq；am是an , ap 的等差中项，则有2 amanap注： 若n、m、p 成等差。（ 2）、若an、bnanbn为等差数列，则为等差数列。（ 3）、anSn 为其前 n 项和，则Sm , S2mSm , S3mS2 m 也成等差数列。为等差数列，qa,a,0（ 4）、 app则pq；q精选精品精选学习资料第 4 页，共 24 页n(n1)2（ 5）1+2+3+n=等比数列：a1qn1qn ( nN * )通项公式：

13、（ 1）aa q，其中 a 为首项， n 为项数， q 为公比。n11qnk（ 2）推广：anak（ 3） anSnSn 1 (n2)（ 注： 该公式对任意数列都适用）前 n 项和：（1） SnSnan (n2)（ 注：该公式对任意数列都适用）1（ 2） Sna1a2an（ 注： 该公式对任意数列都适用）na1( q1)a (1qn )（ 3） Sn1( q1)1qamanapaq常用性质： （ 1）、若m+n=p+q，则有；2, a注： 若 a是aaaan、m、p 成等比。的等比中项，则有mnpmnp（ 2）、若an、 bnanbn为等比数列，则为等比数列。ab(1b) n元(贷款 a 元,

14、 n 次还清 ,每期利率为b ).x18 分期付款 (按揭贷款 ) ：每次还款n(1b)119 三角不等式：(0,) ，则 sin x2xtanx .（ 1）若xx(0,) ，则 12sin xcosx2 .(2) 若(3)| sin x | cos x |1.sin=cos： sin2cos2201 ， tan同角三角函数的基本关系式，2122正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）和角与差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin;tantantantan().1tana2b2asinb cossin()=ba( 辅助角(a, b) 的象限决定 ,

15、tan所在象限由点).23二倍角公式及降幂公式精选精品精选学习资料第 5 页，共 24 页2 tantan2sin 2sincos.1tan 2tan 2cos 2sin 211cos2sin 22cos 212sin 2.cos 212 tan1tan2sin 2cos 21.tan 2tan11cos 221cos 22sin 2,cos 224 三角函数的周期公式2|ysin(x) ，x R 及函数ycos(x) ，x R(A, ,为常数， 且 A 0) 的周期函数T；|函数 ytan(x), k2xkZA 0) 的周期 T，(A,.|为常数，且|三角函数的图像：yy=sinx-/2-y

16、y=cosx113/2xo-1-2-3/2/2x-o-12 -2 -3/2/2-/23 /22a sin Aab sin B2 Rsin A, bcsin C2 R（ R为ABC外接圆的半径）25 正弦定理：.a : b: csin A:sin B :sin C2R sin B, c2R sin C26 余弦定理：a 2b2c2b 2c2a2c2a 2b22bc cos A ;2ca cos B ;2 ab cos C.27 面积定理：1 ah1 bh1 ch （ h 、 h 、h 分别表示（ 1）Sa、b、c 边上的高）.abcabc2221 ab sin C 21 bc sin A 21

17、casin B .2（ 2）S122Sb(| OA | | OB |) 2(OAOB) 2(3)S.OABabc斜边2r, r内切圆直角 内切圆ac28 三角形内角和定理：在 ABC中，有ABCC( AB)C2AB2C22( AB) .2229 实数与向量的积的运算律: 设 、 为实数，那么：结合律： ( a )=( )a ;第一分配律：( +)a = a + a ;(1)(2)第二分配律： ( a + b )= a + b(3).30 a 与 b的数量积 ( 或内积 ) ： a b =| a |bcos|。精选精品精选学习资料第 6 页，共 24 页31 平面向量的坐标运算：设 a = (

18、x1 , y1) ,b= (x2 , y2 ) ，则 a + b = (x1(1)x2 , y1y2 ) .设 a = ( x1 , y1) ,(2)ba - b= (x2 , y2 ) ，则= (x1x2 , y1y2 ) .(3)设A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) , 则ABOBOA( x2x1 , y2y1 ) .(4) 设 a = ( x, y),a= (x,R ，则y) .设 a = ( x1 , y1 ) ,(5)b= ( x2 , y2 ) ，则 a b = ( x1 x2y1 y2 ) .32两向量的夹角公式：a| a |b| b |x1x22y1 y22

19、a = (x , y ) , b = ( x , y ) ).(cos112222xyxy112233平面两点间的距离公式：22d(xx )( yy )= | AB |ABAB(A ( x , y ) ， B( x , y ) ).A, B21211122a = ( x1 , y1 ) ,34bb0 ，则：向量的平行与垂直：设=( x2 , y2 ) ，且a |bb= ax 1 y2x2 y10 . （交叉相乘差为零）b0 )a ba(ax 1 x2y1 y20 . （对应相乘和为零）=035P1( x1 , y1) ，P2 ( x2 , y2 ) ，P( x, y) 是线段 P1 P2 的分

