mathematics第6讲.ppt

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1、2/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-1】设】设f(x) = 2x，g(x) = sinx，观察复合函数，观察复合函数fg(x)，gf(x)的图形。的图形。输入程序：输入程序：C1earx, f, g;fx_:=2x;gx_:=Sinx;Plotfgx, x, -3, 3;Plotgfx, x, -3, 36.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质3/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-1】设】设f(x) = 2x，g(x) = sinx，观察复合函数，观察复合函数fg(x)，g

2、f(x)的图形。的图形。如果在较大的范围内考虑上面的例子，则有：如果在较大的范围内考虑上面的例子，则有：6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质4/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(1) a = 0, b = 1, 1.5, 2, 2.5;(2) b = 1, a = 0, 1, 2, 3。观察观察a, b的变化对图形的影响。的变化对图形的影响。222)(21)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数

3、性质5/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(1) a = 0, b = 1, 1.5, 2, 2.5;Cleara, b;fx_:=1/(2 Pi)(1/2)*b)*E(-(x-a)2/(2 b2);a = 0;DoPlotfx, x, -5, 5, PlotRange-0, 0.5, PlotLabel-b, b, b, 1, 2.5, 0.5222)(21)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质6

4、/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(1) a = 0, b = 1, 1.5, 2, 2.5;222)(21)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质7/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(1) a = 0, b = 1, 1.5

5、, 2, 2.5;222)(21)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质8/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(1) a = 0, b = 1, 1.5, 2, 2.5;222)(21)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质9/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b

6、为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(1) a = 0, b = 1, 1.5, 2, 2.5;222)(21)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质10/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(1) a = 0, b = 1, 1.5, 2, 2.5;根据图形可得结论：随着根据图形可得结论：随着b的增大，函数图形的最高点的增大，函数图形的最高点在逐渐降低。在逐渐降低。222)(21)(

7、baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质11/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(2) b = 1, a = 0, 1, 2, 3。b = 1;DoPlotfx, x, -6, 6, PlotRange-0, 0.5, PlotLabel-a, a,a, 0, 3注：注：PlotRange选项设置纵坐标的范围；选项设置纵坐标的范围；PlotLabel选项选项设置纵坐标的标签。设置纵坐标的标签。222)(2

8、1)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质12/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(2) b = 1, a = 0, 1, 2, 3。222)(21)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质13/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：

9、在下列情况时的图形：(2) b = 1, a = 0, 1, 2, 3。222)(21)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质14/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(2) b = 1, a = 0, 1, 2, 3。222)(21)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质15/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态

10、分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(2) b = 1, a = 0, 1, 2, 3。222)(21)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质16/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(2) b = 1, a = 0, 1, 2, 3。222)(21)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质17/103p通过几何图形

11、观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-2】描绘正态分布密度函数】描绘正态分布密度函数(其中其中a，b为常数为常数)在下列情况时的图形：在下列情况时的图形：(2) b = 1, a = 0, 1, 2, 3。根据图形可得结论：随着根据图形可得结论：随着a的增大，函数的图形在向右的增大，函数的图形在向右移动。移动。222)(21)(baxebx 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质18/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-3】观察】观察f(x) = 4x3-5x2+x-2的单调性、凹凸性与的单调性、凹

12、凸性与f (x)，f (x)符号的关系。符号的关系。(1) 先求出函数的驻点：一阶导数为零。先求出函数的驻点：一阶导数为零。Clearf, a, b;fx_:=2 x3-5 x2+x-2;t = Solvefx = 0, x/N(*求求f 的零点，即驻点的零点，即驻点*)x1 = x/.t1, 1;(*第第1个零点个零点*)x2 = x/.t2, 1;(*第第2个零点个零点*)6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质19/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-3】观察】观察f(x) = 4x3-5x2+x-2的单调性、凹凸性与的单调性、

13、凹凸性与f (x)，f (x)符号的关系。符号的关系。(2) 观察一阶导函数与函数的关系观察一阶导函数与函数的关系a=Plotfx, fx, x, -2, 2, PlotStyle-RGBColor1, 0, 0, Dashing0.03, 0.02;b=GraphicsLinex1, -5, x1, 0, x2, 0, x2, -5;(*画线画线2根根*)Showa, b注：注：Graphics函数的功能是根据选项函数的功能是根据选项Option用图形元用图形元素构造平面图形。素构造平面图形。6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质20/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几

