人教版高中数学知识点总结(精炼版).doc

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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版学习必备欢迎下载2018年新人教版高中数学知识点总结高中数学第一章必修 1 知识点集合与函数概念【 1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性（ 2）常用数集及其记法.表示正整数集，Z表示整数集，Q 表示有理数集，R 表NN或 N表示自然数集，示实数集 .（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合（ 4）集合的表示法aMaMM的关系是，或者，两者必居其一.自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法： x | x 具有的性质 ，其中 x 为集合的

2、代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合（ 5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集().【 1.1.2】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图AB(1)A(2)AA（或A 中的任一元素都A(B)子集BAAAB 且B 且BBCAACB若若，则属于(3)(4)BBA)或A ，则（ 1）A （ A 为非空子集）ABAB ，且B 中至真子集少有一元素不属于ABAAB 且（或 B(2) 若BC ，则ACA）A 中的任一元素都属于 B，B 中的任一集合相等(1)A(2)BBAABA(B)元素都属于A2

3、n 个子集，它有2 nn2A有 n( n1) 个元素，则它有1 个真子集，它有（ 7）已知集合1 个2n非空子集，它有2 非空真子集 .精品资料精品学习资料第 1 页，共 47 页学习必备欢迎下载【 1.1.3】集合的基本运算（ 8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图AA A A A A A A(eU A)AA（1）（2）（3） x | xA,且AB交集ABBB AAB A A ABxB（1）（2）（3） x | xA,或AB并集BABBxB1 A2 A(eU A)U痧U ( A痧U ( AB)(U A)(?U B)eUA x | xU , 且xA补集B)(A)(?U B)U【补充知识】含

4、绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式的解法不等式解集| x |a(a0) x |axa| x |a( a0)x | xa或 xaaxb| x |a把看 成 一个 整 体 ，化成，| axb |c,| axb |c(c0)| x |a( a0) 型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式0002b4ac二次函数2yaxbxc(a0)O的图象精品资料精品学习资料第 2 页，共 47 页学习必备欢迎下载2一元二次方程bb4acx1,2b2a2a2xx2axbxc0(a0)无实根1x1x2 )的根（其中2b2aaxbxc0(a0) x | xx1 或xx2 x | xR的解

5、集2axbxc0(a0) x | x1xx2的解集 1.2 函数及其表示【 1.2.1 】函数的概念（ 1）函数的概念x ，在集合设 A 、 B 是两个非空的数集，fA 中任何一个数B如果按照某种对应法则，对于集合f ( x)和它对应， 那么这样的对应 （包括集合A ，B 以及 A 到 B 的对应法则f中都有唯一确定的数）叫做集合A 到 B 的一个函数，记作f : AB函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（ 2）区间的概念及表示法设 a, b 是两个实数，且ab ，满足axb 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做a,b ；满足axb 的实

6、数 x 的集合叫做开区间，记做(a, b) ；满足 axb ，或axb 的实数 x 的 a, b) ， (a,b ；满足 xa, xa, xb, xb 的实数 x 的集集合叫做半开半闭区间，分别记做a,),( a,),(, b,(, b)合分别记做a 可以大于或等于b ，而后者必须 x | axb(a, b) ，前者注意： 对于集合与区间ab （ 3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：f ( x)是整式时，定义域是全体实数 f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数f ( x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合精品资料精品学习资料第 3 页，共 47 页学

7、习必备欢迎下载对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1ytan x 中，( kZ) xk2零（负）指数幂的底数不能为零若f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集一般步骤是： 若已知f ( x) 的定义域为 a,b ，其复合函数f g( x)对于求复合函数定义域问题，ag( x)b的定义域应由不等式解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（ 4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和

8、求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个 最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的 值域或最值xyf ( x)y判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程a( y) x2b( y) xc( y)00 时，由于 x, y 为实数，故必须有a( y)，则在b2 ( y)4a( y)c( y)0 ，从而确定函数的值域或最值不等式法：利

9、用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为 三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【 1.2.2 】函数的表示法（ 5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（ 6）映射的概念设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于

10、集合A 中任何一个元素，在集合B 中都精品资料精品学习资料第 4 页，共 47 页学习必备欢迎下载A ， B 以及 A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A有唯一的元素和它对应，那么这样的对应 （包括集合到 B 的映射，记作f : AB a 和元素b 对应，那么我们把元素给定一个集合A 到集合 B 的映射，且aA,bB 如果元素b 叫做元素 a 的象，元素叫做元素 b 的原象a 1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性定义及判定方法 函数的性 质定义图象判定方法如果对于属于定义域I内某（ 1）利用定义y个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2 , 当 x1

