最新压电振子的振动模式PPT课件.ppt

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1、2前几章我们根据晶体的对称性，分析讨论了不前几章我们根据晶体的对称性，分析讨论了不同对称性的压电晶体所具有的独立的介电常数、同对称性的压电晶体所具有的独立的介电常数、弹性常数、压电常数，以及这些量与电学量弹性常数、压电常数，以及这些量与电学量电位移、电场强度等之间的关系，与机械量电位移、电场强度等之间的关系，与机械量应力、应变之间的关系（胡克定律），与电学应力、应变之间的关系（胡克定律），与电学量和机械量之间的关系（压电方程组）等等，量和机械量之间的关系（压电方程组）等等，但是未涉及到但是未涉及到如何确定这些常数的数值如何确定这些常数的数值。 9图图5-1 5-1 薄长片压电振子薄长片压电振子

2、10因为电极面垂直于因为电极面垂直于z z轴，所以只要考虑电场分轴，所以只要考虑电场分量量E E3 3的作用，其它电场分量的作用，其它电场分量E E1 1、E E2 2可以忽略不可以忽略不计。又因为测量时（或工作时）只是薄片的计。又因为测量时（或工作时）只是薄片的中心被夹住，片的两端为自由端，即薄片的中心被夹住，片的两端为自由端，即薄片的边界条件为机械自由边界条件为机械自由，在边界上的应力分量，在边界上的应力分量X X1 1| |边界边界=0=0。还有。还有电极面是等位面电极面是等位面。 11在此情况下，可以选在此情况下，可以选X X1 1、E E3 3为自变量，用第一为自变量，用第一类压电方

3、程组，即：类压电方程组，即：11113133311333EXxs Xd EDd XE根据牛顿第二运动定律得到根据牛顿第二运动定律得到薄长片薄长片的运动方程为：的运动方程为：212uX12为了得到薄长片压电振子的波动方程，就需要根为了得到薄长片压电振子的波动方程，就需要根据压电方程组中应力与应变的关系式，据压电方程组中应力与应变的关系式，13131133111111111EEEExdudXEEsssxs代入波动方程得：代入波动方程得：223132211111EEuudEtsxsx11113133311333EXxs Xd EDd XE212uX13因为压电振子的电极面是等位面，电场分量因为压电振

4、子的电极面是等位面，电场分量E E3 3在在晶片中是均匀分布的，即有晶片中是均匀分布的，即有 E/E/ x=0 x=0。将这些关。将这些关系代入上式式即得薄长片压电振子的波动方程为：系代入上式式即得薄长片压电振子的波动方程为：22222E1122xucxus1tuxEsdxus1tu3E113122E1122111Ecs 声速声速14若压电振子是在交变电场E3=E0ejt的激发下，通过压电效应产生纵向振动，则上式的通解为： cos()sin()j tu xtAkxBkx e ，式中波矢k=/c；A、B为待定系数，由边界条件确定。15满足边界条件的解满足边界条件的解因为压电振子的两端为自由端，它

5、的机械自由边因为压电振子的两端为自由端，它的机械自由边界条件为界条件为: : x=0 x=0时，有时，有X X1 1| |x=0 x=0=0=0； x=lx=l时，有时，有X X1 1| |x=lx=l=0;=0; X X1 1=?, u(x)=?, u(x) 16而应力的表达式可以写为：而应力的表达式可以写为：1313113311111111310111111sin()cos()EEEEj tj tEExdudXEEsssxsdkAkxBkx keE ess cos()sin()j tu xtAkxBkx e ，17代入边界条件得代入边界条件得: :x=0 x=0时时,X,X1 1=0=0：

6、310111110 j tj tEEdBkeE ess310111110sin()cos()j tj tEEdAklBkl keE essx=lx=l时时, X, X1 1=0=0：311011111sin()cos()j tj tEEdXkAkxBkx keE ess310dBE18稍加整理即得稍加整理即得: :)klsin(1)klcos(kEdAkEdB031031310111110sin()cos()j tj tEEdAklBkl keE ess310sin( )cos( )AklBkl kd E3101sin( )cos( )AklBkld Ek310dBE19把把A A、B B代回