20、点 ,线段的定比分公式：设P1PPP2是实数， 且，x11y11x2xOP11OP2则OPy2y1） .OPtOP(1t )OP（ t121A(x 1,y 1 ) 、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x 3 ,y 3 ) , 则 ABC的36 三角形的重心坐标公式： ABC三个顶点的坐标分别为G( x1x23x3 , y1y23y3) .重心的坐标是37 三角形五“心”向量形式的充要条件：设 O 为ABC 所在平面上一点，角A, B,C 所对边长分别为a, b, c ，则2OA2OB2OC.（ 1） O 为ABC 的外心（ 2） O 为ABC 的重心OAOBOC0 .（ 3） O 为ABC

21、的垂心OA OBOB OCOC OA.（ 4） O 为ABC 的内心aOAbOBcOC0 .（ 5） O 为ABC 的A的旁心aOAbOBcOC .精选精品精选学习资料第 7 页，共 24 页38 常用不等式：2a2b（ 1）a, bR2ab ( 当且仅当a b 时取“ =”号 ) ab 23abc( a（ 2）a, bRab( 当且仅当a b 时取“ =”号 ) a3b3c3（ 3）0, b0, c0).ababab .（ 4）a2b22abab（ 5）ab( 当且仅当a b 时取“ =”号 ) 。ab2239 极值定理 : 已知x, y 都是正数，则有xy有最小值2p（ 1）若积xy 是定

22、值p ，则当xy 时和；1 s2 .4xy 是定值 s ，则当（ 2）若和xy 时积 xy有最大值a,b, x, yR（ 3）已知，若 axby1 则有1x1y(axby)( 1 x1 )ybyaxb )2 。abab2ab(axyaxbya,b, x, yR（ 4）已知1 则有，若a( xy)( xb)yayxbxyb )2xyabab2ab(a20) ，如果 a 与 axax 2bxb240一元二次不等式c0(或0)(a0,4 acbxc 同号，则其ax2解集在两根之外；如果a 与bxc 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间 . 即：x1xx2( xx1 )( x

23、x2 )0( x1x2 ) ；xx1 ,或xx2(xx1 )( xx2 )0( x1x2 ) .41：当 a 0含有绝对值的不等式时，有x2a2xaaxa .2x2axaxa 或 xa .42斜率公式：y2x2y1x1k（ P ( x , y ) 、 P ( x , y ) ） .11122243直线的五种方程：（ 1）点斜式( 直线 l 过点 P1( x1 , y1 ) ，且斜率为k )yy1k (xx1)精选精品精选学习资料第 8 页，共 24 页ykxb (b为直线 l 在 y 轴上的截距 ).（ 2）斜截式yy2y1y1xx2x1x1（ 3）两点式(yy )( P ( x , y )

24、、 P ( x , y ) (xx , yy).121112221212两点式的推广：( x2x1 )( yy1 )( y2y1 )( xx1 )0 （无任何限制条件！ ）x aAxy bBy1 (4) 截距式a、b 分别为直线的横、纵截距，a0、b0 )（ 5）一般式C0 (其中 A、B 不同时为0).AxByC0 的法向量：l( A, B) ，方向向量：l( B,A)直线44夹角公式：k21k1( l: yk xb ， l: yk xb ,(1) tan| .)k1 k21111222k k2 1A1B2A2 B1| .( l: AxB yC0, l: A xByC0,(2) tan|).

25、A1 A2B1B2011112222A AB B1212l1 与 l2 的夹角是直线l1l2 时，直线.245l1 到 l2 的角公式：k2k1.( l: yk xb ， l: yk xb(1) tan,)k1k211112221k k2 1A1B2A2B1.( l: A xB yC0 , l: A xByC0 ,(2) tan).A1 A2B1 B2011112222A AB B1212l1 到 l2 的角是直线l1l 2 时，直线.2(点 P( x0 , y0 ) ,直线| Ax0By0C |l ： Ax46： dByC0 ).点到直线的距离A2B 247圆的四种方程：a)2b) 2r 2

26、（ 1）圆的标准方程( x( y.x2y2D 2E2（ 2）圆的一般方程DxEyF0 (4F 0).xyabr cosr sin（ 3）圆的参数方程.（ 4）圆的直径式方程(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0( 圆的直径的端点是A(x1, y1) 、 B(x2, y2) ).2a)2b)2的位置关系有三种：48 点与圆的位置关系：点P( x, y) 与圆( x( yr00) 2)2若 d(ax(byddrP 在圆外 ;，则点00drr点 P 在圆上;点 P 在圆内 .精选学习资料精选精品第 9 页，共 24 页a) 2( yb) 2249AxByC0直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ：