11、x2时，都 有 f(x1)f(x2)， 那 么 就 说（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象 （在 某个区间图y=f(X)f(x2 )f(x1 )f(x)在这个区间上是增函数o象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的 单调性（ 3）利用函数图象 （在 某个区间图 象下降为减）（ 4）利用复合函数xx1x 2函数的单调性如果对于属于定义域I内某yy=f(X)个区间上的任意两个自变量f(x 1)的值 x 1、 x2 ，当 x f(x2)， 那 么 就 说f(x)在这个区间上是 减函数2oxxx12在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数

12、，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数于 复 合 函 数 yf g ( x) ， 令 ug (x) ， 若 yf (u) 为 增 ， ug ( x) 为 增 ， 则 对yf g(x) 为增；若yf (u)ug (x) 为减，则yf g (x)yf (u)为减，为增；若为ug (x)yf g( x)yf (u)ug( x)增，为 减，则为 减；若为 减，为 增，则yyf g(x) 为减a (a xf (x)0) 的图象与性质x（ 2）打“”函数(,a 、 a,) 上为增函数，分别在f (x) 分别在ox精品资料精品学习资料第 5 页，共 47 页学习必备欢迎下载a ,0)(

13、0,a 上为减函数、（ 3）最大（小）值定义yf ( x)IMxI一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（ 1）对于任意的，都有f ( x)M；（ 2）存在x0If ( x0 )MMf (x)，使得那么，我们称是函数的最大值，记作fmax ( x)M的定义域为，如果存在实数m 满足：（ 1）对于任意的xIyf ( x)I一般地，设函数，都有x0If (x0 )m 那么，我们称m 是函数f ( x) 的最小值，记f ( x)m ；（ 2）存在，使得fmax(x)m 作【 1.3.2】奇偶性（ 4）函数的奇偶性定义及判定方法 函数的性 质定义图象判定方法如果对于函数f(x)定义域内f(x)=

14、 叫做 奇函（ 1）利用定义（要先判断定义域是否关于 原点对称）（ 2）利用图象（图象关于原点对称）任意一个x，都有f(x),那么函数f(x)数函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内（ 1）利用定义（要先判断定义域是否关于 原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么函数 f(x)叫做 偶函数x0 处有定义，则f ( x)f (0)0 若函数为奇函数，且在yy奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函

15、数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数精品资料精品学习资料第 6 页，共 47 页学习必备欢迎下载补充知识函数的图象（ 1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； 利用基本函数图象的变换作图：化解函数解析式；画出函数的图象要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0,左移 h个单位0,右移 | h|个单位h hyf ( x)yf (xh)0,上移 k个单位0,下移 | k|个单位kkyf ( x)yf ( x)k伸缩变换1,伸1,缩0yf ( x)yf (x)A 1,缩 A 1,伸0y

16、f ( x)yAf ( x)对称变换x轴y轴f (x)f (x)yyyf ( x)yf (x)直线y原点x1f( x)yf ( x)yf (x)yf ( x)y去掉 y轴左边图象保留 y轴右边图象，并作其关于yf ( x)yf (| x |)y轴对称图象保留 x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去yf ( x)y| f ( x) |（ 2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径， 获得问

17、题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章基本初等函数 ( ) 2.1 指数函数【 2.1.1 】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念nxa, aR, xR,n1 ，且 nNx 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时，如果，那么nna 的 n 次方根用符号a 表示； 当 n 是偶数时， 正数 a 的正的n 次方根用符号a 表示， 负的 n 次方精品资料精品学习资料第 7 页，共 47 页学习必备欢迎下载na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数没有次方根an根用符号na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数当n 为奇数时， a 为任意实数；当式子n 为偶数时，a0 ( n

18、a ) nnnaa ； 当 根 式的 性质 ：nan为 奇数 时 ，； 当为 偶 数 时 ，a(a(a0)0)nna| a |a（ 2）分数指数幂的概念ma nnma(a0, m, n,N且 n1) 0 的正分数指数正数的正分数指数幂的意义是：幂等于 0mnmn1()a1ma()(aa0, m, nN , 且 n正数的负分数指数幂的意义是：n1) 0的负分数指数幂没有意义（ 3）分数指数幂的运算性质注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 arasar s (a (ar ) sars ( a0, r , sR)0, r , sR)r (ab)rra b (a0, b0, rR)【 2.1.2】指数函