7、到波动方程的解中，得到满足边界代回到波动方程的解中，得到满足边界条件的解为条件的解为: :310310313cos()1cos()sin()sin()cos( ()cos()sin()cos( ()cos()sin()j tj td Eklukxkx ekkld Ek lxkxekkld Ek 20为了对上式所表示的波形有较具体的了解，在为了对上式所表示的波形有较具体的了解，在图图5-25-2中，绘出了中，绘出了t=0t=0及及t= t= / / =1/2=1/2周期时的波周期时的波形。从图形。从图5-25-2中可以看出上式代表纵驻波方程式，中可以看出上式代表纵驻波方程式，即在薄长片压电振子中

8、传播的是纵驻波。即在薄长片压电振子中传播的是纵驻波。313cos( ()cos()sin()d Ek lxkxu xtkkl，21图图5-2 5-2 薄长片压电振子的纵向振动薄长片压电振子的纵向振动22310cos()cos( ()sin() d Ekxk lxukklt=0t=0时：时：t=t= / / 时：时：310cos( ()cos()sin() d Ek 23)klsin()klcos(1kEd031)klsin()klcos(1kEd031)klsin()klcos(1kEd031)klsin()klcos(1kEd031x0l/2lt=0u0t=/24薄长片压电振子中的应力、应变

9、以及电位移与薄长片压电振子中的应力、应变以及电位移与（x x、t t）的关系为）的关系为: :1313sin( ()sin()( , )sin()uk lxkxx x td Exkl式中式中E E3 3=E=E0 0e ej j t t313cos( ()cos()sin()d Ek lxkxu xtkkl，25313111sin( ()sin()( , )1sin()Ed Ek lxkxXx tskl 331133331333311( , )sin( ()sin()1sin()XXED x td XEd Ek lxkxEskl13131133111111111EEEExdudXEEsssxs

10、应力应力自由自由26式中：式中：313333311sin( ()sin()( , )sin( )xEd Ek lxkxD x tEskl233333111/xXEds或或: :313333311sin( ()sin()( , )1sin()XEd Ek lxkxD x tE27传统电介质材料（知识回顾）传统电介质材料（知识回顾）介电常数介电常数 ，长，长l l、宽、宽l lw w 、厚、厚l lt t0wtl lCl 01tCwlZj Cjl l 电容：电容：容抗：容抗：0wCtVVIjl lZl 电流：电流：电流随频率电流随频率单调增加，单调增加，有位相差有位相差28通过薄长片压电振子的电流

11、通过薄长片压电振子的电流 因为通过压电振子电极面上的电流因为通过压电振子电极面上的电流I I3 3等于电极等于电极面上的电荷面上的电荷Q Q3 3随时间的变化率，即随时间的变化率，即: :dtdQI33而电极面上的电荷而电极面上的电荷Q Q3 3与电位移与电位移D D3 3的关系为的关系为 3300wllQDxt dxdy ，29(5-15)2313333300112313333110231333311231333311sin( ()sin()sin()cos( ()cos()sin()22cos()sin()tan()2wllxElxwwExwwExwwEd Ek lxkxQEdxdyskl

12、d E lk lxkxl lEkskld E lkll lEksklkld E ll lEks 2kl313333311sin( ()sin()( , )sin( )xEd Ek lxkxD x tE30最后得到通过压电振子电极面的电流为最后得到通过压电振子电极面的电流为: :233313333113003tan()2,2xwwEjtjtkldQdEl l ddEIl lkldtdtsdtdEdE ejE ejEdtdt 所以有所以有: :231333311tan()22xwEkldIj l lE31薄长片压电振子的等效导纳薄长片压电振子的等效导纳若通过薄长片压电振子的电流为若通过薄长片压电振

13、子的电流为I I3 3，两电极，两电极之间电压为之间电压为V V3 3，则压电振子等效阻抗，则压电振子等效阻抗Z Z为，为，33VI Z压电振子的等效导纳压电振子的等效导纳G G为为: :33V/IZ/1G33/ZVI或者或者32两电极面之间的电压两电极面之间的电压V V3 3为为: :3tl033EldzEVt压电振子的等效导纳为：压电振子的等效导纳为：2313311tan()22xwEtkll ldGjklls 231333311tan()22xwEkldIj l lE33牛顿定律牛顿定律压电方程压电方程波动方程波动方程边界条件边界条件质点位移质点位移电位移电位移电流，导纳电流，导纳材料参

