2022年八年级数学期中综合测评卷答案.docx

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1、2022年八年级数学期中综合测评卷答案 距离八年级数学期中考试越来越近了，半学期即将结束，我整理了关于八年级数学期中综合测评卷，希望对大家有帮助! 八年级数学期中综合测评卷试题 一、选择题 1.下面的图形中，是中心对称图形的是() A. B. C. D. 2.小明数学期中考试得满分这是一个() A.必定事务 B.不行能事务 C.随机事务 D.以上说法都不对 3.下列各式 、 、 、 +1、 中分式有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.矩形具有而平行四边形不肯定具有的性质是() A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线相互平分 5.假如把分式 中的m和n都扩大3倍，那

2、么分式的值() A.不变 B.扩大3倍 C.缩小3倍 D.扩大9倍 6.有四条线段，长度分别是2cm，3cm，4cm，5cm，从中任取三条，能构成三角形的概率是() A. B. C. D.1 7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=82°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于() A.67° B.57° C.60° D.87° 8.为了早日实现绿色太仓，花园之城的目标，太仓对4000米长的城北河进行了绿化改造.为了尽快完成工期，施工队每天比原安排多绿化10米，结果提前2天完成.若原安排每天绿化x米，则所列方

3、程正确的是() A. B. C. D. 9.如图，正方形ABCD的面积为16，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为() A. B.3 C.4 D. 10.如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为() A.( ， ) B.( ， ) C.(2，2) D.( ， ) 二、填空题 11.当x=时，分式 的值为0. 12.小燕抛一枚硬币10次，

4、有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面对上的概率为. 13.在▱ABCD中，若∠A=3∠B，则∠C=°. 14.某校依据去年初三学生参与中考的数学成果的等级，绘制成如图的扇形统计图，则图中表示A等级的扇形的圆心角的大小为. 15.假如分式方程 无解，则a=. 16.如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长是. 17.关于x的方程：x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ，x =c 解是x1=c，x2= ，则x+ =c+ 的解是. 18.如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，点C是直线

5、y=4x+20上一动点，若OC恰好平分四边形OACB的面积，则C点坐标为. 三、解答题： 19.计算 (1)a1 (2)先化简，再求值： ，其中x=2 1. 20.解方程 (1) = (2) +3= . 21.若关于x的分式方程 的解是正数，求a的取值范围. 22.如图，在平面直角坐标系中，RtABC的三个顶点分别是A(4，2)、B(0，4)、C(0，2)， (1)画出ABC关于点C成中心对称的A1B1C;平移ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，4)，画出平移后对应的A2B2C2; (2)A1B1C和A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为. 23.某儿童消遣场有一种嬉戏，规则

6、是：在一个装有6个红球和若干个白球(2022春•无锡期中)我区某校为了解八年级学生体育测试状况，以八年级(1)班学生的体育测试成果为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，结合图中所给信息可知： (1)本次调查的样本容量是，样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比是; (2)把条形统计图补充完整; (3)若该校八年级有300名学生，请依据此样本，估计体育测试中达到A级和B级的学生人数约为人. 25.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CE的延长线于点F.证明：FD=AB. 26.华昌中学开学初在金利源商场购进A、

7、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元. (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元? (2)华昌中学响应习足球进校内的号召，确定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，假如这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球? 27.阅读下列材料： 我们定义：若一个四边形的一

8、条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形. 结合阅读材料，完成下列问题： (1)下列哪个四边形肯定是和谐四边形 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 (2)如图，等腰RtABD中，∠BAD=90°.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请干脆写出∠ABC的度数. 28.如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把DEC沿DE折叠得到DEF，延长EF交AB于G，连接 DG. (1)求证：∠EDG=45°. (2)如图2，E为

