2020年高考数学《立体几何的计算问题》专项训练及答案解析.doc

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1、立体几何的计算问题一、基础检测1、(2019扬州期末） 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是_【答案】 【解析】圆锥的高为h2，圆锥的体积V122.2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为，侧面积为2，则该圆锥的体积为_【答案】 【解析】 先求出圆锥的底面半径和高设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则解得所以h.圆锥的体积VSh.3、(2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm的正三角形，则该圆锥的体积为_ cm3.【答案】 【解析】圆锥的底面半径R1，高h，故圆锥的体积为V12.4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm，侧面的对角线长是3

2、 cm，则这个正四棱柱的体积为_cm3.【答案】 54【解析】由题意知，正四棱柱的高为6，所以它的体积V32654，故答案为54.5、(2019南京学情调研） 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA13，则四棱锥A1B1C1CB的体积是_【答案】2【解析】如图，取B1C1的中点E，连结A1E，易证A1E平面BB1C1C，所以A1E为四棱锥A1B1C1CB的高，所以V四棱锥A1B1C1CBS矩形BB1C1CA1E(23)2.6、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 【答案】【解析】设圆锥的高为，母线为，由得，即，故该圆锥的体积为.7、(

3、2017无锡期末） 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120且面积为3的扇形，则该圆锥的体积等于_【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则解得故h2，所以圆锥的体积Vr2h122.解后反思 解决立体几何问题的基本思想是将空间问题转化为平面问题，在解题过程中要注意明确展开图中各个元素和几何体中元素的对应关系8、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA16.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是_【答案】 8【解析】因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BB1，AA1平面AA1C1C，BB1平面AA1

4、C1C，所以BB1平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BHAC，垂足为点H，由于ABC是正三角形且边长为4，所以BH2，从而三棱锥AA1EF的体积VAA1EFVEA1AFSA1AFBH6428.解题反思 一般地，三棱锥的体积求解都需要通过换底来求解，基本原则是换底以后的三棱锥的底面积和高均容易求解9、（2016无锡期末） 如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OAOB，且OAVO1，则O到平面VAB的距离为_【答案】【解析】思路分析 在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径：(1) 利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；(2) 利用

5、面面垂直的性质作出高线，再进行计算解法1 因为VO平面AOB，OA平面AOB，所以VOOA，同理VOOB，又因为OAOB，OAVOOB1，所以VAVBAB，所以SVABVAABsin60.设O到平面VAB的距离为h，由VVAOBVOVAB，得SAOBVOSVABh，得OAOBVOh，解得h.解法2 取AB中点M，连结VM，过点O作OHVM于H.因为OAOB，M是AB中点，所以OMAB，因为VO平面AOB，AB平面AOB，所以VOAB，又因为OMAB，VOOMO，所以AB平面VOM，又因为AB平面VAB，所以面VAB平面VOM，又因为OHVM，OH平面VOM，平面VAB平面VOMVH，所以OH平

6、面VAB，所以OH为点O到平面VAB的距离，且OH.二、拓展延伸题型一 柱、锥的面积与体积知识点拨： 求空间几何体的体积的本质就是找几何体的高(即找线面垂直)，常见的空间几何体体积的求法有：作高法、转换顶点法、割补法. 例1、(2019南京、盐城一模）如图，PA平面ABC，ACBC，PA4，AC，BC1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为_【答案】 【解析】VBEFCVFBECVPBEC(SBECPA)4.【变式1】(2019泰州期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则的值是_【答

7、案】 【解析】解法1(割补法) 设ABC的面积为S，三棱柱的高为h，则V1VA1ABCVMABCShShSh，V2VABCA1B1C1VA1ABCShShSh，所以.解法2(等积转换)V1VBA1MCVBA1ACVA1ABC，V22VA1BC1B12VBA1B1C12VA1ABC，所以. 【变式2】(2018常州期末） 已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为_【答案】 3【解析】设截得的小圆锥的高为h1，底面半径为r1，体积为V1rh1；大圆锥的高为h6，底面半径为r，体积为Vr2h8.依题意有，V11，得h1h3，所以圆台的高为hh13.