14、数，等效电路材料参数，等效电路34结果分析结果分析以上就是如何通过压电方程和波动方程求得压以上就是如何通过压电方程和波动方程求得压电振子的等效导纳方法。电振子的等效导纳方法。下面进一步分析在不同频率时压电振子导纳的下面进一步分析在不同频率时压电振子导纳的性质。性质。 35频率很低时的情况频率很低时的情况 at low frequencyat low frequency当外加交变电场的频率很低时，即当外加交变电场的频率很低时，即 很小时，可很小时，可以近似认为以近似认为k=k= /c/c0 0，于是，于是: :0tan()2lim12kklkl 2313311tan()22xwEtkll ldG

15、36频率很低时，薄长片压电振子的等效导纳频率很低时，薄长片压电振子的等效导纳231131113|xwlowEtXwlowtl ldGjlsl ljj Cl33Xwlowtl lCl式中电容：式中电容：（5-215-21）37自由介电常数自由介电常数 X X3333的确定的确定可见低频时压电振子等效为一个电容性元件，可见低频时压电振子等效为一个电容性元件，或者说在低频时，压电振子在电路中只起一个或者说在低频时，压电振子在电路中只起一个电容器的作用，它的电容数值由（电容器的作用，它的电容数值由（5-215-21）式确）式确定。实验上就是通过在很低频率下，测量压电定。实验上就是通过在很低频率下，测量

16、压电振子的电容振子的电容C Clowlow（称为低频电容）来确定自由介（称为低频电容）来确定自由介电常数电常数 X X3333。 38应该注意，这里所说的应该注意，这里所说的“频率很低频率很低”是指外加是指外加交变电场的频率交变电场的频率f f（或（或 ）远小于压电振子的）远小于压电振子的谐振频率谐振频率f fr r（或（或 r r）的情况，即）的情况，即ffffr r，或，或 00，于是：，于是：48在反谐振频率时的情况在反谐振频率时的情况因为因为 00，所以，所以( ( + + )/2)/2在第二象限，这时在第二象限，这时tan(tan( + + )/2)0)/2)0，并随频率的增加在（，

17、并随频率的增加在（- - 0 0）范围内变化，因此一定存在某一个频率范围内变化，因此一定存在某一个频率f fa a或或 a a，即即k=kk=ka a= = a a/c/c时，使得时，使得: :2313311tan()202xE49即当即当k=kk=ka a时，薄长片压电振子的等效导纳为零，时，薄长片压电振子的等效导纳为零，等效阻抗为无限大；通过压电振子的电流等于零。等效阻抗为无限大；通过压电振子的电流等于零。2313311tan()2|02xwkaEtklj l ldGklls导纳：导纳：2313311tan()202axEak ldk ls 50在反谐振频率时的情况在反谐振频率时的情况电流

18、：电流：|kaZ 33|0kakaVIZ阻抗：阻抗：51可见，当外加交变电场可见，当外加交变电场E E3 3的频率的频率f=ff=fa a或或 = = a a时，时，压电振子的等效阻抗为无限大（实际上为最大压电振子的等效阻抗为无限大（实际上为最大值），通过的电流为最小（即等于零）。这也是值），通过的电流为最小（即等于零）。这也是一种谐振现象，相应的频率一种谐振现象，相应的频率f fa a称为反谐振频率。称为反谐振频率。实验上，常通过测量谐振频率与反谐振频率来确实验上，常通过测量谐振频率与反谐振频率来确定机电耦合系数。定机电耦合系数。52纵向振子的机电耦合系数纵向振子的机电耦合系数k k3131

19、与谐振与谐振频率频率f fr r和反谐振频率和反谐振频率f fa a之间的关系之间的关系欲得到的欲得到的k k3131与与f fr r和和f fa a的关系式，要从（的关系式，要从（5-245-24）式出发，将（式出发，将（5-245-24）式改写为：）式改写为：2231333133 113333 11coth()22XaaxExXEk lk lddss 2313311tan()2|02xwkaEtklj l ldGklls（5-255-25）53再将再将22313133 112,aaaXEdfkkscc222313133333333311133 111(1)xXXXETEddkss以及以及代

