最新北京邮电大学高等数学2-6幻灯片.ppt

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1、一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :.)(称称为为隐隐函函数数由由方方程程所所确确定定的的函函数数xyy .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )

2、(ln)()(lnxuxvxf 三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法

3、则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx ,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切

4、线方程为)12( axay)22( axy即即例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的

5、分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 四、相关变化

6、率四、相关变化率.,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例例9 9解解?,500./140,500率率是是多多少少观观察察员员视视线线的的仰仰角角增增加加米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为上上升升米米处处离离地地面面铅铅直直一一

7、汽汽球球从从离离开开观观察察员员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升, ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米米时时当当h)/(14. 0分分弧弧度度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500例例1010解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小时时上上升升几几米米米米时时问问水水深深的的水水槽槽顶顶角角为为米米形形状状是是长长为为水水库库秒秒的的体体流流量量流流入入水水库库中中米米河河水水以以则则水库内水量为水库内水量为水

8、深为水深为设时刻设时刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhhdtdV 38000,/288003小小时时米米 dtdV小小时时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米米时时当当 h五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定

9、两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率; ; 解法解法: : 通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系, , 用链用链式求导法求解式求导法求解. .思考题思考题设设 )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，对对吗吗？思考题解答思考题解答不对不对 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设01552223 yxyyxx确定了确定了y是是x的函的函数，则数，则)1 , 1(dxdy=_=_， 22dxyd_._.2 2、 曲线曲线733 xyyx在点在点（1 1，2 2）处的

10、切线方程）处的切线方程是是_._.3 3、 曲线曲线 ttyttxsincos在在2 t处的法线方程处的法线方程_._.4 4、 已知已知 teytexttsincos, ,则则dxdy=_=_；3 tdxdy=_.=_.5 5、 设设yxexy , ,则则dxdy=_.=_.练练 习习 题题二二、 求求下下列列方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数 y y 的的二二阶阶导导数数22dxyd：1 1、 yxey 1；2 2、 )tan(yxy ；3 3、 yxxy )00( yx，. .三三、 用用对对数数求求导导法法则则求求下下列列函函数数的的导导数数：1 1、 2xxy ；2 2、 54)1

11、()3(2 xxxy；3 3、 xexxy 1sin. .四、四、 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：1 1、 tbytaxsincos ；2 2、 )()()(tftf tytfx 设设)(tf 存在且不为零存在且不为零 . .五、五、 求由参数方程求由参数方程 ttytxarctan)1ln(2所确定的函数的所确定的函数的 三阶导数三阶导数33dxyd . .六、设六、设)(xf满足满足xxfxf3)1(2)( ，求，求)(xf . .七、七、 在中午十二点正甲船的在中午十二点正甲船的 6 6 公里公里/ /小时的速率向小时的速率向东行驶

12、，乙船在甲船之北东行驶，乙船在甲船之北 1616 公里，以公里，以 8 8 公里公里/ /小小时的速率向南行驶， 问下午一点正两船相距的速时的速率向南行驶， 问下午一点正两船相距的速率为多少？率为多少？ 八、八、 水注入深水注入深8 8 米， 上顶直径米， 上顶直径8 8 米的正圆锥形容器中，米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟其速率为每分钟 4 4 立方米，当水深为立方米，当水深为 5 5 米时，其米时，其表面上升的速率为多少？表面上升的速率为多少？ 一、一、1 1、34, ,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、

13、32,sincoscossin tttt； 5 5、yxyxexye . .二、二、1 1、32)2()3(yyey ； 2 2、- -)(tan)(csc232yxcyx ； 3 3、322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy. .练习题答案练习题答案三、三、1 1、)1ln2(12 xxx； 2 2、1534)2(21)1()3(254 xxxxxx； 3 3、)1(2cot11sin21xxxeexxexx . .四、四、1 1、tab32sin； 2 2、)(1tf . .五、五、3481tt . . 六、六、212x . .七、七、-2.8(-2.8(公里公里/ /小时小时).).八、八、204. 02516 ( (米米/ /分分).).30 结束语结束语