19、数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数a x (a0 且定义y函数a1) 叫做指数函数a10a1yxxyyaya图象y1y1(0,1)(0,1)OOxx定义域R(0,)值域精品资料精品学习资料第 8 页，共 47 页学习必备欢迎下载，即当 x0 时， y(0,1)1 过定点图象过定点奇偶性单调性非奇非偶在 R 上是增函数在 R 上是减函数xxa1( x0)a1(x0)函数值的变化情况xxa1( x0)a1(x0)axax1( x0)1(x0)a 变化对a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低图象的影响在第一象限内， 2.2 对数函数【 2.2.1 】对数与对数运算（ 1）对数的定义

20、xaN ( a0, 且a1) ，则x 叫做以 a 为底NxlogN ，其中a 叫做底数，若的对数，记作aN叫做真数负数和零没有对数xlog(0,1,0) 对数式与指数式的互化：xNaN aaNa（ 2）几个重要的对数恒等式blog a 10 ， log a a1 ， log a ab （ 3）常用对数与自然对数lg Nlog10 N ；自然对数：ln N，即 log e N （其中e2.71828常用对数：，即）如果 a0, a1,M0, N0 ，那么（ 4）对数的运算性质MNlog alogaloga (MN )MNloga Mloga Nloga加法：减法：n (n alog a Nn l

21、oglogR)MM数乘：Naanblog b Nlog b an log balogaM (b0,nR)M0, 且b换底公式：log aN(b1)精品资料精品学习资料第 9 页，共 47 页学习必备欢迎下载【 2.2.2】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数 名称对数函数log ax(a0y定义函数且 a1) 叫做对数函数a10a1x1x1yyyloga xyloga x图象(1,0)OO(1,0)xx(0,)定义域值域Rx1 时，(1,0)y0 过定点图象过定点，即当奇偶性非奇非偶(0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数在单调性loga xloga x loga x000(x(x(01)

22、1)xlogalogalogaxx x000(x( x(01)1)x函数值的变化情况1)1)a 变化对a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高图象的影响在第一象限内，(6) 反函数的概念的定义域为A ，值域为 C ，从式子中解出 x ，得式子yf(x)yf (x)x( y)设函数如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过式子xx( y) ，在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式f1( y) ，x( y)表示是 y 的函数，函数xx( y)yf ( x)x子叫做函数的反函数，记作f1( x) y习惯上改写成（7）反函数的求法f1 ( y) ；yf ( x)x确定反函数的定义域，即

23、原函数的值域；从原函数式中反解出11xf( y) 改写成 yf( x) ，并注明反函数的定义域将精品资料精品学习资料第 10 页，共 47 页学习必备欢迎下载（8）反函数的性质1f(x)yf (x)原函数与反函数yyx 对称的图象关于直线1yf(x) 的值域、定义域yf ( x)函数的定义域、值域分别是其反函数P (b, a) 在反函数y1 (x) 的图象上P(a,b)yf (x)f若在原函数的图象上，则yf (x)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数 2.3 幂函数（ 1）幂函数的定义yx一般地，函数叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质图象分布：幂

24、函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 一、二象限 (图象关于y 轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限函数时，图象只分布在第一象限幂函数是偶函数时，图象分布在第(图象关于原点对称) ；是非奇非偶(0,) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)过定点：所有的幂函数在0 ，则幂函数的图象过原点，并且在0 ，则幂函数0,)单调性：如果上为增函数如果x 轴与轴(0,) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近y的图象在qpp, q 互奇偶性： 当为奇数时， 幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当（其中qx pqx p质， p 和qZ），若 p 为奇数 q 为奇数时， 则qy是奇函数

25、， 若 p 为奇数 q 为偶数时， 则ypx是非奇非偶函数p 为偶数 q 为奇数时，则y是偶函数，若图象特征：幂函数yx, x(0,)1 时，若0x1，其图象在直线yx 下方，若，当x1 ，其图象在直线yx 上方，当1 时，若0x1，其图象在直线yx 上方，若x1 ，yx下方其图象在直线精品资料精品学习资料第 11 页，共 47 页学习必备欢迎下载补充知识二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式f ( x)ax 2h)2bxc( a0) 顶点式：f ( x)a(xk( a0) 两根式：一般式：f ( x)a( xx1 )( xx2 )( a0)（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用

26、一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f( x)更方便（ 3）二次函数图象的性质b2af ( x)ax 2bxc( a0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为x,二次函数顶点坐标是2b , 4acb() 2 a4ab2ab2ab2a当 a0 时，抛物线开口向上，(, 上递减， 在 ,) 上递增， 当x函数在时，2b2ab2a4ac4aba0 时，抛物线开口向下，函数在(, 上递增，在,) 上fmin ( x)；当2b2a4ac4abx递减，当f( x)时，max2b 2f ( x)axbxc( a

