八年级数学反比例函数教学设计.doc

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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版 八年级数学反比例函数教学设计（经典）目标认知学习目标l经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，抽象出反比例函数的概念，并结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义2. 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质3. 逐步提高观察和归纳分析能力、体验数形结合的思想方法重点重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质知识要点梳理知识点一：反比例函数的概念一般地，形如(k为常数，k不等于零)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数或叫因变量，也可以写

2、成:,.要点诠释：（1）在y=中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义，所以自变量x的取值范围是 ，因变量y的取值范围是。故函数图象与x轴、y轴无交点；（2）中分母x的指数为1，如，就不是反比例函数；（3）y=()可以写成()的形式，自变量x的指数是-1，在解决有关自变量指数问 题时应特别注意系数这一条件；（4）y=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两反比例函数关系的关键。知识点二：反比例函数的图象1、 反比例函数的图象特征：（1）反比例函数的图象是一条双曲线，它有两个分支，这两个分

3、支分别位于第一、三象限或第二、四象限；（2）若点(a,b)在反比例函数的图象上，则点(a,b)也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；（3）在反比例函数中由于x0，k0，所以y0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线注意双曲

4、线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当k0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当k0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；（3）如图2，当k0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大；（4）在反比例函数(k为常数，k不等于零)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴知识点四：反比例函数()中的比例系数的意义如图所示，过双曲线上任一点作轴、轴垂线段PM、PN，所得矩形PMON的面积。 ， 。 ，即反比例函数中的比例系

5、数k的绝对值表示过双曲线上任意一点，作x轴，y轴的垂线所得的矩形的面积。如图所示，过双曲线上一点Q向x轴或y轴引垂线，则所得的三角形的面积，即反比例函数中的比例系数k的绝对值的一半表示过双曲线上任意一点，作x轴（或y轴）的垂线，并连接原点，所得的直角三角形的面积。知识点五：反比例函数解析式的确定要点诠释：(1)待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，只要确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的 值，从而确定反比例函数的关系式。(2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 设所求的反比例函数为：(k0)； 根据

6、已知条件，列出含k的方程； 解出待定系数k的值； 把k值代入函数关系式中。规律方法指导1会画出反比例函数的图象(双曲线)，画函数图象时要写出解析式和自变量的取值范围.2掌握反比例函数的性质，并能够简单应用，比如根据y随x的变化而变化情况，确定系数的范围或确定系数.3能够利用反比例函数的图象解决一类面积问题：与过图象上一点做两坐标轴的垂线所构成的面积，理解其中所运用的转化思想(坐标线段的长度).4能够利用待定系数法确定反比例函数的解析式(由坐标确定；由图形线段、面积等确定)，理解k的作用.5能够利用反比例函数分析解决相关的实际问题.6渗透“数形结合”思想.经典例题透析类型一：反比例函数的概念1下

7、列等式中，哪些是反比例函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。思路点拨：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（为常数，）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含，（6）改写后是，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式。解：（2）、（3）、（5）是反比例函数。总结升华：（1）要记住反比例函数的一般形式及两个变形式；（2）要注意对反比例函数概念实质理解，而不是仅仅局限于形式，如（4）中，y是x+2的反比例函数， 而不是x的反比例函数。举一反三：【变式1】已知函数是反比例函数，则此函数解析式为_。思路点拨：由反比例函数的定义可知进而求

8、得的值，确定函数的解析式。解：依题意，得：解得 故所求函数解析为。总结升华：反比例函数(k是常数，k0)也可记为：，其中k0，x的指数是1。【变式2】若函数y=(m21)x为反比例函数，则m=_解：在反比例函数y=中，其解析式也可以写为y=k，故需满足：解得：.总结升华：函数y=为反比例函数，需满足k0，且x的指数是1，两者缺一不可类型二：确定解析式2图象经过点(1，2)的反比例函数的表达式是_ 思路点拨：由于反比例函数有一个待定系数k，故只需一个条件，本题有“图象经过点(1，2)”这一条件，代入即可确定反比例函数的表达式。解析：当时，.代入.所以所求函数表达式是总结升华：求反比例函数解析式常