14、何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-3】观察】观察f(x) = 4x3-5x2+x-2的单调性、凹凸性与的单调性、凹凸性与f (x)，f (x)符号的关系。符号的关系。(2) 观察一阶导函数与函数的关系观察一阶导函数与函数的关系 6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质21/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-3】观察】观察f(x) = 4x3-5x2+x-2的单调性、凹凸性与的单调性、凹凸性与f (x)，f (x)符号的关系。符号的关系。(2) 观察一阶导函数与函数的关系，其中虚线是一阶导观察一阶导函数与函数的关系，其中虚线是

15、一阶导函数的图形，如图所示函数的图形，如图所示6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质22/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-3】观察】观察f(x) = 4x3-5x2+x-2的单调性、凹凸性与的单调性、凹凸性与f (x)，f (x)符号的关系。符号的关系。 据此可以得出，据此可以得出，f(x)在区间在区间(-, 0.10685，1.55982,+)是单调增加的，在区间是单调增加的，在区间0.10685, 1.55982是单调减小的。是单调减小的。6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质23/103p通过几何图形观察、分析函数的

16、各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-3】观察】观察f(x) = 4x3-5x2+x-2的单调性、凹凸性与的单调性、凹凸性与f (x)，f (x)符号的关系。符号的关系。(3) 求二阶导数为零的点（拐点）。求二阶导数为零的点（拐点）。s = Solvefx=0, x/N(*求二阶导数为零的点求二阶导数为零的点*)x3=x/.s1,1(*取出二阶导数为零的点取出二阶导数为零的点*)fx36.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质24/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-3】观察】观察f(x) = 4x3-5x2+x-2的

17、单调性、凹凸性与的单调性、凹凸性与f (x)，f (x)符号的关系。符号的关系。(4) 观察二阶导函数与函数的关系观察二阶导函数与函数的关系c = Plotfx, fx, x, -2, 2, PlotStyle-RGBColor1, 0, 0, Dashing0.03, 0.02;d = GraphicsLinex3,-5, x3,0;(*在二阶导数为零的点处画线在二阶导数为零的点处画线*)Showc, d6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质25/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-3】观察】观察f(x) = 4x3-5x2+x-

18、2的单调性、凹凸性与的单调性、凹凸性与f (x)，f (x)符号的关系。符号的关系。(4) 观察二阶导函数与函数的关系，其中虚线是二阶导观察二阶导函数与函数的关系，其中虚线是二阶导函数的图形，如图所示。函数的图形，如图所示。6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质26/103p通过几何图形观察、分析函数的各种性质通过几何图形观察、分析函数的各种性质【例【例6-3】观察】观察f(x) = 4x3-5x2+x-2的单调性、凹凸性与的单调性、凹凸性与f (x)，f (x)符号的关系。符号的关系。可以看出可以看出, f(x)的图形在区间的图形在区间(-, 0.833333是凸的是凸的, 在区在区间

19、间0.833333, +)是凹的，是凹的，(0.833333, -3.48148)是拐点是拐点6.1 由图形分析函数性质由图形分析函数性质27/1036.2 函数与极限的概念函数与极限的概念p通过几何与数值两个方面观察理解极限的概念通过几何与数值两个方面观察理解极限的概念【例【例6-4】观察数列】观察数列 与其极限值的接近程度与其极限值的接近程度(1) 已知已知 ，从数值上观察，从数值上观察xn与常数与常数A = 0无限无限接近的情况。接近的情况。n = 15; A = 0; p=;Fori = 1, i RGBColor1, 0, 0, PointSize0.02;b = PlotA-e,

