人教版八年级数学上册12.2.2全等三角形的判定2(边角边).ppt

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1、人教版八年级数学上册12.2.2全等三角形的判定2(边角边) Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date学习目标学习目标 1.了解了解“SAS”公理的形成过程。公理的形成过程

2、。 2.掌握掌握“SAS”公理的几何意义，会用定理公理的几何意义，会用定理进行推理证明。进行推理证明。 3.注意：掌握注意：掌握“SSA”不能保证两个三角形不能保证两个三角形全等的反例全等的反例图形图形的的几何意义。几何意义。自学指导自学指导 自学课本：第自学课本：第37-39页，包括课后练习页，包括课后练习 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD知识回顾知识回顾: :CD 三步走：三步走：准备条件准备条件摆齐条件摆齐条件

3、得结论得结论注重书写格式注重书写格式除了除了SSS外外,还有其他情况吗？继续探索三角形全还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件等的条件.(2) 三条边三条边(1) 三个角三个角(3) 两边一角两边一角(4) 两角一边两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况情况:SSS不能不能!?继续探讨三角形全等的条件：继续探讨三角形全等的条件： 两边一角两边一角思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC图一图一图

4、二图二在图一中，在图一中， A A是是ABAB和和ACAC的的夹角，夹角，符合图一的条件，符合图一的条件，它它可称为可称为“两边夹角两边夹角”。符合图二的条件，符合图二的条件， 通常通常说成说成“两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角”尺规作图，探究边角边的判定方法尺规作图，探究边角边的判定方法问题问题1先任意画出一个先任意画出一个ABC，再画一个，再画一个ABC，使，使AB= =AB，A= =A，CA= = CA（即两边和它们的夹角分别相等）把画好的（即两边和它们的夹角分别相等）把画好的ABC剪下来，放到剪下来，放到ABC 上，它们全等吗？上，它们全等吗？A B C A B C A D E

5、 尺规作图，探究边角边的判定方法尺规作图，探究边角边的判定方法现象：现象：两个三角形放在一起两个三角形放在一起 能完全重合能完全重合说明：说明：这两个三角形全等这两个三角形全等画法：画法：（1） 画画DAE = =A；（2）在射线）在射线AD上截上截取取 AB= =AB，在射线，在射线 AE上截上截取取AC= =AC；（3）连接）连接BCB C 在在ABC与与DEF中中ABC DEF（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或FEDCBAAC=DFC=FBC=EF尺规作图，探究边角边的判定方法尺规作图

6、，探究边角边的判定方法例例1 1已知已知: 如图如图,AC=AD ,CAB=DAB. 求证求证: ACB ADB.ABCD证明证明:在在ACB 和和 ADB中中 AC = A D CAB=DAB A B = A B (公共边）公共边）ACB ADB（SAS）课堂练习课堂练习CABDO在下列推理中填写需要补充的条在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：件，使结论成立：(1)如图，在如图，在AOB和和DOC中已知中已知AO=DO，BO=CO，求证：求证：AOB DOCAO=DO(已知已知)_=_( )BO=CO(已知已知) AOB DOC（ ） AOB DOC对顶角相等对顶角相等SAS证明：在

7、证明：在AOBAOB和和DOCDOC中中(2).如图，在如图，在AEC和和ADB中，已知中，已知AE=AD,AC=AB。求证：。求证：AEC ADB_=_(已知已知)A= A( 公共角公共角)_=_(已知已知) AEC ADB（ ）AEBDCAEADACABSAS证明：证明：在在AEC和和ADB中中证明三角形全等的步骤：证明三角形全等的步骤：1.1.写出在哪两个三角形中证明全等。写出在哪两个三角形中证明全等。（注意把表示对应顶点的字母写在对（注意把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）应的位置上）. .2.2.按边、角、边的顺序列出三个条件，按边、角、边的顺序列出三个条件，用大括号合在一起用大括

8、号合在一起. .3.3.写出结论写出结论. .每步要有推理的依据每步要有推理的依据. .在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二是图形中隐含的（如公共边，公一是已知中给出的，二是图形中隐含的（如公共边，公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归结成两句话：结成两句话：已知中找，图形中看已知中找，图形中看. .平面几何中常要说明角相等和线段相等，其说明常用方法：平面几何中常要说明角相等和线段相等，其说明常用方法：角相等角相等对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补对顶

9、角相等；同角（或等角）的余角（或补角）相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；角角）相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；角平分线定义；等式性质；全等三角形的对应角相等平分线定义；等式性质；全等三角形的对应角相等. .线段相等的方法线段相等的方法中点定义；全等三角形的对应边相中点定义；全等三角形的对应边相等；等式性质等；等式性质. . 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AD平分平分BAC，求证：求证：ABD ACD 课堂练习课堂练习 已知：如图，已知：如图，MANB，MCND，MN求证：求证：ABCD _NBMAM N MC ND (SAS） 全等三角形的对应边相等全等三角形的对应