20、入（代入（5-255-25）式得）式得 54（5-26）231231aak1k)clfcoth(clffffra因为反谐振频率稍大于谐振频率，故可将反谐因为反谐振频率稍大于谐振频率，故可将反谐振频率振频率f fa a写成：写成：55又：,22coth( )coth( ) 1coth(),( )coth( )rrf lcflccoth将这些关系代入到（5-26）式得：56231231rrrrrrrrrrrrrk1k)ff2tan()ff1 (2)ff2coth(1)ff1 (2)ff2coth()2coth(1)ff2coth()2coth()ff1 (2)ff22coth()ff1 (2)ff

21、1 (clfcoth)ff1 (57再代入上式，并加整理后，即得机电耦合系数再代入上式，并加整理后，即得机电耦合系数k k3131与谐振频率与谐振频率f fr r与反谐振频率与反谐振频率f fa a的关系式：的关系式：3rrrff231ff2)ff2tan(因为因为 f/ff/fr r很小，可以将展成为幂级数：很小，可以将展成为幂级数：58机电耦合系数机电耦合系数k k3131的确定的确定因为因为 f/ff/fr r很小，通常只取上式的第一项（最多很小，通常只取上式的第一项（最多取到第二项）来计算取到第二项）来计算k k3131值，即值，即59压电常数压电常数d d3131的确定的确定可见实验

22、上，只要测出压电振子的谐振频率可见实验上，只要测出压电振子的谐振频率f fr r和和反谐振频率反谐振频率f fa a，代入（，代入（5-285-28）式，即可确定机电）式，即可确定机电耦合系数耦合系数k k3131。再结合通过低频电容。再结合通过低频电容C C0 0确定的自由确定的自由介电常数介电常数 X X3333=l=lt tC C0 0/ll/llw w，即可确定压电常数，即可确定压电常数d d31312223131 33 114XElowtarrClffdksM60夹持介电常数夹持介电常数22333331(1)(1)4xXtlowarwrlCffkl lf （5-305-30）61总之

23、，通过薄长片压电振子的谐振频率总之，通过薄长片压电振子的谐振频率f fr r、反、反谐振频率谐振频率f fa a以及低频电容以及低频电容C Clowlow和密度，即可确定和密度，即可确定压电晶体（或压电陶瓷）的弹性柔顺常数压电晶体（或压电陶瓷）的弹性柔顺常数s sE E1111、压电常数压电常数d d3131、自由介电常数、自由介电常数 X X3333、夹住介电常数、夹住介电常数 x x3333和机电耦合系数和机电耦合系数k k3131等物理量。等物理量。62薄长片压电振子的等效电路薄长片压电振子的等效电路equivalent circuitequivalent circuit器件设计器件设计

24、For device designFor device 63已知薄长片压电振子的等效导纳已知薄长片压电振子的等效导纳G G（或等效阻抗（或等效阻抗Z Z）为）为2333133 11tan()1212xwxEtkll ldGjkllsZ64当外加电场的频率很低时，压电振子的等效导当外加电场的频率很低时，压电振子的等效导纳为：纳为：33Xwlowlowtl lGjj Cl可见频率很低时，压电振子在电路中只起着一个可见频率很低时，压电振子在电路中只起着一个电 容 为电 容 为 C Cl o wl o w的 电 容 器 的 作 用 ， 它 的 阻 抗 为的 电 容 器 的 作 用 ， 它 的 阻 抗

25、为Z=1/(jCZ=1/(jClowlow ) )，在此情况下的压电振子的等效电，在此情况下的压电振子的等效电路是如图路是如图5-35-3所示纯电容电路。所示纯电容电路。65频率很低时压电振子的等效电路频率很低时压电振子的等效电路图图5-35-66串联谐振串联谐振 Series resonantSeries resonant等效阻抗等效阻抗Z|Z|frfr=0=0，电流，电流I I3 3= = （实际上（实际上I I3 3= =极大极大值）。这种谐振现象与无线电中的值）。这种谐振现象与无线电中的LC LC 串联谐振串联谐振现象相同。因为现象相同。因为LC LC 串联谐振时，电路中的阻抗串联谐振

26、时，电路中的阻抗=0=0，电流，电流= = 。frG当外加电场的频率等于压电振子的谐振频率当外加电场的频率等于压电振子的谐振频率f fr r时，时，压电振子的等效导纳为：压电振子的等效导纳为：67所以可以认为谐振时，压电振子在电路中起着所以可以认为谐振时，压电振子在电路中起着一个串联的电容一个串联的电容C C1 1和电感和电感L L1 1的作用。在此情况下，的作用。在此情况下，压电振子的等效电路如图压电振子的等效电路如图5-45-4所示的串联电路。所示的串联电路。压电振子的谐振频率压电振子的谐振频率f fr r就等于就等于LCLC串联电路中的串联电路中的谐振频率谐振频率f fs s。68谐振时