20、A+e, x, 0, 30, DisplayFunction-Identity;(*画出两条水平线，隐藏画出两条水平线，隐藏*)Showa, b, AxesLabel-,e=, e注：注：DisplayFunction-Identity隐藏画出的图形。隐藏画出的图形。nxnn)1( 32/1036.2 函数与极限的概念函数与极限的概念p通过几何与数值两个方面观察理解极限的概念通过几何与数值两个方面观察理解极限的概念【例【例6-4】观察数列】观察数列 与其极限值的接近程度与其极限值的接近程度(2) 从几何上观察随着从几何上观察随着n的增大的增大xn与常数与常数A=0无限接近的无限接近的情况情况n

21、xnn)1( 33/1036.2 函数与极限的概念函数与极限的概念p通过几何与数值两个方面观察理解极限的概念通过几何与数值两个方面观察理解极限的概念【例【例6-4】观察数列】观察数列 与其极限值的接近程度与其极限值的接近程度(2) 从几何上观察随着从几何上观察随着n的增大的增大xn与常数与常数A=0无限接近的无限接近的情况情况nxnn)1( 34/1036.2 函数与极限的概念函数与极限的概念p通过几何与数值两个方面观察理解极限的概念通过几何与数值两个方面观察理解极限的概念【例【例6-4】观察数列】观察数列 与其极限值的接近程度与其极限值的接近程度(2) 从几何上观察随着从几何上观察随着n的增

22、大的增大xn与常数与常数A=0无限接近的无限接近的情况情况nxnn)1( 35/1036.2 函数与极限的概念函数与极限的概念p通过几何与数值两个方面观察理解无穷大的概念以通过几何与数值两个方面观察理解无穷大的概念以及无穷大量与无界函数的区别及无穷大量与无界函数的区别【例【例6-5】观察函数】观察函数y = xsinx的图形，体会无穷大量与的图形，体会无穷大量与无界函数的区别。无界函数的区别。 将将y = xsinx，y=x，y = -x的图形画在一张图上，输入的图形画在一张图上，输入以下语句：以下语句：Plotx*Sinx, x, -x, x, -20, 20, PlotStyle - RG

23、BColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1, RGBColor0, 0, 136/1036.2 函数与极限的概念函数与极限的概念p通过几何与数值两个方面观察理解无穷大的概念以通过几何与数值两个方面观察理解无穷大的概念以及无穷大量与无界函数的区别及无穷大量与无界函数的区别【例【例6-5】观察函数】观察函数y = xsinx的图形，体会无穷大量与的图形，体会无穷大量与无界函数的区别。无界函数的区别。 将将y = xsinx，y=x，y = -x的图形画在一张图上，输入的图形画在一张图上，输入以下语句：以下语句：37/1036.2 函数与极限的概念函数与极限的概念p通过几何与数值两

24、个方面观察理解无穷大的概念以通过几何与数值两个方面观察理解无穷大的概念以及无穷大量与无界函数的区别及无穷大量与无界函数的区别【例【例6-5】观察函数】观察函数y = xsinx的图形，体会无穷大量与的图形，体会无穷大量与无界函数的区别。无界函数的区别。 由图可见，函数由图可见，函数y = xsinx在其定义域内无界，但非无在其定义域内无界，但非无穷大量。穷大量。38/1036.2 函数与极限的概念函数与极限的概念p通过几何与数值两个方面观察理解无穷小的阶及其通过几何与数值两个方面观察理解无穷小的阶及其比较比较【例【例6-6】无穷小的阶及其比较。】无穷小的阶及其比较。由极限由极限知，当知，当x0

25、时，时，y1= ex1是是x的一阶无穷小的一阶无穷小, y2 =1 cosx是是x的二阶无穷小，的二阶无穷小，y3 = x sinx是是x的三阶无穷小。的三阶无穷小。下面我们从几何和数值两个方面来观察无穷小的阶数下面我们从几何和数值两个方面来观察无穷小的阶数对无穷小趋近于零的速度的影响。对无穷小趋近于零的速度的影响。61sinlim,21cos1lim,11lim30200 xxxxxxexxxx39/1036.2 函数与极限的概念函数与极限的概念p通过几何与数值两个方面观察理解无穷小的阶及其通过几何与数值两个方面观察理解无穷小的阶及其比较比较【例【例6-6】无穷小的阶及其比较。】无穷小的阶及

