最新同济高数第6章课件第3节幻灯片.ppt

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1、iiixfA )()2(（3）A的近似值的近似值.)(1iinixfA （4） 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(ab xyo)(xfy xdxx dAdxxfA)( dxxfA)( dxxfdA)( )1( badxxfA)( )2(（1） 把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间ixi 个个小小区区间间长长度度为为第第iA 相应的第相应的第i个个小曲边梯形面积为小曲边梯形面积为曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的曲边为参数方程: )()(tytx则曲边梯形的面积则曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA（其中（其中 和和 对应曲线起

2、点与终点的参数值）对应曲线起点与终点的参数值） 1t2t具有连续导数，具有连续导数，上上或或在在),( , 1221tttt)(tx )(ty xo d d 面积元素面积元素 ddA2)(21曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA)( r设由曲线设由曲线)( r 与与上上连连续续，在在其其中中, )( 0)( 及射线及射线围成一曲边扇形，围成一曲边扇形，求其面积求其面积解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A例例5 求双纽线求双纽线 2cos22a所围平面图形的面积所围平面图形的

3、面积. 解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0例例6 求心形线求心形线)cos1( ar所围平面图形的面积所围平面图形的面积( a 0) 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台,bax dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy 求由连续曲线求由连续曲线 y=f(x)、

4、直线、直线 x=a、x=b 及及x 轴轴所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周轴旋转一周而成的旋转体体积？而成的旋转体体积？取积分变量为取积分变量为 x 在在a,b上任取上任取小区间小区间x,x+dx取以取以 dx 为底的窄曲边梯形绕为底的窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成轴旋转而成的薄片的体积为体积元素的薄片的体积为体积元素 yr解解hPxhry , 0hx xo直线直线OP方程为方程为例例1 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点P(h,r)的直线、直线的直线、直线x=h高为高为h的圆锥体，的圆锥体，及及x轴围成一个直角三角形轴围成一个直角三角形将它绕将它绕 x 轴旋转轴旋转构成一个底

5、半径为构成一个底半径为r、计算圆锥体的体积计算圆锥体的体积取积分变量为取积分变量为x ， 在在0,h上任取小区间上任取小区间x,x+dx， dxxhrdV2 dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的轴旋转而成的薄片的体积为薄片的体积为 圆锥体的体积圆锥体的体积a aoyx解解,323232xay 332322xay ,aax dxxaVaa33232 .105323a 例例2 求星形线求星形线 ( a 0 )绕绕 x 轴旋转轴旋转323232ayx 构成旋转体的体积构成旋转体的体积. 旋转体的体积旋转体的体积xyo)

6、(yx cddyyVdc2)( 直线直线 y=c, y=d 及及 y 轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形)(yx 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线绕绕 y 轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为:解解dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy分别绕分别绕 x 轴、轴、),sin(ttax )cos1(tay 例例3 求摆线求摆线的一拱与的一拱与 y=0 所围成的图形所围成的图形,y 轴旋转构成旋转体的体积轴旋转构成旋转体的体积.绕绕 x

7、轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 绕绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别分别绕绕y轴旋转构成旋转体的体积之差轴旋转构成旋转体的体积之差.解解4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM例例4 求由曲线求由曲线24xy

8、 绕直线绕直线 x=3 旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.及及y=0所围成的图形所围成的图形取积分变量为取积分变量为y ,xoabxdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算. ,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积A(x)表示过点表示过点x且垂直于且垂直于x轴的轴的截面面积，截面面积，A(x)为为x的已知连续函数的已知连续函数 RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为

9、222Ryx x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122.tan323 R例例5 一平面经过半径为一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，的圆柱体的底圆中心，, 并与底面交成角并与底面交成角计算这平面截圆柱体计算这平面截圆柱体所得立体的体积所得立体的体积垂直于垂直于x 轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 例例6 求以半径为求以半径为R的圆为底、的圆为底、 平行且等于底

10、圆平行且等于底圆直径的线段为顶、直径的线段为顶、高为高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积垂直于垂直于x 轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形 xoyAB1M2M1 nMBMMMAn ,10并依次连接相邻分点并依次连接相邻分点,接折线，其长为接折线，其长为且每个小弧段的长度都趋向于零时且每个小弧段的长度都趋向于零时,在弧上插入在弧上插入得内得内0M nM 称此曲线弧为称此曲线弧为可求长的可求长的。|11 niiiMM的极限存在，的极限存在，设曲线弧设曲线弧AB,分点分点称此称此极限极限为曲线弧为曲线弧 AB的弧长的弧长当分点无限增多当分点无限增多,|11 niiiMMxNMTRxdxx y

11、odydxds22)()(dydxds 弧微分：弧微分：是否所有的曲线弧是否所有的曲线弧都是可求长的？都是可求长的？定理：光滑或分段光滑定理：光滑或分段光滑的曲线弧是可求长的。的曲线弧是可求长的。如何求弧长如何求弧长？xy1sin xoyabxdxx 22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 设曲线弧为设曲线弧为 y=f(x)(bxa 其中其中 y=f(x) 在在 a,b上有一阶上有一阶连续导数连续导数, 取积分变量为取积分变量为 x在在a,b上任取小区间上任取小区间 x, dx小切线段的长小切线段的长: x=g(y)(dyc x=g(y)在

12、在c,dy在在c,d y, y+dydyx21 dyxds21 .12dyxsdc 解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab abbax23)1(32 例例1 计算曲线计算曲线 2332xy 相应于相应于x从从a到到b的的一段弧的长度一段弧的长度解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n (令令 x = n t )例例2 计算曲线计算曲线 dnynx0sin)0( nx的

13、弧长的弧长曲线弧为曲线弧为,)()( tytx)( t22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 其中其中 在在 上具有连续导数上具有连续导数 )(),(tt , 解解 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a a aoyx例例3 求星形线求星形线 ( a 0)的全长的全长 323232ayx 曲线弧为曲线弧为)( )( rr sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr弧长弧长.)()(22 drrs)(

14、r 其中其中 在在 上具有连续导数上具有连续导数 )( , )0( a解解 drrs)()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa2426230)3(cos)3(sin)3(sin da230)3(sin)30( 例例4 求极坐标系下曲线求极坐标系下曲线 的长的长 33sin ar解解,ar drrs)()(22 .)412ln(412222 a daa20222例例5 求阿基米德螺线求阿基米德螺线 (a 0)上上 ar 2相应于相应于 从从0到到 的弧长的弧长 da2021直角坐标系：直角坐标系：参数方程：参数方程：极坐标系：极坐标系：弧微分求法：弧微分求法：22)()(dydxds )(xfy dxyds21 )(yx dyxds21 ,)()( tytx dtyxdstt22 ,)()(22 drrds)( rr 36 结束语结束语