最新北航工科数学分析杨小远-第2节收敛数列的性质精品课件.ppt

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1、定理定理2.12.1 ( (唯一性唯一性) )若数列收敛若数列收敛, , 则其极限唯一则其极限唯一. .证明证明,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义, ,120,NNNN , 使得, 使得11,:,nNnNxa 22,:nNnNxb 一、一、 收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann .2 axbxnn.时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故极限唯一故极限唯一. .收敛数列性质收敛数列性质bbnn11lim )3( 先证先证, . , ,0112|时时当当对对于于NntsNb ,2|bbbn . 02|

2、 bbn且且此此时时有有时时所以当所以当 ,1Nn . |22bbbn |11| bbbbbbnnn 便有便有时时因此当因此当 ,max21NNn .11lim ,bbnn 即证得即证得.)2(易易见见结结论论成成立立再再由由当当对对由于由于 . ,N 0, ,lim2tsbbnn .2| ,N22 bbbnn 有有时时.|2|11| 2 bbbbbnn极限的四则运算极限的四则运算例例1 1:.145432lim22 nnnnn求求22145432limnnnnn 原式原式221lim4lim5lim4lim3lim2limnnnnnnnnnn 52 解解应用举例应用举例例例2 2).1(li

3、m , 1|12 nnqqqq计计算算极极限限设设).1(lim12 nnqqqqqqnnn 1lim11lim nnqqq lim1111 .11 q qqnn 11lim解解应用举例应用举例三、夹逼定理三、夹逼定理证明证明使得使得, 0, 0, 021 NN 定理定理2.52.5：满满足足：若若数数列列,nnncba则则且且,limlim, 3 , 2 , 1,nnnnnnncancba .limlimlimnnnnnncba 则则设设,limlimacannnn 夹逼定理夹逼定理,1 aaNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn , aaan即即,2 acNn

4、n时恒有时恒有当当, acan上两式同时成立上两式同时成立, , acbaannn,成成立立即即 abn.limaxnn 例例3 3).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn夹逼定理应用夹逼定理应用1lim: 0, 1 naan求求证证设设nnna111 , 1lim 1 nnn由由于于知知由由夹夹逼逼定定理理 ,.11lim1成成立立对对 aann于是于是这时这时再设再设 , 1 ),1, 0(

5、1 aa.1111lim1lim11 nnaann例例4 4有有时时当当先设先设 , 1, ana 证证夹逼定理应用夹逼定理应用例例5 5kaaa 210设设则则knnknnnaaaa 21lim证明：证明：knnknnknnnnkkakaaaaaa 21由夹逼定理由夹逼定理knnknnnaaaa 21lim由不等式由不等式夹逼定理应用夹逼定理应用.lim,lim21anaaaaannnn 求求证证已已知知例例6 6证明证明：anaaan 21，上上式式变变为为则则0lim nn aann 令令nnN 21naaaaaan)()()(21 经典例题经典例题2, 0* nNnNN时时，12|()

6、2NnnNn , 0lim21 nNn ,2|21 nN.2221 nnnnN 21时时使使1*1,NnNN 经典例题经典例题例例7 7证明证明证明：证明：,lim21saaann ）（若若, 02lim21 nnaaann）（则则. 0lim,21 iiiisaaas则则令令nanasnnaaannn）（）（)1(2221 nsssssssnnnnn)()()(121 nsssnsnn)(21 nsssnn)(1 . 0 由例由例6 6经典例题经典例题一子数列也收敛于一子数列也收敛于 .na定理定理2.62.6 如果数列如果数列收敛于收敛于a，那么它的任，那么它的任a定义定义2.2 2.2

7、在数列在数列 中按照先后次序任意抽取中按照先后次序任意抽取na无限多项这样得到的一个数列称为无限多项这样得到的一个数列称为原数列的原数列的子数列子数列，简称简称子列子列. .kna四、子列极限四、子列极限数列子列数列子列取取,NK 则当则当时时Kk ，.NnnnNKk .lim,|axaxkknnn 证证得得于于是是 证明证明设设是数列是数列的任一子列，由的任一子列，由knxnx,limaxnn 故对于任意给定的正数故对于任意给定的正数 存在着正整数存在着正整数,N当当Nn 时时， |axn成立。成立。数列子列数列子列五、五、 无穷小无穷小. , 0简称无穷小简称无穷小这个数列称为无穷小列这个

8、数列称为无穷小列那么那么的极限为的极限为如果收敛数列如果收敛数列na; | 1 为为无无穷穷小小为为无无穷穷小小的的充充要要条条件件是是nnoaa; , ,0 4*也也是是无无穷穷小小那那么么为为无无穷穷小小如如果果设设nnnnoabNnba ; , , 3为为无无穷穷小小那那么么为为有有界界数数列列为为无无穷穷小小设设nnnnoacca;)( 2仍仍是是无无穷穷小小或或差差两两个个无无穷穷小小之之和和o.lim 5为为无无穷穷小小的的充充要要条条件件是是aaaannno 定义定义2.32.3： 定理定理2.72.7 无穷小无穷小 六、小结六、小结1 1、收敛数列的性质、收敛数列的性质: : 唯一性、有界性、不等式性质唯一性、有界性、不等式性质2 2、极限的四则运算、极限的四则运算5 5、无穷小、无穷小3 3、夹逼准则、夹逼准则 ( (两边夹法则两边夹法则) )4 4、子列极限、子列极限总结总结作业作业习题1.21. 2 ， 3， 4（2, 3 ，5），5, 6, 7.26 结束语结束语