26、其比较。由极限由极限(1) 先从图形上观察：先从图形上观察：PlotEx - 1, 1 - Cosx, x - Sinx, x, -1, 1, PlotRange - -1, 1, PlotLabel - Ex-1, 1-Cosx, x-Sinx, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 1, 0, RGBColor0, 0, 161sinlim,21cos1lim,11lim30200 xxxxxxexxxx40/1036.2 函数与极限的概念函数与极限的概念p通过几何与数值两个方面观察理解无穷小的阶及其通过几何与数值两个方面观察理解无穷小的阶及其比较

27、比较【例【例6-6】无穷小的阶及其比较。】无穷小的阶及其比较。由极限由极限(1) 先从图形上观察：先从图形上观察：61sinlim,21cos1lim,11lim30200 xxxxxxexxxx41/1036.2 函数与极限的概念函数与极限的概念p通过几何与数值两个方面观察理解无穷小的阶及其通过几何与数值两个方面观察理解无穷小的阶及其比较比较【例【例6-6】无穷小的阶及其比较。】无穷小的阶及其比较。由极限由极限由图可知，由图可知，61sinlim,21cos1lim,11lim30200 xxxxxxexxxx无穷小的阶数越高，函数无穷小的阶数越高，函数趋近于零的速度越快趋近于零的速度越快4

28、2/1036.2 函数与极限的概念函数与极限的概念p通过几何与数值两个方面观察理解无穷小的阶及其通过几何与数值两个方面观察理解无穷小的阶及其比较比较【例【例6-6】无穷小的阶及其比较。】无穷小的阶及其比较。由极限由极限(2) 再从数值上进行观察。再从数值上进行观察。n = 5;Print xi ex-1 1-cosx x-Sinx;Fori = 0, i1即曲线即曲线y = x3在点在点(1, 1)处切线的斜率处切线的斜率k = 3。47/1036.3 导数的概念及其几何意义导数的概念及其几何意义p用几何方法验证、演示导数的概念用几何方法验证、演示导数的概念【例【例6-7】一条曲线】一条曲线C

29、在点在点M处的切线是过该点的割线处的切线是过该点的割线MN当点当点N沿着曲线沿着曲线C趋向点趋向点M时，割线时，割线MN绕绕M点旋转点旋转的极限，切线的斜率也就是过的极限，切线的斜率也就是过M点的割线点的割线MN的斜率的斜率的极限。的极限。(2) 从数值上观察切线斜率与割线斜率的关系。从数值上观察切线斜率与割线斜率的关系。n=10;gx_:=(x3-1)/(x-1);(*与与y = x3在点在点(1, 1)处相交的割线斜率处相交的割线斜率*)Fori=1, i0,9, PlotStyle- RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0, t,0,8,1/250/1036.3 导数的概

30、念及其几何意义导数的概念及其几何意义p用几何方法验证、演示导数的概念用几何方法验证、演示导数的概念【例【例6-7】一条曲线】一条曲线C在点在点M处的切线是过该点的割线处的切线是过该点的割线MN当点当点N沿着曲线沿着曲线C趋向点趋向点M时，割线时，割线MN绕绕M点旋转点旋转的极限，切线的斜率也就是过的极限，切线的斜率也就是过M点的割线点的割线MN的斜率的斜率的极限。的极限。(3) 下面从几何上观察割线的位置与切线位置的关系。下面从几何上观察割线的位置与切线位置的关系。f1+2t*(f1+1/2t-f1)*(x-1) 过点过点(1, 1)的割线方程的割线方程51/1036.3 导数的概念及其几何意

31、义导数的概念及其几何意义p用几何方法验证、演示导数的概念用几何方法验证、演示导数的概念【例【例6-7】一条曲线】一条曲线C在点在点M处的切线是过该点的割线处的切线是过该点的割线MN当点当点N沿着曲线沿着曲线C趋向点趋向点M时，割线时，割线MN绕绕M点旋转点旋转的极限，切线的斜率也就是过的极限，切线的斜率也就是过M点的割线点的割线MN的斜率的斜率的极限。的极限。(3) 下面从几何上观察割线的位置与切线位置的关系。下面从几何上观察割线的位置与切线位置的关系。52/1036.3 导数的概念及其几何意义导数的概念及其几何意义p用几何方法验证、演示导数的概念用几何方法验证、演示导数的概念【例【例6-8】

