高二物理竞赛薛定谔方程课件.pptx

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1、119-7-2 薛定谔方程薛定谔方程 一、含时薛定谔方程一、含时薛定谔方程 自由粒子自由粒子的的平面波函数平面波函数为为)( iexp)(trkAtr,根据德布罗意关系式根据德布罗意关系式，得，得222hhhEEpphkkphkkkkkk=2)(2)(2)(将上两式代入前式，得将上两式代入前式，得)(exp)(tEAt ,rpri2将平面波函数对时间微商将平面波函数对时间微商, ,得得 itE二次微商二次微商，得，得22222222pzyx式中式中 2称为拉普拉斯算符。称为拉普拉斯算符。 根据上式和上述等价关系，得根据上式和上述等价关系，得 it E 22 p2 或者或者 i p 自由粒子的动

2、能与动量关系为自由粒子的动能与动量关系为 由上两式得到等价关系为由上两式得到等价关系为 Ep22it 222粒子处于力场中粒子处于力场中时，有时，有)(22rUpH所以所以)()(2)(i22trrUttr, 薛定谔方程薛定谔方程 3二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程 因势场只是坐标的函数，所以有因势场只是坐标的函数，所以有 )()(),(tfrtr将上式代入薛定谔方程，得将上式代入薛定谔方程，得 )()(2)(1d)(d)(i22rrUrttftf由于时间和坐标是独立变量，上式可分成两个方程。由于时间和坐标是独立变量，上式可分成两个方程。 方程方程1:1:iddf ttEf t( )( )

3、其解为其解为f tCEt( )/ei方程方程2:2: )()()(222rErrU定态薛定谔方程定态薛定谔方程 特解特解为为hiEtertr/)(),(概率密度分布为概率密度分布为 )()()()()(rrtrtrtr,4三、力学量的算符表示三、力学量的算符表示 量子力学中描述系统的每一个力学量对应一个算符。量子力学中描述系统的每一个力学量对应一个算符。 与动量相对应的算符与动量相对应的算符 ip动量分量的算符动量分量的算符 pxpypzxyz iii与动量平方相对应的算符是与动量平方相对应的算符是 222 p 与能量相对应的算符与能量相对应的算符 )(rUH222称为哈密顿算符称为哈密顿算符

4、 与能量相对应的算符与能量相对应的算符 tE i5角动量算符为角动量算符为 prL直角坐标系中的分量式直角坐标系中的分量式 )(i)(i)(ixyyxpypxLzxxzpxpzLyzzypzpyLxyzzxyyzx球坐标系中的分量式球坐标系中的分量式 icoticotizyxLLL)sincos()cos(sin角动量平方算符为角动量平方算符为 2222zyxLLLL22式中算符式中算符 sin(sin)sin2112sin1)(sinsin1222 L6角动量平方算符也可以表示为角动量平方算符也可以表示为 2222sin1)(sinsinzLL 四、本征函数、本征值和平均值四、本征函数、本征

5、值和平均值 算符是代表对波函数的一种运算，是把一个波函数算符是代表对波函数的一种运算，是把一个波函数或量子态变换成另一个波函数或量子态。或量子态变换成另一个波函数或量子态。 AA此式为力学量的此式为力学量的本征值方程本征值方程，常量，常量A A称为力学量的称为力学量的本征值本征值。 引入哈密顿算符后，定态薛定谔方程可以简化为引入哈密顿算符后，定态薛定谔方程可以简化为 )()(rErH量子力学中，任何一个力学量的平均值都可以用下量子力学中，任何一个力学量的平均值都可以用下式计算式计算 d)()(rArAA7五、概率守恒和概率流密度矢量五、概率守恒和概率流密度矢量 概率密度随时间的变化为概率密度随