27、压电振子的等效电路谐振时压电振子的等效电路图图 5-45-69并联谐振并联谐振 parallel resonantparallel resonant当外加电场的频率等于压电振子的反谐振频率当外加电场的频率等于压电振子的反谐振频率f fa a时，压电振子的等效导纳为：时，压电振子的等效导纳为：0Gfa等效阻抗等效阻抗Z|Z|fafa= = ，电流，电流I I3 3=0=0（实际上为电流极（实际上为电流极小）。这种谐振现象与无线电中的小）。这种谐振现象与无线电中的LC LC 并联谐振并联谐振现象相同。因为现象相同。因为LC LC 并联谐振时，电路中的阻抗并联谐振时，电路中的阻抗无限大，电流为零。无

28、限大，电流为零。70所以可以认为反谐振时，压电振子在电路中起所以可以认为反谐振时，压电振子在电路中起着一个由电容着一个由电容C C0 0和电感和电感L L1 1以及电容以及电容C C1 1相并联的相并联的作用。在此情况下，压电振子的等效电路如图作用。在此情况下，压电振子的等效电路如图5-55-5所示的所示的LCLC并联电路。压电振子的反谐振频并联电路。压电振子的反谐振频率率f fa a就等于就等于LCLC并联电路中的谐振频率并联电路中的谐振频率f fp p。 71反谐振时压电振子的等效电路反谐振时压电振子的等效电路图图 5-55-72压电振子等效电路中的压电振子等效电路中的C C0 0、L L

29、1 1和和C C1 1与压电与压电常数、介电常数和弹性常数之间的关系常数、介电常数和弹性常数之间的关系 一方面，压电振子的振动特性是由压电振子的内一方面，压电振子的振动特性是由压电振子的内部矛盾来解决的，即由压电振子的压电常数、介部矛盾来解决的，即由压电振子的压电常数、介电常数和弹性常数来决定的。电常数和弹性常数来决定的。另一方面，压电振子的振动特性又可用另一方面，压电振子的振动特性又可用LC LC 串联电串联电路和路和LC LC 并联电路反映出来。因此等效电路中的并联电路反映出来。因此等效电路中的C C0 0、L L1 1和和C C1 1与压电常数、介电常数和弹性常数之间存与压电常数、介电常

30、数和弹性常数之间存在一定的关联。在一定的关联。 73这个联系可通过压电振子的等效阻抗（或等效这个联系可通过压电振子的等效阻抗（或等效导纳）与导纳）与LCLC电路中的阻抗加以比较而得到。电路中的阻抗加以比较而得到。已知压电振子的等效导纳为：已知压电振子的等效导纳为： 10E11t231w0Z1Z1)c2ltan(slcdl 2jCjZ1G2313311tan()22xwEtkll ldGjklls 74其中：其中：033xwtl lCl001Zj C1112312tan()2Etwl sZljl d cc为分路电容为分路电容为分路阻抗为分路阻抗为动态阻抗为动态阻抗10E11t231w0Z1Z1)

31、c2ltan(slcdl 2jCjZ1G75使动态阻抗使动态阻抗Z Z1 1在谐振频率附近展开，因为在谐振频率附近展开，因为)2tan(1)1 (2tan()c2ltan(, lc,)(76故得：故得：2r2r2r231wE11t23rr231wE11tr231wE11t1121dll4slj2312cdl 2slj)2tan(cdl 2sljZ（5-315-31）77使使LCLC串联阻抗在串联谐振频率串联阻抗在串联谐振频率11rCL1)1)(1 (C2j)()2(Cj)(C1jC1j)C1L( jZrrr1rrrr1rrrr1rr2r21r11LC附近展开得：附近展开得：（5-325-32）

