【数学】2010年高考试题——数学（四川卷）（文）.doc

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1、绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)解析：四川省成都市新都一中 肖宏本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至2页，第卷3至1 0页满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷注意事项：1答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号不能答在试卷上 3。本试卷共1 2小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公

2、式P(A+B) =P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径P(AB)=P(A)P(B) 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径一、选择题(1)设集合A=3，5，6，8，集合B=4，5， 7，8，则AB等于(A)3，4，5，6，7，8 (B)3，6 (C) 4，7 (D)5，8解析：集合A与集合B中的公共元素为5,8答案：D(2)函数y=log2x的图象大致是(A) (B) (C) (D)解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.答案：C(3)抛物线的焦点到准线的距离是(A) 1 (B)2

3、 (C)4 (D)8解析：由y22px8x知p4 又交点到准线的距离就是p答案：C（4）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（A）12,24,15,9 （B）9,12,12,7 （C）8,15,12,5 （D）8,16,10,6解析：因为 故各层中依次抽取的人数分别是，答案：D（5）函数的图像关于直线对称的充要条件是（A） （B） （C） （D）解析：函数f(x)x2mx1的对称轴为x于是1 m2答案：A（6）

4、设点是线段的中点，点在直线外， ，则（A）8 （B）4 （C）2 （D）1解析：由16，得|BC|44而故2答案：C（7）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A） （B）（C） （D）解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为ysin(x) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.答案：Cy0x70488070(15,55)（8）某加工厂用某原料由车间加工出产品，由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克产品，每千

5、克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克产品，每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱则目标函数z280x300y结合图象可得：当x15,y55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案：B（9）由1、2、3、4、5组

6、成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（A）36 （B）32 （C）28 （D）24解析：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为224种 如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，312种 共计122436种答案：A（10）椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）（0， （B）（0， （C），1） （D），1）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等而|FA| |PF|ac,ac于是ac,ac即acc2b2acc2又e(0,1)故e答案：D（11）设，则

7、的最小值是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解析：224当且仅当ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b满足条件.答案：D（12）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点、，那么、两点间的球面距离是（A） （B）（C） （D）解析：由已知，AB2R,BCR,故tanBACcosBAC连结OM，则OAM为等腰三角形AM2AOcosBAC，同理AN，且MNCD而ACR,CDR故MN：CDAN:AC MN，连结OM、ON，有OMONR于是cosMON所以M、N两点间的球面距离是答案：A二、填空题(13)(x)4的展开式中的常数项为_(用数字作答)解析：

8、展开式的通项公式为Tr1 取r2得常数项为C42(2)224答案：24(14)直线与圆相交于A、B两点，则 .解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2圆心到直线的距离为d故得|AB|2答案：2（15）如图，二面角的大小是60，线段.，与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .解析：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知ADl，故ADC为二面角的平面角，为60CD又由已知，ABD30连结CB，则ABC为与平面所成的角设AD2，则AC，CD1AB4sinABC答案：（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：集合S

9、abi|（为整数，为虚数单位）为封闭集；若S为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）解析：直接验证可知正确.当S为封闭集时，因为xyS，取xy，得0S，正确对于集合S0，显然满足素有条件，但S是有限集,错误取S0，T0,1，满足,但由于011T，故T不是封闭集，错误答案：三、 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学

10、每人购买了一瓶该饮料。（）求三位同学都没有中奖的概率；（）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.解：设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)P(B)P(C)P()P()P()P()答：三位同学都没有中奖的概率为6分(2)1P(BCACABABC) 13或P(ABC)答：三位同学至少两位没有中奖的概率为.（18）（本小题满分12分）在正方体ABCDABCD中，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量

11、知识解决数学问题的能力。解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA的中点，点O是BD的中点所以AM所以MO由AAAK，得MOAA因为AKBD,AKBB，所以AK平面BDDB所以AKBD所以MOBD又因为OM是异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线6分（2）取BB中点N，连结MN，则MN平面BCCB过点N作NHBC于H，连结MH则由三垂线定理得BCMH从而,MHN为二面角MBCB的平面角MN1,NHBnsin45在RtMNH中，tanMHN故二面角MBCB的大小为arctan212分解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Dxy

12、z则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因为点M是棱AA的中点,点O是BD的中点所以M(1,0, ),O(,),(0,0,1),(1,1,1) 0, 00所以OMAA,OMBD又因为OM与异面直线AA和BD都相交故OM为异面直线AA和BD的公垂线.6分(2)设平面BMC的一个法向量为(x,y,z) (0,1,), (1,0,1) 即取z2,则x2,y1，从而(2,1,2)取平面BCB的一个法向量为(0,1,0)cos由图可知，二面角MBCB的平面角为锐角故二面角MBCB的大小为arccos12分（19）（本小题满分12

13、分）（）证明两角和的余弦公式； 由推导两角和的正弦公式.（）已知，求解：(1)如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角、与，使角的始边为Ox，交O于点P1，终边交O于P2；角的始边为OP2，终边交O于P3；角的始边为OP1，终边交O于P4. 则P1(1,0),P2(cos,sin)P3(cos(),sin(),P4(cos(),sin()由P1P3P2P4及两点间的距离公式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2展开并整理得：22cos()22(coscossinsin)cos()coscossinsin.4分由易得cos()sin,sin()cossin()c

14、os()cos()() cos()cos()sin()sin() sincoscossin6分(2)(,),cos sin (，),tan cos,sin cos()coscossinsin ()()() （20）（本小题满分12分）已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和解：(1)设an的公差为d ，由已知得解得a13,d1故an3(n1)(1)4n5分(2)由(1)的解答得，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2(n1)qn1nqn.若q1，将上式两边同乘以q，得qSn1q12q23q3(n1)qnnqn1.将上面两式相减得到(q1)Sn

15、nqn(1qq2qn1) nqn于是Sn若q1，则Sn123n所以，Sn12分（21）（本小题满分12分）已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.解：(1)设P(x,y)，则化简得x21(y0)4分(2)当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为yk(x2)(k0)与双曲线x21联立消去y得(3k)2x24k2x(4k23)0由题意知3k20且0设B(x1,y1),C(x2,y2)，

16、则y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4 k2(4) 因为x1、x21所以直线AB的方程为y(x1)因此M点的坐标为(),同理可得因此 0当直线BC与x轴垂直时，起方程为x2，则B(2,3),C(2,3)AB的方程为yx1,因此M点的坐标为()，同理可得因此0综上0，即FMFN故以线段MN为直径的圆经过点F12分（22）（本小题满分14分）设（且），g(x)是f(x)的反函数.（）求；（）当时，恒有成立，求t的取值范围；（）当0a时，试比较f(1)+f(2)+f(n)与的大小，并说明理由.解：(1)由题意得：ax0故g(x)，x(,1)(1,)3分(2) 由得当a1时，0

17、又因为x2,6,所以0t(x1)2(7x)令h(x)(x1)2(7x)x39x215x7, x2,6则h(x)3x218x153(x1)(x5)列表如下：x2(2,5)5(5,6)6h(x)0h(x)5极大值3225所以h(x)最小值5，所以0t5当0a1时，0又因为x2,6,所以t(x1)2(7x)0令h(x)(x1)2(7x)x39x215x7, x2,6由知h(x)最大值32, x2,6所以t32综上，当a1时，0t5；当0a1时，t32.9分(3)设a，则p1当n1时,f(1)135当n2时设k2，kN *时则f(k)所以f(k)111从而f(2)f(3)f(n)n1n1所以f(1)f(2)f(3)f(n)f(1)n1n4综上，总有f(1)f(2)f(3)f(n)n414分