27、 直 线与 圆( xr的 位 置 关 系有 三 种AaA2BbC(d):B 2dr0 ; dr0 ; dr0 .相离相切相交O1 O2d ，则：50: 设两圆圆心分别为O1， O2，半径分别为r 1， r两圆位置关系的判定方法2，4条公切线dr1r2外离;3条公切线dr1r 2外切;2条公切线内含内切相交相交r1r2dr1r2外切;相离dodd1条公切线内切dr1r2dr1+r2;r2-r1内含无公切线0dr1r2.x2y2b22xya cosbsinca51.椭圆1(ab0) 的参数方程是离心率e1，22abaa 2cb2c，焦点到对应准线的距离( 焦准距 )准线到中心的距离为p。b 2a2

28、.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：x2y2521(ab0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积椭圆:22aba 2c:a 2cF PFb 212PFe( x)aex ，PFe(x)aex ；Sc | y|tan。12F1PF2P53 椭圆的的内外部x2a 2y2b2220xy0（ 1）点P( x , y) 在椭圆1(ab0) 的内部1 .00a2b 2x2y222xy00（2）点P( x , y ) 在椭圆1(ab0) 的外部1 .002222abab54 椭圆的切线方程:x2a2y2b 2x xy y00(1)椭圆1(ab0) 上一点P(x , y ) 处的切线方程是1.00

29、a 2b 2x2a2y2b2xxy y00（ 2）过椭圆1外一点P( x , y) 所引两条切线的切点弦方程是1 .00a 2b2精选精品精选学习资料第 10 页，共 24 页x2a2y 2b 2A2a 2B 2b 2c2 .（ 3）椭圆1(ab0) 与直线AxByC0 相切的条件是x2y22b2a2cca550) 的离心率 e1双曲线1(a0,b，焦点到对应准，准线到中心的距离为22aabb2cb 2a线的距离 ( 焦准距 ).p2。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：a 2ca 2cF1PF 2焦半径公式PF1| e( x) | aex |， PF2| e(x) | aex |，b2两

30、焦半径与焦距构成三角形的面积Scot。F1PF256:双曲线的方程与渐近线方程的关系x2y 2x2y2ba1(1 ）若双曲线方程为0x .渐近线方程：y2222ababx2y2xaybba(2).若渐近线方程为x0y双曲线可设为22abx2y 2x2y 21 有公共渐近线，可设为(3)若双曲线与2222abab0 ，焦点在x 轴上，焦点到渐近线的距离总是0，焦点在b 。y 轴上） .（(4)57 双曲线的切线方程:x2a2y2b2xxy y00b2(1)双曲线1(a0,b0) 上一点P( x , y ) 处的切线方程是1.00a2x2a2y2b2x xyy0a 20(2)过双曲线1外一点P(

31、x , y ) 所引两条切线的切点弦方程是1 .00b 2x2y2222222（ 3）双曲线1 与直线AxByC0 相切的条件是A aB bc.2aby22 px 的焦半径公式:58 抛物线p.2y2抛物线2 px( p0) 焦半径CFx0p2p2xxp .CDxx过焦点弦长1212b2b2a4ac4ayax2)259 二次函数bxca(x( a0) 的图象是抛物线：b 2b 24ab2 a4 ac4ab4 ac1（ 1）顶点坐标为(,) ；（ 2）焦点的坐标为(,) ；2 a精选精品精选学习资料第 11 页，共 24 页b24a4ac1（ 3）准线方程是y.) 2) 260 直线与圆锥曲线相

32、交的弦长公式AB( xx( yy1212(1k2 )( x22x1 )tan2cot 2AB4x2x1| x1x2 |1| y1y2 |1或ykxb02A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，由方程消去 y 得到0（弦端点axbxcF(x, y)2( x1x2 )| x1x2 |4x1x20 ,为直线 AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，.61 证明直线与平面的平行的思考途径（ 1）转化为直线与平面无公共点；（ 2）转化为线线平行；:（ 3）转化为面面平行.62 证明直线与平面垂直的思考途径:（ 1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（ 2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（ 3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（ 4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。63 证明平面与平面的垂直的思考途径：（ 1）转化为判断二面角是直二面角；（ 2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。64向量的直角坐标运算：设 a (a1 ,a2 , a3 ) ， b (b1 ,b2 , b3 ) 则：(1)a b (a1b1, a2b2 , a3b3 ) ；a b(2)(a1b1, a2b2, a3b3 ) ；(3) a (a1,a2 ,a3 )( R)；a b(4)a1b1a2b2a3b3 ；65夹角公式：a1b12a2b22a3b32设 a (a,a