27、0) 当x4ac0 时，图象与轴有两个交点二次函数M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | |x1x2 |a|ax2bxc0(a0) 根的分布（ 4）一元二次方程一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用， 下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布2axbxc0( a0) 的两实根为x1 , x2 ，且x1x2 令设一元二次方程b2af ( x)ax2bxcxa，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：对称轴位置：判别式：k x1 x2

28、端点函数值符号精品资料精品学习资料第 12 页，共 47 页学习必备欢迎下载yyb2axa0f ( k)0OOkx2x1x1x 2xxkf ( k)0b2axa0x1 x2kyyb2af(k)0xa0OOx2kx2x1x1xxkf (k )0b2aa0xx1 kx2af( k) 0yya0f (k)0Okx2x1x1x 2Oxxkf ( k)0a0k1 x1 x2k2ya0b2ayxf ( k1 )0f ( k2 )0k1x2k2x1x2x1OOk1k2xxf ( k1 )0f ( k2 )0b2axa0有且仅有一个根x1（ 或 x2）满足k1 x1（ 或 x2 ） k2f ( k1) f (

29、 k2 )0，并同时考虑f( k1 )=0或 f ( k2 )=0 这两种情况是否也符合精品资料精品学习资料第 13 页，共 47 页学习必备欢迎下载yya0f ( k1 )0f (k1 )0k2x1k2x1x2x 2Ok1Ok1xxf ( k 2 )0f ( k2 )0a0k1 x1 k2 p1 x2p 2此结论可直接由推出2f ( x)axbxc(a0) 在闭区间 p, q 上的最值（ 5）二次函数1 ( p2m ，令f ( x) p, qMxq) 设在区间上的 最大值为，最小值为0（）当 a0 时（开口向上）b2af (q)b2ab2ab2ap ，则pq，则mf ()q ，则若mf( p

30、)若若mffff(q)(p)(p)(q)OxOOxxfbb2aff (p)b，则2Maf()f ()b2ab2a2axx若f (q)Mf ( p)(q)，则00f( ) 当 a0 时 ( 开口向下)f(p)x0b2af (q)bb2ab2ax(q)p ，则Opq ，则Mf ()q ，则若M0f( p)若若x2aOxb2aMfff ()(p)b2a(q)f)b)2ab2ab2aff(f()f()(q)ff(p)(p)OxOOxxfff(p)(q)(q)精品资料精品学习资料第 14 页，共 47 页学习必备欢迎下载b2ab2ax0 ，则x0 ，则mf(q)mf ( p) 若b2ab2af()f (

31、)ff(q)(p)x0x0OxOxff(q)(p)第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数xyf ( x)( xD) ，把使f ( x)0成立的实数叫做函数yf (x)( xD ) 的零点。yf ( x) 的零点就是方程f( x)0 实数根， 亦即函数yf (x)2、函数零点的意义： 函数的图象与 x 轴交点的横坐标。即：x 轴有交点f ( x)0 有实数根yf ( x) 的图象与yf ( x)方程函数函数有零点3、函数零点的求法：yf ( x) 的零点：求函数f ( x)0 的实数根；12（代数法）求方程yf (x)（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函

32、数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：2yaxc(abx0)二次函数bx2x 轴有两个交点，二次0 有两不等实根，二次函数的图象与），方程函数有两个零点），方程axcax 20x 轴有一个bxc有两相等实根（二重根），二次函数的图象与交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点ax 20x轴无交点，二次函数无零点bxc）， 方程无实根， 二次函数的图象与高中数学第一章必修2 知识点空间几何体1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法4 斜二测画法的步骤：侧视图：

33、从左往右俯视图：从上往下精品资料精品学习资料第 15 页，共 47 页学习必备欢迎下载（ 1） .平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（ 2） .平行于 y 轴的线长度变半，平行于（ 3） .画法要写好。x， z 轴的线长度不变；5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1.3 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1）画轴（2）画底面（ 3）画侧棱（4）成图1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2Srlr22 圆柱的表面积S2rl2r3圆锥的表面积222SrlrRlRS4R4 圆台的表面积5 球的表面积（二）空间几何体的体积13VVS底hVS底h1 柱体的体积2 锥体的体积143R3（V

34、SSSS)h4 球体的体积3 台体的体积下下上上3第二章2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示直线与平面的位置关系DCAB0（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成成邻边的 2 倍长（如图）45 ，且横边画（2）平面通常用希腊字母 、 、等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD等。3三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为ALABLAB= LL公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为： A、 B、C 三点不共线=有且只有一个平面， 使 A 、 B 、C 。公理 2 作用：确定一个平面