9、BC的中点，连接BF.求证：BFDE;若正方形边长为6，求线段AG的长. (3)当DE=DG时，求BE：CE. 八年级数学期中综合测评卷参考答案 一、选择题 1.下面的图形中，是中心对称图形的是() A. B. C. D. 【考点】中心对称图形. 【分析】依据中心对称图形的概念求解. 【解答】解：A、不是中心对称图形.故错误; B、不是中心对称图形.故错误; C、不是中心对称图形.故错误; D、是中心对称图形.故正确. 故选D. 【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要找寻对称中心，旋转180度后与原图重合. 2.小明数学期中考试得满分这是一个() A.必定事务 B.不行能事务

10、C.随机事务 D.以上说法都不对 【考点】随机事务. 【分析】依据必定事务、不行能事务、随机事务的概念进行推断即可. 【解答】解：小明数学期中考试得满分这是一个随机事务， 故选：C. 【点评】本题考查的是必定事务、不行能事务、随机事务的概念.必定事务指在肯定条件下，肯定发生的事务.不行能事务是指在肯定条件下，肯定不发生的事务，不确定事务即随机事务是指在肯定条件下，可能发生也可能不发生的事务. 3.下列各式 、 、 、 +1、 中分式有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【考点】分式的定义. 【分析】推断分式的依据是看分母中是否含有字母，假如含有字母则是分式，假如不含有字母则不是分式.

11、 【解答】解： 、 、 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式. 、 +1分母中含有字母，因此是分式. 故选：A. 【点评】本题主要考查分式的定义，留意π不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式. 4.矩形具有而平行四边形不肯定具有的性质是() A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线相互平分 【考点】矩形的性质;平行四边形的性质. 【专题】证明题. 【分析】矩形的对角线相互平分且相等，而平行四边形的对角线相互平分，不肯定相等. 【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不肯定相等. 故选：C. 【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有

12、自己的特性，要留意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质.如，矩形的对角线相等. 5.假如把分式 中的m和n都扩大3倍，那么分式的值() A.不变 B.扩大3倍 C.缩小3倍 D.扩大9倍 【考点】分式的基本性质. 【分析】依据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，结果不变，可得答案. 【解答】假如把分式 中的m和n都扩大3倍，那么分式的值不变， 故选：A. 【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，结果不变. 6.有四条线段，长度分别是2cm，3cm，4cm，5cm，从中任取三条，能构成三角形的概率是() A. B. C. D.1 【考点】列表法与

13、树状图法;三角形三边关系. 【分析】从四条线段中随意选取三条，找出全部的可能，以及能构成三角形的状况数，即可求出所求的概率. 【解答】解：从四条线段中随意选取三条，全部的可能有：2，3，4;2，3，5;2，4，5;3，4，5共4种， 其中构成三角形的有2，3，4;2，4，5;3，4，5共3种， 则P(构成三角形)= . 故选C. 【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的学问点为：概率=所求状况数与总状况数之比. 7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=82°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于() A.67&de

14、g; B.57° C.60° D.87° 【考点】菱形的性质;线段垂直平分线的性质. 【分析】依据菱形的性质求出∠ADC=98°，再依据垂直平分线的性质得出AF=DF，从而计算出∠CDF的值. 【解答】解：连接BD，BF， ∠BAD=82°， ∴∠ADC=98°， 又EF垂直平分AB，AC垂直平分BD， ∴AF=BF，BF=DF， ∴AF=DF， ∴∠FAD=∠FDA=41°， ∴∠CDF=98°41&de

15、g;=57°. 故选：B. 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有肯定的难度，解答本题时留意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口. 8.为了早日实现绿色太仓，花园之城的目标，太仓对4000米长的城北河进行了绿化改造.为了尽快完成工期，施工队每天比原安排多绿化10米，结果提前2天完成.若原安排每天绿化x米，则所列方程正确的是() A. B. C. D. 【考点】由实际问题抽象出分式方程. 【分析】关键描述语是：提前2天完成绿化改造任务.等量关系为：原安排的工作时间实际的工作时间=2. 【解答】解：若设原安排每天绿化(x)m，实际每天绿化(x+10)m， 原安排的工