32、 7822211122311412Etwrrrl sZjll d12(1)(1)LCrrrrZjC压电振子压电振子LCLC串联电路串联电路79比较（比较（5-315-31）式与（）式与（5-325-32）式可以看出，在谐振频）式可以看出，在谐振频率附近，取一级近似可得动态阻抗等效于（集总参率附近，取一级近似可得动态阻抗等效于（集总参数）数）LCLC串联阻抗，其中联系为：串联阻抗，其中联系为： 22311312211211122222211312211113131881181188wlowEtEtwrEEw twwl ldCk Clsl l slLlCc Ccdl l lssMldld（5-34

33、5-34）（5-335-33）80（5-335-33）与（）与（5-345-34）两式分别给出了压电振子的）两式分别给出了压电振子的等效电感、等效电容和压电常数、弹性常数等效电感、等效电容和压电常数、弹性常数之间之间的关系。的关系。81通过上述讨论使我们对薄长片压电振子的振动特通过上述讨论使我们对薄长片压电振子的振动特性、等效电路以及有关的压电常数、弹性常数、性、等效电路以及有关的压电常数、弹性常数、介电常数和机电耦合系数的测量有了一个较全面介电常数和机电耦合系数的测量有了一个较全面的了解。但是应该注意，上述讨论是在压电振子的了解。但是应该注意，上述讨论是在压电振子不存在损耗不存在损耗的条件下

34、进行的。而且是在的条件下进行的。而且是在谐振频率谐振频率附近附近的近似条件下得到的。的近似条件下得到的。82实际上压电振子总是存在损耗的，只是在损耗很实际上压电振子总是存在损耗的，只是在损耗很小时，才可能将损耗忽略不计，近似认为是无损小时，才可能将损耗忽略不计，近似认为是无损耗的压电振子。耗的压电振子。 如果压电振子的损耗不能忽略如果压电振子的损耗不能忽略不计，就需要计入损耗的影响，于是问题就比较不计，就需要计入损耗的影响，于是问题就比较复杂了复杂了。83这里只提出如下两点注意：这里只提出如下两点注意：（1 1）在同样大小的外加交变电场）在同样大小的外加交变电场E E3 3=E=E0 0cos

35、(cos( t)t)作用下，有机械损耗的压电振子的振幅比无损作用下，有机械损耗的压电振子的振幅比无损耗的压电振子的振幅小一些，这种损耗在等效耗的压电振子的振幅小一些，这种损耗在等效电路中的反映就是存在等效电阻电路中的反映就是存在等效电阻R R1 1，如图，如图5-65-6所所示。示。84有损耗时压电振子的等效电路有损耗时压电振子的等效电路图图 5-65-85其中等效电路参数为其中等效电路参数为211033131231111111,881,ExwttwwEtrml ll lsCLlldl l dCRlsC Q（5-355-35）其中其中: :Q Qm m为机械品质因子为机械品质因子。Mechan

36、ical Quality factorMechanical Quality 86（2 2）无损耗时，压电振子的谐振频率）无损耗时，压电振子的谐振频率f fr r，就等于，就等于LCLC串联电路的谐振频率串联电路的谐振频率f fs s，也等于阻抗最小（电，也等于阻抗最小（电流最大）时的流最大）时的f fm m。压电振子的反谐振频率。压电振子的反谐振频率f fa a等于等于LCLC并联电路中的谐振频率并联电路中的谐振频率f fp p，也等于等效阻抗最大，也等于等效阻抗最大（电流最小）时的测量频率（电流最小）时的测量频率f fn n，即有：，即有：apnrsmfff,87有损耗时，压电振子的这些频率

37、不在相等，而是有损耗时，压电振子的这些频率不在相等，而是,(),().msrmsrnpanpaffffffffffff 88即有损耗时，实际测量的阻抗最小，电流最大时即有损耗时，实际测量的阻抗最小，电流最大时的频率的频率f fm m，和阻抗最大，电流最小时的频率，和阻抗最大，电流最小时的频率f fn n，既不等于压电振子的谐振频率既不等于压电振子的谐振频率f fr r和反谐振频率和反谐振频率f fa a，也不等于也不等于LCLC串联谐振频率串联谐振频率f fs s和和LCLC并联谐振频率并联谐振频率f fp p。89但是当等效电阻但是当等效电阻R R1 1较小的情况下（即较小的情况下（即Q Q