32、画出函数】画出函数y = x + sinx及其导函数的图形，从及其导函数的图形，从几何上验证单调函数的导函数不一定是单调函数。几何上验证单调函数的导函数不一定是单调函数。fx_ := x + Sinx;Plotfx, fx, x, -10, 10, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 153/1036.3 导数的概念及其几何意义导数的概念及其几何意义p用几何方法验证、演示导数的概念用几何方法验证、演示导数的概念【例【例6-8】画出函数】画出函数y = x + sinx及其导函数的图形，从及其导函数的图形，从几何上验证单调函数的导函数不一定是单调

33、函数。几何上验证单调函数的导函数不一定是单调函数。fx_ := x + Sinx;Plotfx, fx, x, -10, 10, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 154/1036.4 定积分的概念及其几何意义定积分的概念及其几何意义p通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的思想是定积分的思想是“分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限”。若函数若函数f(x)在区间在区间a，b上可积，则上可积，则f(x)在在a，b上的定上的定积分为积分为 niii

34、baxfdxxf10)(lim)( 55/1036.4 定积分的概念及其几何意义定积分的概念及其几何意义p通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义定积分的几何意义【例【例6-9】动画演示小矩形面积的和逼近曲边梯形面积】动画演示小矩形面积的和逼近曲边梯形面积Clearf;fx_:=x2+1; a = 0; b = 2; m = 0;g = Plotfx, x, 0, 2, PlotStyle-RGBColor1, 0, 0, DisplayFunction-Identity;56/1036.4 定积分的概念及其几何意义定积分的概念及

35、其几何意义p通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义定积分的几何意义【例【例6-9】动画演示小矩形面积的和逼近曲边梯形面积】动画演示小矩形面积的和逼近曲边梯形面积Forn = 0, n100, n = n + 4; t1 = ; t2 = ; Fori =0, inintervals 注：注：Graphics函数的函数的Rectangle选项为作填充矩形图。选项为作填充矩形图。t1为绿色矩形块，为绿色矩形块，t2为蓝色矩形块。为蓝色矩形块。57/1036.4 定积分的概念及其几何意义定积分的概念及其几何意义p通过几何与数值相结合的

36、方法演示定积分的概念和通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义定积分的几何意义【例【例6-9】动画演示小矩形面积的和逼近曲边梯形面积】动画演示小矩形面积的和逼近曲边梯形面积 58/1036.4 定积分的概念及其几何意义定积分的概念及其几何意义p通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义定积分的几何意义【例【例6-9】动画演示小矩形面积的和逼近曲边梯形面积】动画演示小矩形面积的和逼近曲边梯形面积 输出部分图形如图输出部分图形如图4 intervals 59/1036.4 定积分的概念及其几何意义定积分的概念及其几何

37、意义p通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义定积分的几何意义【例【例6-10】动画演示小梯形的面积和逼近曲边梯形的】动画演示小梯形的面积和逼近曲边梯形的面积。面积。Clearf;fx_ := 1-x2; a = 0; b = 1;g0 = Plotfx, x, 0, 1, PlotStyle-RGBColor1, 0, 060/1036.4 定积分的概念及其几何意义定积分的概念及其几何意义p通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义定积分的几何意义【例【例6-10】动

38、画演示小梯形的面积和逼近曲边梯形的】动画演示小梯形的面积和逼近曲边梯形的面积。面积。Forn = 2, n=10, n+, g1 = ; Fori = 0, inintervals注：注：Graphics函数的函数的Polygon选项为作封闭多边形图。选项为作封闭多边形图。x1, 0, x1, fx1, x2, fx2, x2, 0表示表示4点为界的梯点为界的梯形块形块61/1036.4 定积分的概念及其几何意义定积分的概念及其几何意义p通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义定积分的几何意义【例【例6-10】动画演示小梯形的面积

