Ch24---介质格林函数(I).ppt

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1、一、Green函数的基本概念 1. 1. 函数函数 函数是广义函数函数是广义函数(24-1)(24-1)( )xxx0 = 0( )()x dx 1 归一性( ) ( )( )()x f x dxf0 选择性(24-3)(24-3)(24-2)(24-2) 函数有各种物理解释，其中之一是函数有各种物理解释，其中之一是“概率论概率论”中必然事件的概率密度。中必然事件的概率密度。2. 2. GreenGreen函数函数 GreenGreen函数解决一类普遍问题，不仅是电磁场，函数解决一类普遍问题，不仅是电磁场，而且在力学、流体、空气动力诸方面都有应用，其而且在力学、流体、空气动力诸方面都有应用，其

2、问题提法是：复杂区域问题提法是：复杂区域V V，在内部有任意源在内部有任意源g g，已知已知场场u u服从服从 gu L(24-4)(24-4)一、Green函数的基本概念 Ox x( ) 图图 24-2 ( 24-2 (x)x)函数函数 一、Green函数的基本概念 uvVG( / )r r( / )r rg图图 24-3 24-3 GreenGreen函数问题函数问题 一、Green函数的基本概念 对于对于 ( (r/r)r/r)特殊源所对应的是特殊源所对应的是GreenGreen函数，有函数，有 (24-5) (24-5)为了普遍化，我们把为了普遍化，我们把 函数的归一性积分写成函数的归

3、一性积分写成 (24-6) (24-6) DiracDirac内积符号，表示积分或内积符号，表示积分或，注意，注意 对对 起作用。起作用。L L对对 起作用，可以建立恒等式起作用，可以建立恒等式 ) /() /(rrrrGL) /(), ()(rrrgrgrr一、Green函数的基本概念 (24-7) (24-7)根据根据OperaterOperater的线性有的线性有 (24-8) (24-8)对比对比可以得到可以得到 (24-9) (24-9)() /(, rgrrLG)rg()() /(), (rgrrGrgLgu Lu rg rG rr( )( ),( / ) 一、Green函数的基本

4、概念 归结出：只要求出某一类归结出：只要求出某一类( (特定支配方程和边界特定支配方程和边界条件条件) )问题的问题的GreenGreen函数，那么，这一类问题中任意源函数，那么，这一类问题中任意源 在点在点 造成的场造成的场 只需由只需由 和和 函数的函数的广义内积求得。广义内积求得。最简单的如三维静场最简单的如三维静场 (24-10) (24-10)若简洁写成若简洁写成g r ( )u r ( )g r ( )G rr( / )Er rrrrdvV ( )( )|4E rrG rr( )( ),( / ) 一、Green函数的基本概念 r可知对应的可知对应的GreenGreen函数是函数是

5、 (24-11) (24-11)G rrrr( / )|14一、Green函数的基本概念 从更广义的物理方法论来理解：式从更广义的物理方法论来理解：式(24-5)(24-5)可以看成可以看成是是(24-4)(24-4)即原问题的伴随问题，若令即原问题的伴随问题，若令 且且L La a=L(=L(术语上称之为自伴术语上称之为自伴) )，也即，也即(24-12)(24-12)uG rrgrraa( / ),( / )gu L按这一观点按这一观点u rg ua( ), 一、Green函数的基本概念 由于由于 函数的特殊性质，实际上式函数的特殊性质，实际上式(24-13)(24-13)可进可进一步写成

6、一步写成(24-14)(24-14)而式而式(24-14)(24-14)正是互易定理的表达形式。正是互易定理的表达形式。ug,u ,g(24-13)(24-13) 如果问题的区域是分层媒质，则可用镜象法求出如果问题的区域是分层媒质，则可用镜象法求出GreenGreen函数。函数。 采用镜象法的基础是采用镜象法的基础是MaxwellMaxwell方程组的唯一性定方程组的唯一性定理。理。 它可以叙述为：在给定区域符合微分方程和边它可以叙述为：在给定区域符合微分方程和边界条件的解是唯一的。因此，也可以反过来说，只界条件的解是唯一的。因此，也可以反过来说，只要符合方程和边界条件，则这个解必定正确。要符

7、合方程和边界条件，则这个解必定正确。 所谓镜像法，其第一要点是所谓镜像法，其第一要点是分区分区求解；第二要求解；第二要二、镜象法 点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界，使之符点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界，使之符合求解区域合求解区域之内之内的方程及边界条件。的方程及边界条件。例例1 1 半无限空间导体前的点电荷半无限空间导体前的点电荷( (也即也即 源源) )。解解 先写出分区解和分区边界条件先写出分区解和分区边界条件 支配方程支配方程 (24-15) (24-15) 2020qxdyz() ( ) ( ) /二、镜象法 边界条件边界条件 |xxxx000oyRegion IRegi

