Ch09波动率详解.ppt

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1、金融风险管理 闫海峰9.2本章主要内容本章主要内容l波动率定义l波动率估计 历史波动率 隐含波动率 已实现波动率估计l指数加权移动平均模型l条件方差模型（ARCH，GARCH）金融风险管理 闫海峰9.3波动率研究的发展波动率研究的发展l三个阶段金融分析模型中的波动率。假设市场收益正态分布，波动率常数。Engle（1982）提出ARCH；Bollerslev（1986）GARCH。高频分时数据估计波动率。Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys （1998,1999,2000,2001）l三个层次波动率估计（方法研究）波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应）波动率预测（参

2、数估计、模型评价）金融风险管理 闫海峰9.4波动率的定义波动率的定义l某个变量的波动率定义为该变量在单位时间内连续复利收益率的标准差；l假设Si是某个变量在第i天的取值，那么日波动率就可以表示为ln(Si /Si-1)的标准差；l当波动率被用来期权定价时，时间单位选一年；当用于风险控制时，时间单位选天。l时间周期为T的波动率为ln(ST /S0)的标准差。金融风险管理 闫海峰9.5方差的估算方差的估算l传统上通常利用移动平均的观念来估算方差，并且可进一步分为等权移动平均与指数加权移动平均两种方式。 l最早采用的是相等（简单）加权移动平均法（Equally-Weighted Moving Ave

3、rage） ，也称“历史方法”。假定产生回报序列的随机过程是独立同分布的，并且在计算中采用等权重的移动平均，也就是在计算算数平均时对数据采用相同的权重。相等（简单）加权移动平均法（Equally-Weighted Moving Average） l l指数加权移动平均法（Exponentially-Weighted Moving Average） l TittTRR1221)(2212)1 (tttR金融风险管理 闫海峰9.6l在计算波动率时，通常忽略掉市场不进行交易的天数，每周是5个交易日，每年252个交易日；l年波动率 = * 日波动率；l方差变化率等于波动率的平方252金融风险管理 闫海

4、峰9.7隐含波动率隐含波动率l在给期权定价的多个参数变量中，那个不能被直接观察到的参数称为隐含波动率l因此我们能够通过市场价格推算出波动率，反之亦然l由于期权定价模型(如BS模型)给出了期权价格与五个基本参数(标的股价、执行价格、利率、到期时间、波动率)之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。 金融风险管理 闫海峰9.8 标的资产股票价格 满足几何Brown运动，无风险利率为 r，敲定价为 ，到期日为 的式看涨期权定价公式：)(tS)()()(tdBdttStdSSS)0(rKT)(exp)(),(2

5、1dNrTKdSNtkCTdd21TTrKSd)21(ln22duexNux2221)(金融风险管理 闫海峰9.9VIX VIX 指数指数: S&P 500: S&P 500的隐含波动率的计算的隐含波动率的计算 ( (图图 9.1)9.1)芝加哥期权交易所发表隐含期权指数。金融风险管理 闫海峰9.10汇率的日变化率是否服从正态分布？汇率的日变化率是否服从正态分布？ 表表 9.29.2现实世界 (%)正态模型 (%)1 SD25.0431.732SD5.274.553SD1.340.274SD0.290.015SD0.080.006SD0.030.00金融风险管理 闫海峰9.11厚尾厚尾l汇率的

6、日变化率不服从正态分布l汇率的日变化率的分布比正态分布的尾部更厚l汇率的日变化率的分布比正态分布的峰值更高l这种分布说明小的变化及大的变化的数量会比在正态分布里更多l许多市场变量具有这种特征,即过度峰态l投机方式：深度虚值(deep-out-of-the-money) 看 涨及看跌期权金融风险管理 闫海峰9.12正态分布与厚尾分布的比较正态分布与厚尾分布的比较金融风险管理 闫海峰9.13正态分布的代替：幂律正态分布的代替：幂律Prob(v x) = Kx-a这个公式比正态分布能更好地描述市场变量的收益率的行为。()ln lnlnProb vxKxa金融风险管理 闫海峰9.14汇率变化率的汇率变

7、化率的Log-LogLog-Log检验检验金融风险管理 闫海峰9.15历史波动率历史波动率(History Volatility,HV) (History Volatility,HV) l历史波动率是基于过去的统计分析得出的，假定未来是过去的延伸，利用历史方法估计波动率类似于估计标的资产收益率的标准差。 l计算步骤 1、从市场上获得标的股票在固定时间间隔(如每天、每周或每月等)上的价格。 2、对于每个时间段，求出该时间段末的股价与该时段初的股价之比的自然对数。 3、求出这些对数值的标准差，再乘以一年中包含的时段数量的平方根(如，选取时间间隔为每天，则若扣除闭市，每年中有252个交易日，应乘以根