39、和逼近曲边梯形的】动画演示小梯形的面积和逼近曲边梯形的面积。面积。62/1036.4 定积分的概念及其几何意义定积分的概念及其几何意义p通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义定积分的几何意义【例【例6-10】动画演示小梯形的面积和逼近曲边梯形的】动画演示小梯形的面积和逼近曲边梯形的面积。面积。输出的部分图形如图所示。输出的部分图形如图所示。63/1036.5 Taylor公式与函数的多项式逼近公式与函数的多项式逼近p通过几何与数值的方法演示用通过几何与数值的方法演示用TaylorTaylor多项式逼近函多项式逼近函数的思想数的思

40、想在各类初等函数中，多项式是最简单的一种。这是因在各类初等函数中，多项式是最简单的一种。这是因为多项式只涉及加法、减法和乘法三种运算，因此，为多项式只涉及加法、减法和乘法三种运算，因此，对于多项式来说无论是数值运算还是微积分运算都十对于多项式来说无论是数值运算还是微积分运算都十分简单。分简单。如何用一个多项式来逼近给定的函数，如何用一个多项式来逼近给定的函数，Taylor公式给出公式给出了答案。了答案。64/1036.5 Taylor公式与函数的多项式逼近公式与函数的多项式逼近p通过几何与数值的方法演示用通过几何与数值的方法演示用TaylorTaylor多项式逼近函多项式逼近函数的思想数的思想

41、定理定理(Taylor公式公式)：如果函数：如果函数f(x)在在x0的某邻域的某邻域(a，b)内内具有直到具有直到n + 1阶的导数，则当阶的导数，则当x (a，b)时，有公式时，有公式f(x)=Pn(x)+Rn(x)成立，其中成立，其中 在在x0与与x之间之间Pn(x)称为称为f(x)在在x0点的点的n阶阶Taylor多项式。多项式。当用当用Pn(x)近似表示近似表示f(x)时，可用时，可用Rn(x)计算误差。计算误差。nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)(.)(! 2)()()()(00)(200000 10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 65/1036.5 T

42、aylor公式与函数的多项式逼近公式与函数的多项式逼近p通过几何与数值的方法演示用通过几何与数值的方法演示用TaylorTaylor多项式逼近函多项式逼近函数的思想数的思想【例【例6-11】通过几何直观观察】通过几何直观观察y = sinx在在x0 = 0点的点的n = 1, 3, 5, 7阶阶Taylor多项式与函数的近似程度。多项式与函数的近似程度。Clearx, f, n; fx_:=Sinx;Doa = NormalSeriesfx,x,0,n; Plotfx, a, x, -2Pi, 2Pi, PlotStyle-RGBColor1, 0, 0, RGBColor0,0,1, n,1

43、,7,2注：注：Normal表示去掉幂级数表达式中的截断误差，表示去掉幂级数表达式中的截断误差，Seriesfx,x, x0, n表示将表示将f(x)在在x = x0处展开为最高次处展开为最高次幂为幂为n的幂级数。的幂级数。66/1036.5 Taylor公式与函数的多项式逼近公式与函数的多项式逼近p通过几何与数值的方法演示用通过几何与数值的方法演示用TaylorTaylor多项式逼近函多项式逼近函数的思想数的思想【例【例6-11】通过几何直观观察】通过几何直观观察y = sinx在在x0 = 0点的点的n = 1, 3, 5, 7阶阶Taylor多项式与函数的近似程度。多项式与函数的近似程度

44、。67/1036.5 Taylor公式与函数的多项式逼近公式与函数的多项式逼近p通过几何与数值的方法演示用通过几何与数值的方法演示用TaylorTaylor多项式逼近函多项式逼近函数的思想数的思想【例【例6-11】通过几何直观观察】通过几何直观观察y = sinx在在x0 = 0点的点的n = 1, 3, 5, 7阶阶Taylor多项式与函数的近似程度。多项式与函数的近似程度。输出图形如图所示。输出图形如图所示。 68/1036.5 Taylor公式与函数的多项式逼近公式与函数的多项式逼近p用用Taylor多项式对函数进行近似表示时，多项式对函数进行近似表示时，x0和和n对对近似程度的影响近似