8、on IIxFIIFIdq图图 24-4 24-4 导体镜像法导体镜像法分区求解分区求解 二、镜象法 其中，其中， 为导体面电荷。很明确：为导体面电荷。很明确：解是分区的。解是分区的。 现在采用镜像法现在采用镜像法 根据图根据图24-524-5，很易看出：，很易看出： (24-17)(24-17)式式(24-17)(24-17)满足支配方程满足支配方程(24-15)(24-15)是显然的。是显然的。 qxdyzqxdyz44002220222()()二、镜象法 下边考察其边界条件情况。下边考察其边界条件情况。(1)(1)当当x=0 x=01400222222qdyzqdyz二、镜象法 (2)(

9、2)再研究导数条件再研究导数条件xxxd qxdyzxd qxdyzqddyzxx002223 22223 2002223 2142()()()()()/oyxFIIIIddq-q 求解求解 时，在时，在RegionRegion加镜像电荷加镜像电荷( (q) q) 求解求解 时，在时，在RegionRegion加镜像电荷加镜像电荷( (q)q)图图 24-5 24-5 镜像电荷镜像电荷均加在求解区域之外均加在求解区域之外oyxFIIIII-q ,q二、镜象法 对比边界条件式对比边界条件式(24-16)(24-16)，易知，易知 (24-18) (24-18) 为了验证为了验证 的面电荷密度性质

10、，验证下列积分，的面电荷密度性质，验证下列积分，采用采用yozyoz的极坐标，即的极坐标，即dydz=rdrddydz=rdrd (24-19) (24-19)qddyz22223 2()/dsqdrdrddrqdd rdrdqS 22223 200222223 20()()()/二、镜象法 作为副产品易知，这种问题的作为副产品易知，这种问题的GreenGreen函数函数于是于是 (24-21) (24-21)上面整个过程即采用镜像法求取上面整个过程即采用镜像法求取GreenGreen函数。函数。 20G rrrrrxiyjzkrdiyjzk( / )( / ) /G rrxdyzrr( /

11、)()()141402220二、镜象法 xq图图 24-6 24-6 yozyoz的极坐标的极坐标 二、镜象法 二维问题的介质二维问题的介质Green函数的一般模型如图函数的一般模型如图24-7。在右半空间在右半空间d处放一无限长线电荷，密度为处放一无限长线电荷，密度为 。三、二维介质Green函数 oyRegion IRegion IIxoordl图图 24-7 24-7 介质镜像法介质镜像法 同样，分区域求解同样，分区域求解 支配方程支配方程 (24-22) 边界条件边界条件 (24-23) 2020( / ) /rrxxr三、二维介质Green函数 -dIIIoId 求解求解Regiou

12、 Regiou 在在假设假设 求解求解Region Region 在在假设假设 镜像镜像 图图 24-8 24-8 介质分区域求解介质分区域求解 ， IIIoyxIIIIId三、二维介质Green函数 所有镜像均在求解区域外。所有镜像均在求解区域外。Note：在我们假设中，两空间均是在我们假设中，两空间均是 0，当然也可以，当然也可以 是是 0 r。 求解求解Region时，时， 实际上包括真实电荷实际上包括真实电荷 和镜像和镜像 。这样模型满足支配方程是没有问题的，现写出这样模型满足支配方程是没有问题的，现写出 (24-24)121112102222022ln()ln()ln()xdyxdy

13、xdy三、二维介质Green函数 也可以改写为也可以改写为 (24-25)式中式中 (24-26)2112102222022ln()ln()ln()xdyxdyxdy三、二维介质Green函数 现在，让我们考察解与边界条件的关系。现在，让我们考察解与边界条件的关系。 于是由函数边界条件有于是由函数边界条件有 (24-27)()|ln()xxdu00022211|lnxdu0022211三、二维介质Green函数 导数边界条件导数边界条件 xxrx0 xxdyxdxdyxdyxdxdyddyxxdyxdxdyxxxx 0022222222002200222202112121()()()()()()()()()()2022ddy三、二维介质Green函数 又得到又得到 (24-28)解方程得解方程得所以，结果有所以，结果有()1 r1121rrr, 1121rrr三、二维介质Green函数 很明显看出：很明显看出： 是负电荷，而是负电荷，而 是正电荷是正电荷(原因是原因是 r1)。 PROBLEMS 24 Zr07590, .rztgcm250501030030.,., , dbW结束结束