16、作时间为： ，实际的工作时间为： 方程应当为： =2. 故选：A. 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系.本题主要用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率. 9.如图，正方形ABCD的面积为16，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为() A. B.3 C.4 D. 【考点】轴对称-最短路途问题;正方形的性质. 【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PD+PE=BE最小，而BE是等边ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积

17、为16，可求出AB的长，从而得出结果. 【解答】解：设BE与AC交于点P'，连接BD. 点B与D关于AC对称， ∴P'D=P'B， ∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小. 正方形ABCD的面积为16， ∴AB=4， 又ABE是等边三角形， ∴BE=AB=4. 故选C. 【点评】本题考查的是正方形的性质和轴对称最短路途问题，熟知两点之间，线段最短是解答此题的关键. 10.如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OAB

18、C绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为() A.( ， ) B.( ， ) C.(2，2) D.( ， ) 【考点】菱形的性质;坐标与图形改变-旋转. 【分析】首先连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，由旋转的性质，易得∠BOB′=105°，由菱形的性质，易证得AOB是等边三角形，即可得OB′=OB=OA=2，∠AOB=60°，继而可求得∠AOB′=45°，由等腰直角三角形

19、的性质，即可求得答案. 【解答】解：连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E， 依据题意得：∠BOB′=105°， 四边形OABC是菱形， ∴OA=AB，∠AOB= ∠AOC= ∠ABC= ×120°=60°， ∴OAB是等边三角形， ∴OB=OA=2， ∴∠AOB′=∠BOB′∠AOB=105°60°=45°，OB′=OB=2

20、， ∴OE=B′E=OB′•sin45°=2× = ， ∴点B′的坐标为：( ， ). 故选B. 【点评】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质.此题难度不大，留意驾驭旋转前后图形的对应关系，留意协助线的作法 二、填空题 11.当x=1时，分式 的值为0. 【考点】分式的值为零的条件. 【分析】依据分式值为零的条件得x+1=0且x2≠0，再解方程即可. 【解答】解：由分式的值为零的条件得x+1=0，且x2≠0， 解得：x=1， 故答案为：1. 【点评

21、】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是驾驭分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零. 12.小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面对上的概率为 . 【考点】概率的意义. 【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可. 【解答】解：抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一样的， ∴正面对上的概率为 . 故答案为： . 【点评】本题考查的是概率的意义，留意抛硬币只有两种状况，每次抛出的概率都是一样的，与次数无关. 13.在▱ABCD中，若∠A=3∠B，则∠C=135°. 【考点】平行四边形

22、的性质. 【分析】平行四边形中，利用邻角互补可求得∠A的度数，利用对角相等，即可得∠C的值. 【解答】解：如图所示， 四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°， ∠A=3∠B，∴∠A=∠C=135°. 故答案为：135. 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，利用邻角互补的结论求四边形内角度数是阶解题关键. 14.某校依据去年初三学生参与中考的数学成果的等级，绘制成如图的扇形统计图，则图中表示A等级的扇形的圆心角的大小为108°. 【考点】扇形统计图. 【专题】计算题

23、. 【分析】依据C等级的人数与所占的百分比计算出参与中考的人数，再求出A等级所占的百分比，然后乘以360°计算即可得解. 【解答】解：参与中考的人数为：60÷20%=300人， A等级所占的百分比为： ×100%=30%， 所以，表示A等级的扇形的圆心角的大小为360°×30%=108°. 故答案为：108°. 【点评】本题考查扇形统计图及相关计算.在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比. 15.假如分式方程 无解，则a=4. 【考点】分式方程的解. 【分析】依据分式方

