最新版《等腰直角三角形中的常用模型》(超详细).doc

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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版等腰直角三角形中的常用模型一【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45o）边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。模型一： 一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（ 1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：例 1如图： Rt ABC中， BAC=90

2、o，AB=AC，点 D是 BC上任意一点，过B作 BE AD于点E，过 C作CF AD于点F。（ 1）求证：BE-CF=E；F（ 2）若 D在 BC的延长线上（如图（2），（ 1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。1学习资料重点学习资料第 1 页，共 9 页P 在线段 BC上（不与B、C重合），以2. 如图 1，等腰 Rt ABC中， AB=C，B ABC=90o，点PAQ，QE AB于 E ， 连 CQ交AP为腰长作等腰直角AB于 M。（ 1）求证： M为 BE的中点PCMB（ 2）若 PC=2PB，求的值（ 2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等

3、的直角三角形：3、如图： Rt ABC中， BAC=90o， AB=AC，点 D是BC上任意一点，过B 作 BE AD于点E，交 AC于点 G，过 C作 CF AC交 AD的延长线与于点F。（ 1）求证： BG=A；F（ 2）若 D在BC的延长线上（如图（2），（ 1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。2学习资料重点学习资料第 2 页，共 9 页1：如图，在Rt ABC中， ACB=45o， BAC=90o， AB=AC，点 D是 AB的中点， AFCD变式于 H交BC于 F， BEAC交AF的延长线于E，求证： BC垂直且平分DE.2：等腰 Rt ABC中， AC=AB，BA

4、C 90，点E，交 BC变式D是 AC的中点， AF BD于点F，连接DF，求证：1= 2。于点3：等腰 Rt ABC中， AC=AB， BAC 90，点D、E是变式AC上两点且AD=C，E AFBD于G，交DF，求证：1= 2。点BC于点F 连接3学习资料重点学习资料第 3 页，共 9 页模型二： 等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形例 1：等腰 Rt ABC中， AC=AB， BAC 90， E 是 AC上一点 ， 过 C作 CD BE于 D，连接AD，求证： ADB 45。变式 1：等腰Rt ABC中， A

5、C=AB，BAC 90， E 是AC上一点 ，点 D为BE延长线上一点，且 ADC 135求证：BD DC。变式 2：等腰 Rt ABC中， AC=AB，BAC 90， BE平分E，过 C作 CD BEABC交 AC于于 D， DMAB交BMBA的延长线于点M，AM BC（ 1）求的值；（ 2）求的值。ABBCAB4学习资料重点学习资料第 4 页，共 9 页模型三： 两个等腰直角三角形共一个顶点（ 1）两个等腰直角三角形共直角顶点 ，必定含一对全等三角形：例 1、如图 1， ABC、 BEF都是等腰直角三角形，ABC= BEF=90o，连接 AF、 CF， M是 AF的中点，连ME，将 BEF

6、绕点 B 旋转。猜想CF与 EM的数量关系并证明；（ 2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：（ 3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：如图， ABC和 EBD都是等腰直角三角形，BAC= BED=90o。把DE平移到 CF，使E与 C重合，连接AE、 AF，则AEB与 AFC全等（关键是利用平行证明ABE= ACF）5学习资料重点学习资料第 5 页，共 9 页例.如图：两个直角三角形ABC、 ADE的顶点A 重合， P 是线段 BD的中点，连PC、 PE。（ 1）如图1，若BAC=DAE=45，当A、 C、D

7、在同一直线上时，线段PC、 PE的关系是；（ 2）如图2、 3，将BAC绕A旋转度，（ 1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。EEEBBBCPPPCADCADAD图1图 3图 26学习资料重点学习资料第 6 页，共 9 页A三【巩固练习】FRtABCABAC ,1如图，在中， BAC90D 、 E 为 BC 上两点,CBDE DAE45， F为ABC 外一点，2BF ; ;BD2CE2DE且 FB BC ,FAAECE, 则下列结论：14222 SADEF ; CEBE2 AE, 其中正确的是ADEA、B、C、D、2已知： Rt ABC中， AB=A，C BAC=90， 若 O是

8、 BC的中点，以 O为顶点作MON，交 AB、AC于点M、N。222（ 1）若MO=N90（如图1），求证：OM=O；N BM+CN=MN；（ 2）若MO=N45（如图2），求证：AM+M=NCN；AANMMNCBBCO图 2O图13、如图，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A（ 4， 4）。（ 1）若 C为 x 轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角ACD， ACD=90，连 OD，求 AOD的度数；（ 2）过 A作y 轴的垂线交y 轴于 E，F为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以EG为AMOFFM1 是否成直角边作等腰Rt EGH，过 A 作 x 轴垂线交EH

9、于点 M，连 FM，等式立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。7学习资料重点学习资料第 7 页，共 9 页4. 在 ABC和 DCE中， AB=AC， DC=DE, BAC= EDC=90，点 E 在 AB上，连AD， DF AC于点 F。试探索 AE、 AF、 AC的数量关系；并求出DAC的度数。ADFEBC(2)Rt ABC和等腰 Rt EDB， AC=B，C DE=B，D ACB EDB 90， E为 AB是5如图：等腰一点， P 为 AE的中点。连接 PC， PD；则 PC， PD的位置关系是；数量关系是；并证明你的结论。EFBC于F，连接 PF，试判断 PCF的形状；当 E 在线段

10、 AB 上变化时， 其它条件不变， 作在点 E 运动过程中，PCF是否可为等边三角形？若可以，试求ACB与 EDB的两直角边之比。6， 已知两个共一个顶点的等腰Rt ABC， Rt CEF， ABC= CEF=90，连接AF，M是AF的中点，连接MB、 ME（ 1）如图1，当 CB与 CE在同一直线上时，求证：MB CF；（ 2）如图1，若 CB=a， CE=2a，求 BM， ME的长；（ 3）如图2，当 BCE=45时，求证：BM=ME8学习资料重点学习资料第 8 页，共 9 页7、如图，在平面直角坐标系中，A(4 ， 0) ，B(0 ， 4) 。点 N 为 OA上一点， OM BN于 M，且 ONB=45 + MON。（ 1）求证： BN平分 OBA；OMMN（ 2）求的值；BN（ 3）若点 P 为第四象限内一动点，且 APO=135，问 AP与 BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。ABD，且 P、D两点在直线8已知： PA=2 ，PB=4，以 AB为直角边作等腰直角三角形AB 的两侧.如图，当 APB=45时，求AB及PD的长;(1)当 APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应APB的大小.(2)9学习资料重点学习资料第 9 页，共 9 页