最新北京邮电大学高等数学8-6ppt课件.ppt
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1、北京邮电大学高等数学北京邮电大学高等数学8-68-6设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面M.),(0000tttzzyyxxM 对对应应于于;),(0000ttzyxM 对对应应于于设设M 由此得切向量由此得切向量,1, 0, 1 T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxF),(
2、),(),(000tttT 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线,)()()(: tztytx 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令则则,Tn 由于曲线是曲面上通过由于曲线是曲面上通过M的任意一条的任意一条曲线,它们在曲线,它们在M的切线都与同一向量的切线都与同一向量n垂直,故垂直,故曲面上通过曲面上通过M的一切曲线在点的一切曲线在点M的切线都在同一的切线都在同一平面上,这个平面称为曲面在点平面上,这个平面称为曲面在点M的的切平面切平面.切平面方程为切
3、平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地:空间曲面方程形为特殊地:空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切
4、平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的的全全微微分分在在点点函函数数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为全微分的几何意义全微分的几何意义),(yxfz 在在),(00yx的全微分,表示的全微分,表示曲面曲面),(yxfz 在点在点),(000zyx处的处
5、的切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量. 若若 、 、 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角,并并假假定定法法向向量量的的方方向向是是向向上上的的,即即使使得得它它与与z轴轴的的正正向向所所成成的的角角 是是锐锐角角,则则法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中例例 3 3 求求旋旋转转抛抛物物面面122 yxz在在点点)4 , 1 , 2(处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()
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