10、边相等 等量减等量差相等等量减等量差相等 AMC BNDAC=BDAC-BC=BD-BCAB=CD证明：在证明：在AMC和和BND中中课堂练习课堂练习利用今天所学利用今天所学“边角边边角边”知识，带黑色的那块因知识，带黑色的那块因为它完整地保留了两边及其夹角，为它完整地保留了两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了大小就确定下来了应用应用“SAS”判定方法，解决简单实际问题判定方法，解决简单实际问题问题问题2某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个 顶点

11、处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完 全一样的玻璃请问如果只准带一块碎片，应该带哪一全一样的玻璃请问如果只准带一块碎片，应该带哪一 块去，能试着说明理由吗？块去，能试着说明理由吗？问题问题: :如图有一池塘。要测池塘两端如图有一池塘。要测池塘两端A A、B B的距离，可无的距离，可无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能想出办法来吗？想出办法来吗？B例题讲解，学会运用例题讲解，学会运用ABCED在平地上取一个可直接到达在平地上取一个可直接到达A A和和B B的点的点C C，连结连结AC

12、AC并延长至并延长至D D使使CD=CACD=CA延长延长BCBC并延长至并延长至E E使使CE=CBCE=CB连结连结EDED，那么量出那么量出DEDE的长，就是的长，就是A A、B B的距离的距离. .你知道为什么吗？你知道为什么吗？例题讲解，学会运用例题讲解，学会运用按图写出按图写出“已知已知”“”“求证求证”，并加以，并加以证明证明已知：已知：AD与与BE交于点交于点C，CA=CD，CB=CE.求证：求证：AB=DE例题讲解，学会运用例题讲解，学会运用AC = = DC（已知），（已知），1 =2 （对顶角相等），（对顶角相等），BC = =EC（已知）（已知） ，证明：证明：在ABC

13、 和DEC 中，ABCDE12ABC DEC（SAS）AB = =DE （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）F FA AB BD DC CE E例例2 2：点：点E E、F F在在ACAC上，上，AD/BCAD/BC，AD=CBAD=CB，AE=CFAE=CF 求证：求证：AFDAFDCEB CEB 分析分析：证三角形全等的三个条件证三角形全等的三个条件两直线平行，两直线平行，内错角相等内错角相等 A=CA=C边边 角角 边边AD / BCAD / BCAD = CBAD = CBAE = CFAE = CFAF = CEAF = CE？（已知）（已知）证明：AD/BC A=C

14、（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）又又AE=CF在在AFD和和CEB中中，AD=CBA=CAF=CE AFDAFDCEBCEB（SASSAS）AE+EF=CF+EF即即 AF=CE 摆齐根据写出结论F FA AB BD DC CE E指范围准备条件(已知）已知）(已证）已证）(已证）已证）1 1、如图，两车从路段、如图，两车从路段ABAB的一端的一端A A出出发，分别向东，向西行进相同的距发，分别向东，向西行进相同的距离，到达离，到达C C、D D两地，此时两地，此时C C、D D到到B B的距离相等吗？为什么？的距离相等吗？为什么？ADCB1.1.已知：如图，已知：如图，

15、AB=CB AB=CB ， ABD= CBD ABD= CBD ABD ABD 和和 CBD CBD 全等吗？全等吗？学以致用学以致用分析分析: ABD ABD CBD CBD边边:角角:边边:AB=CB(已知已知)ABD= CBD(ABD= CBD(已知已知) )？ABCD(SAS)BD=BD (公共边）公共边）证明：在证明：在 ABD 和和 CBD 中中 BA=BC（已知）（已知） ABD=CBD（已知）（已知） BD=BD(公共边）公共边） ABD CBD（SAS）追问：例追问：例1的已知条件不改变的已知条件不改变, 问问AD=CD吗吗? ?BD平分平分ADC吗？吗？ 已知：如图，已知：

16、如图， AB=CB AB=CB ， ABD= CBD ABD= CBD 。问问AD=CDAD=CD， DB平分平分 ADC 吗？吗？例题例题推广推广ABCDABCD变式：变式： 已知已知:AD=CD:AD=CD， BD BD 平分平分 ADC ADC 。 问问A= C A= C 吗？吗？2.2.已知：如图，已知：如图， AO=BO AO=BO ，DO=CODO=CO求证：求证：ADCB归纳：归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到过从它们所在的两个三角形全等而得到。BDOAC综合提高综合提高已知：已知：AB=AD，CB=CD.