24、程无解，可得x的值，依据分式方程的增根满意整式方程，可得关于a的方程，依据解方程，可得答案. 【解答】解：方程两边都乘以(x4)，得 x=2x8+a. 由分式方程 无解，得 x=4， 将x=4代入x=2x8+a，得 4=88+a， 解得a=4， 故答案为：4. 【点评】本题考查了分式方程的解，利用分式方程的增根满意整式方程得出关于a的方程是解题关键. 16.如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长是24. 【考点】菱形的性质;三角形中位线定理. 【分析】依据菱形的角平分线相互平分可得AO=CO，然后推断出OE是ABC的中位线，依据三角形的中

25、位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长，再依据菱形的周长公式列式进行计算即可得解. 【解答】解：在菱形ABCD中，AO=CO， E为AB的中点， ∴OE是ABC的中位线， ∴BC=2OE=2×3=6， ∴菱形ABCD的周长=4×6=24. 故答案为：24. 【点评】本题考查了菱形的对角线相互平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，以及菱形的周长公式，推断出OE是ABC的中位线是解本题的关键. 17.关于x的方程：x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ，x =c 解是x1=c，x2= ，则x+

26、=c+ 的解是x1=c，x2= +3. 【考点】分式方程的解. 【专题】计算题. 【分析】依据题中方程的解归纳总结得到一般性规律，所求方程变形后确定出解即可. 【解答】解：所求方程变形得：x3+ =c3+ ， 依据题中的规律得：x3=c3，x3= ， 解得：x1=c，x2= +3， 故答案为：x1=c，x2= +3 【点评】此题考查了分式方程的解，归纳总结得到题中方程解的规律是解本题的关键. 18.如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，点C是直线y=4x+20上一动点，若OC恰好平分四边形OACB的面积，则C点坐标为( ， ). 【考点】一次函数综合题. 【分析】OC恰好平分四

27、边形OACB的面积，则OC和AB的交点就是AB的中点，求得AB的中点D，然后利用待定系数法即可求得OD的解析式，然后求OD的解析式与直线y=4x+20的交点即可. 【解答】解：AB的中点D的坐标是：( ， )，即(2，3)， 设直线OD的解析式是y=kx，则2k=3， 解得：k= ， 则直线的解析式是：y= x， 依据题意得： ， 解得： ， 则C的坐标是：( ， ). 故答案是：( ， ). 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及直线交点的求法，理解AC肯定经过AB的中点是关键. 三、解答题： 19.计算 (1)a1 (2)先化简，再求值： ，其中x=2 1. 【考点】分式的化简求

28、值. 【分析】(1)先通分，再把分子相加减即可; (2)先通分，再把分子相加减，最终把x的值代入进行计算即可. 【解答】解：(1)原式= = ; (2)原式= = = ， 当x=2 1时，原式= = . 【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特别求值题并非是一味的化简，代入，求值.很多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想(即转化)、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有肯定帮助. 20.解方程 (1) = (2) +3= . 【考点】解分式方程. 【专题】计算题. 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，经检验即可得到分式方程的

29、解. 【解答】解：(1)去分母得：2x+1=5x5， 解得：x=2， 经检验x=2是分式方程的解; (2)去分母得：1+3y6=y1， 解得：y=2， 经检验y=2是增根，分式无解. 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程肯定留意要验根. 21.若关于x的分式方程 的解是正数，求a的取值范围. 【考点】分式方程的解. 【专题】计算题. 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据解是正数建立不等式求a的取值范围. 【解答】解：去分母，得2x+a=2x 解得：x= ，∴ 0 ∴2a0， &ther

30、e4;a2，且x≠2， ∴a≠4 ∴a2且a≠4. 【点评】由于我们的目的是求a的取值范围，因此也没有必要求得x的值，求得3x=2a即可列出关于a的不等式了，另外，解答本题时，易漏掉a≠4，这是因为忽视了x2≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视. 22.如图，在平面直角坐标系中，RtABC的三个顶点分别是A(4，2)、B(0，4)、C(0，2)， (1)画出ABC关于点C成中心对称的A1B1C;平移ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，4)，画出平移后对应的A2B2C2; (2)A1B1C和A2B2C2关于某一点成中心