8、号252)，得到的即为历史波动率。 金融风险管理 闫海峰9.16实际波动率（实际波动率（Realized VolatilityRealized Volatility）lAndersen等（1998,2001）提出了一种度量波动率的新方法，称之为实际波动率（Realized Volatility），是通过加总某一频率下的日内分时数据的收益平方来得到真实波动率的一个估计。 l理论证明：在日内频率选取适当的情形下，该估计量是真实波动率的无偏一致且有效的估计量。因此，近期国外大量的文献致力于利用高频样本数据来研究非参数的实际波动率。而对于最优样本频率的选取，则成为计算实际波动率过程中最为关键的问题。若

9、样本频率过小，则不会得到真实波动率的一个一致的估计量；若样本频率过大，由于收益受到市场微观结构噪声的影响，度量结果会有较大的误差。因此，最优的样本频率一定存在且是某个中间值，它可以对这两方面的制约进行平衡。 金融风险管理 闫海峰9.17估计波动率的标准方法估计波动率的标准方法l定义sn为第n-1天和第n天的日波动率，即在第n-1天末进行估值l定义Si为市场变量在第i天的取值l定义 ui= ln(Si/Si-1)nn iimn iimmuuumu2211111()金融风险管理 闫海峰9.18风险管理中的简化式风险管理中的简化式l定义 ui 为 (SiSi-1)/Si-1l假设 ui 的平均值为0

10、l用m替换m-1得到nn iimmu2211金融风险管理 闫海峰9.19加权权重公式加权权重公式l当公式中的权重不相等时，我们有如下加权权重公式miimiininu11221aa其中金融风险管理 闫海峰9.20条件方差模型条件方差模型lll模拟不对称模型l随机波动率模型金融风险管理 闫海峰9.21ARCH(m) ARCH(m) 模型模型在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重， 为长期平均方差miimiiniLnuV11221aa其中LV金融风险管理 闫海峰9.22ARCH的检验步骤（恩格尔）： 对下式做回归：012:=0pHaaatktkttuXXY221tu 得到OLS残差作以下辅助回归：

11、计算R2222221102ptptttuuuuaaaa检验统计量22pnR如果拒绝H0，则条件同方差干扰的假定将被拒绝，而接受ARCH干扰。金融风险管理 闫海峰9.23EWMA EWMA 模型模型l在指数加权移动平均模型中，u2的权重随着回望时间加长而按指数速度递减l结果是：21212)1 (nnnuiiaa110金融风险管理 闫海峰9.24EWMAEWMA的优点的优点l需要相对较少的数据l只需要注意对当前波动率的估计以及市场变量的最新观察值l能够跟踪监测波动率的变化lRiskMetrics 数据中采用l = 0.94进行每天的波动率预测金融风险管理 闫海峰9.25GARCH (1,1)GAR

12、CH (1,1)在GARCH (1,1)模型中，我们赋予长期平均方差（ ）不同的权重由于权重之和为1，因此21212annLnuV1aLV金融风险管理 闫海峰9.26GARCH (1,1)GARCH (1,1)令 ， GARCH (1,1) 模型可以表示成和a1LV21212annnuLV金融风险管理 闫海峰9.27例例1 1假设l对应参数l此模型隐含的每天长期方差 为0.0002，对应的每天长期波动率为 1.4%2121286. 013. 0000002. 0nnnu01. 01,000002. 0,86. 0,13. 0aaLV金融风险管理 闫海峰9.28例例2 2l假设现在的日波动率的估

13、计值为1.6%，最近的市场变量变动为1%l新的方差率为：新的日波动率为1.53%0000002013000010860000256000023336.金融风险管理 闫海峰9.29GARCH (p,q)GARCH (p,q) a nin ijjqipnju22112金融风险管理 闫海峰9.30其他模型其他模型l许多其他类型的GARCH模型也已经被提出来了l例如，我们可以设计这样一个GARCH模型，即ui2的权重取决于ui的值是正的还是负的TARCH 模型或Threshold ARCH模型（ Zakoian (1990) and Glosten, Jaganathan, and Runkle (1