9、用到的方法有：待定系数法、用定义、图像法.举一反三：【变式】 如图1，P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的表达式是_【答案】设P点坐标为(a，b)，则 所以,.而 ，故，即 .再设反比例函数为，由点P(a,b)在图象上，得，所以 .从而求出 ，故解析式为 类型三：函数的图象及性质3已知反比例函数的图象上有两点A()，B()，且，那么下列结论正确的是( ). A. B. C. D. 之间的大小关系不能确定思路点拨: 反比例函数有如下性质：当时，在每一象限内，y随x增大而减小；当时，在每一象限内，y随x增大而增大解析：特别要注意在每一象限内的限制条件由于

10、本题没有明确A、B两点的具体位置，故有：(1)时，；(2)当时，(如图2)，很明显，因此选D总结升华：反比例函数的增减性要分别在两个象限内讨论举一反三：【变式1】已知反比例函数的图象在一、三象限，那么m的取值范围是_。思路点拨：反比例函数(k0)的图象是等轴双曲线，当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限。解析：因为反比例函数的图象在一、三象限所以。总结升华：反比例函数(k为常数，k不等于零)，当双曲线的两支分别位于第一、三象限时,则；当双曲线的两支分别位于第二、四象限，则。【变式2】若M(，y1)、N(，y2)、P(，y3)三点都在函数y=(k 0)的图像上，则y1 、y2 、y3 的

11、大小关系为 ( ). Ay2y3y1 By2y1 y3 C. y3y1 y2 Dy3y2 y1【答案】因为xy=k(k0),所以y10, y20, y30,且在第二象限内y随x的增大而增大，所以y1y2 .综上所述：选B.类型四：反比例函数与其它知识的结合4反比例函数与正比例函数y=2kx在同一坐标系中的图象不可能是( ). 思路点拨: 显然若k0，则k2的值可以为正，也可以为负，故B、C都有可能；若 k0，则k20，故A可能，D不可能解析：选D总结升华：反比例函数知识可以与一次函数、面积问题等结合在一起.举一反三：【变式1】如图4，点A是图象上的一点，ABy轴于点B，则AOB的面积是( ).

12、A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】设点A的坐标为(a，b)，由点A在的图象上得：，即ab=4又AOB是直角三角形，所以，故选B【变式2】如图5，P1、P2、P3是双曲线上的三点过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10、P2A20、P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则( )AS1S2S3 BS2S1S3 CS1S3S2 DS1=S2=S3【答案】因为图中每个三角形均为直角三角形，故面积等于每一个反比例函数图像上的点的横纵坐标的绝对值的乘积的一半，即S=，因为P1、P2、P3在双曲线上，所以坐标满足xy=k.所以S=选D. 【变式3】已知反比例函数的图象经过点A

13、()，过点A作轴于点B，且的面积为。(1)求k和m的值；(2)若一次函数的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求|AO|：|AC|。解析：(1)， 点在第二象限内， 。 ， 点A的坐标为A() 把A()的坐标代入中，得 (2)把A()代入中， 。 令，得，。 点C的坐标为C(，0) 轴于点B，为直角三角形。 在中， 。 在中，由勾股定理，得 学习成果测评基础达标选择题1反比例函数y=与直线y=-2x相交于点A，且点A的横坐标为-1，则此反比例函数的解析式为 （ ）.Ay= By= Cy=- Dy=-2已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（ ）.3某闭合电路中，电源

14、的电压为定值，电流I（A）与电阻R（）成反比例如图1表示的是该电路 中电流I与电阻R之间关系的图像，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）.AI= 图1 图2 图34下列关系中说法不正确的是（ ）.A在y=-1中，y+1与x成反比例 B在xy=-2中，y与成正比例C在y=中，y与x成反比例 D在xy=-3中，y与x成反比例5如图2，过原点的一条直线与反比例函数y=（k0）的图像分别交于A、B两点，若A点的坐标 为（a，b），则B点的坐标为（ ）.A（a，b） B（b，a） C（-b，-a） D（-a，-b）6如图3，双曲线y=的一个分支为（ ）.A B C D7反比例函数y=与正比例函数y=