45、程度的影响【例【例6-12】以函数】以函数y = ex为例为例, 观察用函数的观察用函数的Taylor多多项式对函数进行近似表示时项式对函数进行近似表示时, x0和和n对近似程度的影响对近似程度的影响 (1) 固定固定x0 = 0让让n增大。首先从几何上进行观察：增大。首先从几何上进行观察：Clearf, x, t; fx_:=Ex;Fori = 2, iRGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1, PlotLabel-n ,i69/1036.5 Taylor公式与函数的多项式逼近公式与函数的多项式逼近p用用Taylor多项式对函数进行近似表示时，多项式对函数进行近似表示

46、时，x0和和n对对近似程度的影响近似程度的影响【例【例6-12】以函数】以函数y = ex为例为例, 观察用函数的观察用函数的Taylor多多项式对函数进行近似表示时项式对函数进行近似表示时, x0和和n对近似程度的影响对近似程度的影响 (1) 固定固定x0 = 0让让n增大。首先从几何上进行观察：增大。首先从几何上进行观察：70/1036.5 Taylor公式与函数的多项式逼近公式与函数的多项式逼近p用用Taylor多项式对函数进行近似表示时，多项式对函数进行近似表示时，x0和和n对对近似程度的影响近似程度的影响【例【例6-12】以函数】以函数y = ex为例为例, 观察用函数的观察用函数的

47、Taylor多多项式对函数进行近似表示时项式对函数进行近似表示时, x0和和n对近似程度的影响对近似程度的影响 (1) 固定固定x0 = 0让让n增大。首先从几何上进行观察：增大。首先从几何上进行观察： 71/1036.5 Taylor公式与函数的多项式逼近公式与函数的多项式逼近p用用Taylor多项式对函数进行近似表示时，多项式对函数进行近似表示时，x0和和n对对近似程度的影响近似程度的影响【例【例6-12】以函数】以函数y = ex为例为例, 观察用函数的观察用函数的Taylor多多项式对函数进行近似表示时项式对函数进行近似表示时, x0和和n对近似程度的影响对近似程度的影响 (1) 固定

48、固定x0 = 0让让n增大。然后从数值上进行观察：增大。然后从数值上进行观察：Clearf, x, ti, ri;fx_ := Expx;Fori = 1, i1, 5; Printn=, i, r=, ri72/1036.5 Taylor公式与函数的多项式逼近公式与函数的多项式逼近p用用Taylor多项式对函数进行近似表示时，多项式对函数进行近似表示时，x0和和n对对近似程度的影响近似程度的影响【例【例6-12】以函数】以函数y = ex为例为例, 观察用函数的观察用函数的Taylor多多项式对函数进行近似表示时项式对函数进行近似表示时, x0和和n对近似程度的影响对近似程度的影响 (1)

49、固定固定x0 = 0让让n增大。然后从数值上进行观察：增大。然后从数值上进行观察：73/1036.5 Taylor公式与函数的多项式逼近公式与函数的多项式逼近p用用Taylor多项式对函数进行近似表示时，多项式对函数进行近似表示时，x0和和n对对近似程度的影响近似程度的影响【例【例6-12】以函数】以函数y = ex为例为例, 观察用函数的观察用函数的Taylor多多项式对函数进行近似表示时项式对函数进行近似表示时, x0和和n对近似程度的影响对近似程度的影响 (1) 固定固定x0 = 0让让n增大。然后从数值上进行观察：增大。然后从数值上进行观察：74/1036.5 Taylor公式与函数的

50、多项式逼近公式与函数的多项式逼近p用用Taylor多项式对函数进行近似表示时，多项式对函数进行近似表示时，x0和和n对对近似程度的影响近似程度的影响【例【例6-12】以函数】以函数y = ex为例为例, 观察用函数的观察用函数的Taylor多多项式对函数进行近似表示时项式对函数进行近似表示时, x0和和n对近似程度的影响对近似程度的影响 (2) 固定固定n让让x0改变。从几何上进行观察：改变。从几何上进行观察：fx_:= Expx;Forx0 = -2, x0Automatic,PlotRange-2, 6, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0,