38、m m值较高的值较高的情况下），情况下），f fm m、f fr r、f fs s之间相差较小，之间相差较小，f fn n、f fa a、f fp p之间相差也较小。之间相差也较小。所以实用上常忽略这个差别，近似地认为相等，所以实用上常忽略这个差别，近似地认为相等，即：即： apnrsmfff,90这时压电振子的各个参数，也近似认为由下列这时压电振子的各个参数，也近似认为由下列关系来确定：关系来确定：223111222333333312223133 11 3131,44,(1),4EnmmmXxXtlowwXElowtnmmffksflflCkl lClffds kMlf(5-36)(5-36

39、)器件的材料、几何参数器件的材料、几何参数频率参数频率参数91一、压电方程组一、压电方程组 + + 牛顿第二定律牛顿第二定律二、波动微分方程式二、波动微分方程式三、满足自由边界条件波动微分方程式的解三、满足自由边界条件波动微分方程式的解四、应力、应变、电位移与四、应力、应变、电位移与(x(x，t)t)的关系的关系五、通过振子电极面的电流五、通过振子电极面的电流六、振子的等效导纳六、振子的等效导纳G G或等效电阻或等效电阻Z Z为为92七、几种频率及其关系七、几种频率及其关系: :谐振频率谐振频率, ,反谐振频率反谐振频率; ;串联谐振频率串联谐振频率, ,并联谐振频率并联谐振频率; ;最大导纳

40、最大导纳频率频率, ,最小导纳频率最小导纳频率八、压电振子有关的常数与谐振频率及反谐振八、压电振子有关的常数与谐振频率及反谐振频率的关系频率的关系九、压电振子的等效电容、等效电感和等效电九、压电振子的等效电容、等效电感和等效电阻与材料参数的关系阻与材料参数的关系93几点注意事项几点注意事项94牛顿第二定律牛顿第二定律压电方程压电方程波动方程波动方程边界条件边界条件质点位移质点位移电位移电位移电流，导纳电流，导纳材料参数，等效电路材料参数，等效电路95等效电路分析等效电路分析低频电场低频电场谐振低频谐振低频反谐振低频反谐振低频自由介电常数自由介电常数短路弹性柔顺常数短路弹性柔顺常数机电耦合系数机

41、电耦合系数压电常数压电常数 等等96111114141100000002000000 dddddd - -石英（点群为石英（点群为3232）的压电常数矩阵）的压电常数矩阵x x切切 - -石英晶片可能的振动模式。石英晶片可能的振动模式。x x面为电极面。面为电极面。x x方向的纵向（厚度）伸缩振动；方向的纵向（厚度）伸缩振动；y y方向的横向伸缩振动方向的横向伸缩振动yzyz面切变振动。面切变振动。111213141516212223242526313233343536ddddddddddddddddddd 9715153131330000d0d000d00ddd000 压电陶瓷的压电常数矩阵

42、压电陶瓷的压电常数矩阵压电陶瓷圆片可能的振动模式。压电陶瓷圆片可能的振动模式。z z面为电极面。面为电极面。x x、y y方向的纵向伸缩振动；方向的纵向伸缩振动；z z方向的厚度伸缩振动。方向的厚度伸缩振动。111213141516212223242526313233343536ddddddddddddddddddd 98寄生振动寄生振动n根据工作频率（谐振频率）设计的压电晶根据工作频率（谐振频率）设计的压电晶片的几何尺寸。片的几何尺寸。n由于在不同方向上的压电常数不为零（存由于在不同方向上的压电常数不为零（存在压电性），同一激励电场在同一压电晶在压电性），同一激励电场在同一压电晶片会产生多个

43、振动模式。片会产生多个振动模式。n这样在工作频率附近所产生的振动模式就这样在工作频率附近所产生的振动模式就是寄生振动。是寄生振动。99开槽技术开槽技术n通过晶片的几何尺寸设计，可以有效地降低通过晶片的几何尺寸设计，可以有效地降低寄生振动的产生。寄生振动的产生。n另外的方法是开槽技术。另外的方法是开槽技术。n不同的振动模式所对应的边界条件不相同。不同的振动模式所对应的边界条件不相同。n通过在晶片边缘开槽，可以有效地抑制寄生通过在晶片边缘开槽，可以有效地抑制寄生振动。振动。100薄长片压电振子的谐振频率薄长片压电振子的谐振频率f fr r为：为：0111122rEcfflls 薄长片压电振子长度薄长片压电振子长度长度越长，弹性柔顺系数越大，长度越长，弹性柔顺系数越大，谐振频率越低。谐振频率越低。