15、2x图象的一个交点的横坐标为1，则反比例函数的图像大致为（ ）.8函数y=（k0）的图象如图4所示，那么函数y=kx-k的图象大致是（ ）. 图49已知点P是反比例函数y=（k0）的图像上任一点，过P点分别作x轴，y轴的平行线，若两平行线 与坐标轴围成矩形的面积为2，则k的值为（ ）.A2 B-2 C2 D410如图5，直线与双曲线交于点过点作轴，垂足为点，连结若，则的值是（ ）.A B C D解答题11.已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时y的值12. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点（1，5）（1）求这两个函数的解析式；（2

16、）求这两个函数图象的另一个交点的坐标能力提升填空题1如图1是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象，观察图象写出y1y2时，x的取值范围_图1选择题2在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）.解答题3. 如图2所示，已知一次函数y=kx+b的图像与x轴y轴分别交于A,B两点，且与反比例函数y=的图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1，(1)求点A,B,D的坐标;(2)求一次函数与反比例函数的解析式 4在平面直角坐标系XOY中，直线y=-x绕点O顺时针旋转90得到直线l，直线l与反比例函数y=的图象的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式5

17、某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的料泥地为了完全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时通道，木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图3所示 图3（1）请直接写出此函数表达式和自变量取值范围；（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？综合探究填空题1如图1，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为B（-，5），D是AB边上的一点，将ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_图

18、1解答题2如图2，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求的面积答案与解析基础达标选择题1C （提示： 将x=-1代入y=-2x得，y=2，所以A点坐标为（-1，2）；因为点A在反比例函数y=的图象上，所以2=，所以k=-2.）2A.（提示：面积不变，即长与宽的乘积等于常量.） 3C.（提示：将图中已知点的坐标带入解析式即可.） 4C （提示：两个量是否成反比例，关键是看这两个量的积是否是一个定值从题中可以看出A中的y+1与x之积为1，C中的y与x2的积为，但y与x的积不是定值，所以C是错误的.） 5D.（提示：反比例函数的图像关于原点对称

19、，所以交点也关于原点对称.） 6D.（提示：将已知点的坐标带入解析式即可.） 7B.（提示：先通过正比例函数求出y的值，然后将x、y的值带入反比例函数的解析式，即可求k的值 .）8C.（提示：先通过已知图像确定k的取值范围，再代入一次函数解析式即可.） 9C.（提示：注意面积是横、纵坐标乘积的绝对值.） 10A.（提示：将三角形ABM的面积分成两部分：三角形MOA和三角形MOB.） 解答题11.（1）设设求函数解析式为y=，把x=2，y=6代入得6=，解得k=12，所以解析式为y=； （2）将x=4代入y=，得y=3，所以当x=4时，y=312.（1） 点A（1，5）在反比例函数的图象上有，即

20、 反比例函数的解析式为又 点A（1，5）在一次函数的图象上有 一次函数的解析式为. （2）由题意可得 解得或 这两个函数图象的另一个交点的坐标为.能力提升填空题1-2x0或x3（提示：由反比例函数与一次函数的性质：分象限讨论） 选择题2C（提示：分k0和k0两种情况进行讨论 ）解答题3.（1）略（2）由OA=OB=1，先求出直线AB的解析式y=x+1, 由OD=1，可以求出C点的坐标， 由C点坐标可以求出反比例函数解析式y=.4依题意得，直线L的解析式为y=x 因为A（a，3）在直线y=x上，则a=3，即A（3，3）， 又因为（3，3）在y=的图象上，可求得k=9， 所以反比例函数的解析式为y=.5（1）P=（S0）， （2）当S=0.2时，P=3000即压强是3000Pa （3）由题意知，6000，S0.1即木板面积至少要有0.1m2综合探究填空题1y=-.（提示：翻折图形中，翻折前后图形的边和角对应相等 ）解答题2.（1）点在反比例函数的图象上， 反比例函数的表达式为 点也在反比例函数的图象上， ，即 把点，点代入一次函数中，得 解得 一次函数的表达式为（2）在中，当时，得 直线与轴的交点为 线段将分成和，