8、【变式3】(2018镇江期末） 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为_【答案】 【解析】正四棱锥的底面边长为 2，可知底面正方形对角线长为2，所以正四棱锥的高为2，所以正四棱锥的体积V42.【变式4】(2018扬州期末） 若圆锥的侧面展开图是面积为3且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为_【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则由l23，得l3，又由l2r，得r1，从而有h2，所以Vr2h.【变式5】(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH(如图2)，则

9、正四棱锥SEFGH的体积为_（图1）（图2）【答案】 【解析】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG2，EO1，则点E到线段AB的距离为1，EB.SO2，故正四棱锥SEFGH的体积为()22.【变式6】(2018苏锡常镇调研（二） 在棱长为2的正四面体中，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为 【答案】 【解析】思路分析：解决空间几何体的体积计算问题常常有两个途径：一是直接利用体积公式求解，另一种是利用等体积转化的思想进行计算.解题过程：连结，过点作于，因为，M为PA的中点，所以，同理，又因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，从而，故为点到平面的高.在中，N为BC

10、的中点，则，的面积，在中，因为，所以，从而三棱锥的体积 【变式7】(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥的体积为 ABCPA1B1C1(第10题)【答案】 【解析】 因为正三棱柱中，因为，所以，因为点在棱上，所以点到平面的距离就是点到平面的距离作，垂直为点，因为正三棱柱中，面，面，所以，而，所以因为正三棱柱中，所以，的面积，所以三棱锥的体积【变式8】(2017南京三模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90，点D为侧棱BB1上的动点当ADDC1最小时，三棱锥DABC1的体积为 ACBA1B1C1D【答案】 【解析】 将

11、侧面展开如下图，所以由平面几何性质可得：，当且仅当三点共线取到.此时，所以.在直三棱柱ABCA1B1C1中有，又，易得平面，所以平面，即是三棱锥的高，所以【解后反思】对于求空间几何体中在两个侧面上两个有公共点距离之和最小值的问题，一般都可以转化为同一个平面上问题.本题也是数学中最有名的“将军饮马”的问题，有兴趣的同科可以用网络搜索查阅这个问题.题型二 球的面积与体积知识点拨：解决空间几何体的外接球问题的关键是确定球心的位置，求得球半径多数试题中几何体的外接球通常可以考虑转化为相应长方体的外接球模型，这一类题在各类考题中常有出现，同学们一定要掌握其方法例1、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由

12、一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_【答案】 2【解析】正三棱锥的底面正三角形的边长为a2，面积Sa23，高h2.所以正三椎锥的体积VSh2.【变式1】(2019苏州三市、苏北四市二调）设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA2 m，PB3 m，PC4 m，则球O的表面积为_m2.【答案】 29【解析】根据题意，可知三棱锥PABC是长方体的一个角，如图所示，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球，因为PA2，PB3，PC4，所以长方体的体对角线的长为，即外接球

13、的直径2R，可得R，因此外接球的表面积为S4R2429，【变式2】(2018无锡期末）直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，AB3，BC4，AA15，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【答案】 50【解析】根据条件可知该直三棱柱的外接球即三棱锥B1ABC的外接球，也就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的外接球，设其半径为R，则2R，得R，故该球的表面积为S4R250.【变式3】(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸造成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是_cm.【答案】

14、 【解析】思路分析 圆锥的体积等于球的体积圆锥的高为4 cm，体积为V圆锥32412(cm3)设球的半径为r cm，则r312，即r39，所以r.题型三、立体几何中的综合问题知识点拨：立体几何中的综合问题往往涉及到求体积的最值问题或者涉及到复杂的几何体的问题，常用的方法是涉及复杂的几何体进行简化，最值问题运用不等式或者求导进行解决。例1、(2017南京、盐城一模） 将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB3，BC2，圆柱上底面圆心为O，EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG体积的最大值是_【答案】 4【解析】设RtEFG的两条直角边分别为a，b，则a2b216，三棱锥O