6、时间的变化为 ttt将薛定谔方程及其共轭方程将薛定谔方程及其共轭方程 )(i122rUit )(i12i2rUt代入上式，并利用公式代入上式，并利用公式 ()() ()A BABAB2得得 t ii2222()()令令 )(2i),(trjg将上式代入前式，得将上式代入前式，得 gjt 概率守恒的微分形式概率守恒的微分形式 8将上式积分，再利用高斯定理，得将上式积分，再利用高斯定理，得 SgVSjtdddd概率守恒的积分形式概率守恒的积分形式 此式表明：在空间某体积此式表明：在空间某体积V V内发现粒子的概率内发现粒子的概率在单位时间内的增量，必定等于在同一时间内在单位时间内的增量，必定等于在

7、同一时间内 通过通过V V 的边界面的边界面S S 流入体积流入体积V V 的概率。的概率。 9(E.Schrodinger,18771961)点击深色键返回原处点击深色键返回原处10一维无限深方势阱一维无限深方势阱 对于一维无限深方势阱有对于一维无限深方势阱有 U xxax xa( )()(,)0000aU(x)势阱内势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为，哈密顿算符为Hx 222dd2定态薛定谔方程为定态薛定谔方程为 dd2xE2220令令 kE2薛定谔方程的解为薛定谔方程的解为( )sin()xAkx11根据根据 ，可以确定，可以确定 = 0或或m，m =1,2,3,。于。于是上式改写为是

8、上式改写为( )00( )sinxAkx根据根据0)(a，得，得ka = n， n = 1,2,3, 如果如果n = 0时，必定时，必定k = 0，定态薛定谔方程应有，定态薛定谔方程应有 dd2( )xt20解得解得 (x ) C x + D 所以所以Eknann2222222212 3, , ,由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱, , 这这个个分立的能谱分立的能谱就是就是量子化了的能级量子化了的能级。基态的能量为基态的能量为 Ea122220 零点能零点能 00)(00)(; 00)0(nxCaD12与能量本征值与能量本征值En相对应的本征函数相

9、对应的本征函数 n (x)为为 nxAn xa( )sin()利用归一化条件利用归一化条件 naxx( )201d，得，得 Aa2 /归一化波函数为归一化波函数为 nxan xan( )sin, , ,212 33n4n2n1n4E3E2E1Eax0 x)()(xanxao2)()(xbn一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级稳定的驻波能级13势垒穿透和隧道效应势垒穿透和隧道效应 有限高的势垒有限高的势垒 U xU xxxaU xUxa( )( ),( ),(0000P)S)Q),区区区xaoQSPE0UU在在P区和区和S区薛

10、定谔方程的形式为区薛定谔方程的形式为 dd2( )( )xxkx220其中其中 kE222在在Q区粒子应满足下面的方程式区粒子应满足下面的方程式 dd2 ( )( )xxx2202202()UE式中式中 14用分离变量法求解，得用分离变量法求解，得 111ABkxkxeeii(P区区) 222ABxxee(Q区区) 33 Akxei (S区区) 在在P区区，势垒反势垒反 射系数射系数 R211AB在在Q区，区，势垒透势垒透射系数射系数 213AAT )(1x)(2x)(3x0UPQSoa粒子能够穿透比其动能高粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道的势垒的现象，称为隧道效应效应。如图是在隧

11、道效应。如图是在隧道效应中波函数分布的示意图。中波函数分布的示意图。 隧道效应的应用：隧道效应的应用：扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(STM) 隧道二极管隧道二极管 15 例例:证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有下面具有下面正交性正交性的性质：的性质：0dnm即不同能级的波函数互相正交。即不同能级的波函数互相正交。 xaxnaaxmaxxanmd)sin2)(sin2(d)()(0 xaxnmaxnmaad)(cos)(cos10)()(cos)(cos)(nmnmvvnmuunm00d1d1解解: 波函数波函数 取其复共轭取其复共轭 相乘并积分，得相乘并积分，得 mm16把波函数的正交性和归一性表示在一起，把波函数的正交性和归一性表示在一起，mnnmd其中其中 当当m = n 时时 , mn = 1 当当m n 时时 , mn = 0 mn 称为克罗内克符号。称为克罗内克符号。