17、求证：求证：ACBD.分析：欲证ACBD，只需证AOB= AOD，这就要证明 ABO ADO，它已经具备了两个条件： AB=AD，OA=AO,所以只需证BAO= DAO，为了证明这一点，还需证明ABC ADC.证明：证明： 在在ABC 和和ADC中，中，AB = AD (已知），已知）， CB = CD（已知），（已知），AC = AC (公共边）公共边） ABC ADC（SSS），）， BAO = DAO (全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）在在ABO 和和ADO中，中，AB = AD (已知），已知）， BAO = DAO (已证），已证），AO= AO (公共边）公共边）

18、ABO ADO（SAS），）， AOB = AOD (全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等） AOB = AOD= 90. ACBD(垂直定义）垂直定义）. 又又AOB + AOD =180(邻补角定义）邻补角定义）如右图，如右图，如图，在如图，在ABC 和和ABD 中，中， AB = =AB，AC = = AD，B = =B，但但ABC 和和ABD 不全等不全等探索探索“SSA”能否识别两三角形全等能否识别两三角形全等问题问题3 两边一角分别相等包括两边一角分别相等包括“两边夹角两边夹角”和和“两边及其中一边的对角两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已分别相等两种情况，前面

19、已探索出探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的条件能判定两个三角形全等吗？的条件能判定两个三角形全等吗？A B C D 画画ABC 和和DEF，使，使B = =E = =30， AB = =DE= =5 cm ，AC = =DF = =3 cm 观察所得的两个三角形是否全观察所得的两个三角形是否全 等？等？ 两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等因此，角形的形状，所以不能保证两个三角形全等因此，ABC 和和DEF 不一定全等不一定全等探索探索“SSA”能否识别两

20、三角形全等能否识别两三角形全等课堂练习课堂练习1 1、已知：如图，、已知：如图，ABAD，ACAE，112. 2. 求证：求证：ABCADE. .122、已知：如图，、已知：如图，AE是是ABC的中的中线，线，D是是 BC延长线上一点，且延长线上一点，且CDAB，BCABAC.求证：求证：AD2AE. ABCDE【点评点评】这里这里1和和2不是所证三角形中的角，不是所证三角形中的角，BAC和和DAE才是三角形的内角才是三角形的内角.所以须证所以须证BACDAE，才能满足、三个条件，才能满足、三个条件. 【分析分析】通过添加辅助线，构造全等三角形是通过添加辅助线，构造全等三角形是一种常用的思考方

21、法一种常用的思考方法.若已知条件中有中线，若已知条件中有中线，常延长中线成两倍关系，构成全等三角形常延长中线成两倍关系，构成全等三角形. F证明题：证明题：3已知已知:如图，如图，ADBC，ADCB. 求证求证:ABCD. 【提示提示】连结连结AC， 由由 ABC CDA，故故 ABCD. 4已知已知: 如图，如图，12，BDCA. 求证求证:AD. 【提示提示】 先证先证ABC ADC求证求证:(1)AECF； (2)AECF； (3)AFECEF. 5已知已知: 如图，如图，B、F、E、D在一条直线上，在一条直线上， ABCD，BFED，BD. 【提示提示】 先证先证ABE DCF6已知：

22、如图，已知：如图，ABC为直线，为直线，EBAC， BDBC，ABBE. 求证：求证：AFEC. 【提示提示】求证求证ABD EBC， 得得AE， 因为因为ADBEDF， AADB90， 所以所以EEDF90， AFEC. 已知：如图，点已知：如图，点A A、B B、C C、D D在同一条直线上，在同一条直线上，AC=DBAC=DB，AE=DFAE=DF，EAADEAAD，FDADFDAD，垂足分别是，垂足分别是A A，D D。 求证：求证：EABEABFDCFDCA AE EB BC CD DF F90已知：如图，已知：如图，AB=ACAB=AC，AD=AEAD=AE，1=21=2，求证：求

23、证：ABDABDACEACE证明：证明： 1=21=2， 1+ EAB = 2+ EAB1+ EAB = 2+ EAB 即即 DAB = EACDAB = EAC 在在ABDABD和和ACEACE中，中， AB = ACAB = AC DAB = EACDAB = EAC AD = AEAD = AE ABD ABD ACEACE（SASSAS）A AC CB BE ED D1 12 2 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=

24、FD知识梳理知识梳理: :在在ABC与与DEF中中ABC DEF（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或知识梳理知识梳理: :FEDCBAAC=DFC=FBC=EF知识梳理知识梳理: :DCBAABDABC小结小结1.1.边角边公理：有两边和它们的边角边公理：有两边和它们的_对应相等的对应相等的 两个三角形全等（两个三角形全等（SASSAS）夹角夹角2.边角边公理的应用中所用到的数学方法边角边公理的应用中所用到的数学方法: 证明线段（或角相等）证明线段（或角相等） 证明线段（或证明线段（或角）所在的两个三角形全等角）所在的两个三角形全等.转化转化1. 证明两个三角形全等所需的条件应按证明两个三角形全等所需的条件应按对应边、对应边、对应角、对应角、对应边顺序书写对应边顺序书写. .2. 公理中所出现的边与角必须在所证明的两个三角形中公理中所出现的边与角必须在所证明的两个三角形中. 3. 公理中涉及的角必须是两边的夹角公理中涉及的角必须是两边的夹角.用公理证明两个三角形全等需注意用公理证明两个三角形全等需注意教科书习题教科书习题12. .2第第2、3、10题题布置作业布置作业