15、EFG的高为3，从而VOEFGSEFG3ab4，当且仅当ab2时等号成立，故三棱锥OEFG的体积的最大值为4.【变式1】(2017扬州期末） 已知一个长方体的表面积为48(单位：cm2)，12条棱长度之和为36(单位：cm)，则这个长方体的体积的取值范围是_(单位：cm3)【答案】 16,20【解析】解法1 设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，体积为V，根据题意有2xy2yz2zx48 ，4(xyz)36 ，Vxyz，在的条件下，求多元函数Vxyz的取值范围，首先想到的是消元，由4(xyz)36得xy9z，由2xy2yz2zx48得xy24(xy)z24(9z)z，因此Vxyz24(9z)z

16、z，即Vz39z224z.由xy24(xy)z24(9z)z，得z29z24xy22，即有z26z50，解得1z5.问题转化为求Vz39z224z在1,5上的值域令V3z218z243(z2)(z4)0，得z2或z4.所以V(z)在1,2上单调递增，在2,4上单调递减，在4,5上单调递增，有V(1)16，V(2)20，V(4)16，V(5)20，所以当z1，xy4或z4，x4，y1或z4，x1，y4时，Vmin16；当z2，x5，y2或z2，x2，y5或z5，xy2时，Vmax20.所以体积V的取值范围为16,20解法2 设长方体长、宽、高分别为a，b，c，则a，b，c0，abbcca24，a

17、bc9，得ab9c，abc29c24，所以a，b是方程x2(9c)x(c29c24)0的两个正根，由0,9c0，c29c240解得1c5，abcc39c224c，设f(c)c39c224c，f(c)3(c2)(c4)，f(1)f(4)16，f(2)f(5)20，所以长方体的体积取值范围是16,20解法3 设长方体长、宽、高分别为a，b，c，则a，b，c0，abbcca24，abc9，得abcc39c224c.由24abbccaab(ab)c2(ab)c2(9c)c，解得1c5，设f(c)c39c224c，f(c)3(c2)(c4)，f(1)f(4)16，f(2)f(5)20，所以长方体的体积取

18、值范围是16,20【变式2】（2019年南通一模）有一个体积为2的长方体，它的长宽高依次为a，b，1现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为 【答案】【解析】依题意有：ab12，所以，ab2，设新长方体高为h，则（a1）（b2）h2，化简为：h，当且仅当2ab，即时，h有最大值为.【变式3】(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm3【答案】【解析】 所求几何体的体积为【变式4】(2019苏州期初调查）将一张半径为1

19、(cm)的圆形纸片按如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长均相等的四棱锥，则折叠所成的四棱锥的体积为_cm3.【答案】 【解析】设四棱锥的棱长为x，则有x1，解得x2，则三棱锥的高为，所以四棱锥的体积为22.【变式5】(2018南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm，圆柱的底面积为9 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_cm(不计损耗)【答案】 2【解析】由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为64249460，设所求正三棱柱的底面边长为x cm，则有x2660，解

20、得x2，所以所求边长为2cm.【变式6】(2018苏州期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)【答案】 30【解析】 设球形容器的最小半径为R，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R，得4R230.从而S球面4R230.【变式7】(2017苏州期末） 一个长方体的三条棱长分别为3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为_【答案】 3【解析】思路分析 先不考虑在哪个面上钻孔，考察圆柱半径与高的关系，再检验设圆柱的底面半径为r，高为h，该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面，多了一个圆柱侧面由题意，得r2r22rh，得rh.经检验，只有r3符合要求，此时在89的面上打孔