31、对称，则对称中心的坐标为(2，1). 【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换. 【专题】作图题. 【分析】(1)依据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可;依据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可; (2)依据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心. 【解答】解：(1)A1B1C如图所示， A2B2C2如图所示; (2)如图，对称中心为(2，1). 【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，娴熟驾驭网格结构精确找出对应点的位置是解题的关键. 23.某儿童消遣场有一种嬉戏，规则是：在一个装有

32、6个红球和若干个白球(2022春•无锡期中)我区某校为了解八年级学生体育测试状况，以八年级(1)班学生的体育测试成果为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，结合图中所给信息可知： (1)本次调查的样本容量是50，样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比是10%; (2)把条形统计图补充完整; (3)若该校八年级有300名学生，请依据此样本，估计体育测试中达到A级和B级的学生人数约为198人. 【考点】条形统计图;总体、个体、样本、样本容量;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】(1)利用A类有10人，占总体的20%，求出样本容量，再求出D等级的学

33、生人数的百分比; (2)先求出D等级的学生人数，再据此可补全条形图即可; (3)利用总人数乘A、B级所占的百分比即可. 【解答】解：(1)读图可得：A类有10人，占总体的20%，所以样本容量为10÷20%=50人， D等级的学生人数为50102312=5人. 样本中D等级的学生人数占全班学生人数的百分比是 ×100%=10%. 故答案为：50，10%. (2)D级的学生人数为50102312=5人， 据此可补全条形图; (3)A级和B级的学生人数为300×(46%+20%)=198(人). 故答案为：198. 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综

34、合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清晰地表示出每个项目的数据;扇形统计图干脆反映部分占总体的百分比大小. 25.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CE的延长线于点F.证明：FD=AB. 【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】由在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，易证得ABEDFE(AAS)，继而证得FD=AB. 【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD， ∴∠ABE=∠F， E是AD边上的中点， &ther

35、e4;AE=DE， 在ABE和DFE中， ， ∴ABEDFE(AAS)， ∴FD=AB. 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质.留意平行四边形的对边平行. 26.华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元. (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元? (2)华昌中学响应习足球进校内的号召，确定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价

36、进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，假如这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球? 【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用. 【分析】(1)设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需x+30元，依据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可; (2)设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球(50a)个，依据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，列出不等式解决问题. 【解答】解：(1)设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需x+30元，

37、由题意得 = ×2 解得：x=50 经检验x=50是原方程的解， x+30=80 答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元. (2)设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球(50a)个，由题意得 50×(1+8%)(50a)+80×0.9a≤3260 解得a≤31 a是整数， ∴a最大等于31， 答：华昌中学此次最多可购买31个B品牌足球. 【点评】此题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键. 27.阅读下列材料： 我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰

38、三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形. 结合阅读材料，完成下列问题： (1)下列哪个四边形肯定是和谐四边形C A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 (2)如图，等腰RtABD中，∠BAD=90°.若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请干脆写出∠ABC的度数. 【考点】等腰梯形的性质;等腰直角三角形;平行四边形的性质;菱形的性质;矩形的性质. 【专题】新定义. 【分析】(1)有和谐四边形的定义即可得到菱形是和谐四边形; (2)首先依据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的

39、和谐线，可以得出ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种状况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠ABC的度数. 【解答】解：(1)菱形的四条边相等， ∴连接对角线能得到两个等腰三角形， ∴菱形是和谐四边形; (2)解：AC是四边形ABCD的和谐线， ∴ACD是等腰三角形， 在等腰RtABD中， AB=AD， ∴AB=AD=BC， 如图1，当AD=AC时， ∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ∴ABC是正三角形， ∴∠ABC=60°. 如图2，当AD=CD时， ∴AB=AD=BC=CD. ∠BAD=90°， &there4