14、993)）211212102tttttduuaa否则如果0011ttud金融风险管理 闫海峰9.31EGARCH(p,q)模型)log()log(2111111102ttttttuuaa高阶EGARCH(p,q)模型)log()log(21102jtqjjititpiiititituuaa0iituitu如果 ，则当 为负时，方差趋向于增大；而当 为正时，方差趋向于减小，因此可用来模拟负相关现象。这样EGARCH(p,q)模型不仅可以反应过去残差的数量对波动的影响，而且可以反应出其符号对波动的影响,因此更适合资产定价应用。ARCH（M)ttttuXY2), 0 (|21tttNupiititu

15、1202aa金融风险管理 闫海峰9.32方差目标法方差目标法l增加GARCH(1,1)模型稳定性的方法之一是应用方差目标法l令长期平均波动等于相同的方差l仅有其余的两个参数需要估计金融风险管理 闫海峰9.33最大似然估计法最大似然估计法l在最大似然估计方法中，我们选择合适的参数以使得观测值发生的概率最大。金融风险管理 闫海峰9.34例例1 1 l观察一个实验，在进行的十次实验中假设某个事件为随机事件，那么这个事件发生一次的概率是多少呢？ 计算的结果是：l使得表达式取得最大值的极大似然估计值: p=0.19)1 (pp 金融风险管理 闫海峰9.35例例2 2估计一组服从正态分布的，均值为零的观测

16、值得方差 niiniiniiunvvuvvuv1212121 :)ln( : 2exp21 :可以得到或者最大化金融风险管理 闫海峰9.36GARCH (1,1) GARCH (1,1) 参数估计方法参数估计方法令 ， GARCH (1,1) 模型可以表示成定义 为第i天的方差的估计，在方差一定的条件下， 在给定观测值， 最佳匹配的参数应使得下式最大化：a1LV21212annnuLV2ii), 0(2iiNumuuu,.,21iiimiu2exp2121金融风险管理 闫海峰9.37应用于应用于GARCH (1,1)GARCH (1,1)模型模型选择能够最大化下面表达式的参数miinininv

17、uv12)ln(max121nnnua金融风险管理 闫海峰9.38计算日元计算日元/ /美元汇率数据美元汇率数据( (表表9.4) 9.4) 天数Siuivi =si2-ln vi-ui2/vi10.00772820.0077790.00659930.007746-0.0042420.000043559.628340.0078160.0090370.000041988.132950.0078370.0026870.000044559.8568.24230.0084950.0001440.000084179.382422063.5833金融风险管理 闫海峰9.39日元日元/ /美元汇率日波动率美

18、元汇率日波动率: 1988-: 1988-19971997金融风险管理 闫海峰9.40模型检验（模型表现如何）模型检验（模型表现如何）l通过计算 的自相关系数来检验GARCH模型的正确性。l原理：如果 确实有自相关性，如果GARCH模型有效， 自相关性就会被剔除，即 不再具有自相关性。l结论：有关 的模型确实解释了 中的自相关性。 miui,.2 , 1,2miui,.2 , 1,2miuii,.2 , 1,22miuii,.2 , 1,22i2iu金融风险管理 闫海峰9.41预测未来的波动率预测未来的波动率由GARCH（1,1）利用n-1天结束的数据来预测t+n天的波动率为：)()(22Ln

19、tLtnVVEa22211nnnua2211ntntE u 金融风险管理 闫海峰9.42定义 ：可得：a1ln),()(2aEtVtn)0()(LatLVVeVtV这里的 V( t) 为对第 t 天的即时方差( instantaneous variance) 的估计，介于第 n 天与时间 T 的方差平均值为 011(0)aTTLLeV t dt VVVTaT金融风险管理 闫海峰9.43预测未来的波动率预测未来的波动率一个连续T天的期权的年波动率为1()252(0)1lnaTLLeTVVVaTaa其 中当前波动率高于长期波动率时， GARCH ( 1 ，1) 模型预测出的波动率期限结构为下降型( downward - sloping) ;当前波动率低于长期波动率时， GARCH (1， 1) 预测出的波动率期限结构为上升型 (upward- sloping) 。金融风险管理 闫海峰9.44波动率期限结构波动率期限结构l可以利用基于GARCH (1,1)的模型预测波动率期限结构的变化l当 的变化量为 ，GARCH (1,1) 模型预测 的变化量为1(0)(0)( )aTeaTT(0)(0)( )T金融风险管理 闫海峰9.45作业题作业题 P147页：9.2,9.4,9.6,9.9,9.11,9.15,9.19,9.21, 9.23