2022年概率论与数理统计公式整理大全 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第一章随机事件和概率（1） 排列组合公式从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。（2） 加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由m n 种方法来完成。（3） 一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4） 随机试验和随机事件如果

2、一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5） 基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C ，表示事件，它们是的子集。为必然事件，? 为不可能事件。不可能

3、事件（ ?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（ ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6） 事件的关系与运算关系：如果事件 A的组成部分也是事件B的组成部分，（ A发生必有事件 B发生）：如果同时有， ，则称事件 A与事件 B等价，或称 A等于 B：A=B 。A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页学习必备欢迎下载属于 A而不属于 B的部分所构成的事件，称为A与 B的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB或者 ，它表示

4、A发生而 B不发生的事件。A、B同时发生： A B，或者 AB 。A B=? ，则表示 A与 B不可能同时发生，称事件 A与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A的逆事件，或称 A的对立事件，记为。它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率： A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率： (AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)德摩根率：，（7） 概率的公理化定义设 为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0 P(A)1，2 P( ) =1 3 对于两两互不相容的事件， ，有常称为可列（完全）

5、可加性。则称 P(A)为事件 的概率。（8） 古典概型1 ，2 。设任一事件，它是由组成的，则有P(A)= = （9） 几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，

6、共 23 页学习必备欢迎下载当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A= 时，P( )=1- P(B) （12）条件概率定义 设 A、B是两个事件，且P(A)0，则称 为事件 A发生条件下，事件 B发生的条件概率，记为。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) （13）乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有 。（14）独立性两个事件的独立性设事件 、 满足 ，则称事件、 是相互独立的。若事件 、 相互独立，且，则有若事件 、 相互独立，则可得到与 、 与 、 与 也都

7、相互独立。必然事件和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。? 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式设事件 满足1 两两互不相容，2 ，则有。（16）贝叶斯公式设事件 ， ， 及 满足精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页学习必备欢迎下载1 ， ， 两两互不相容，0，

8、1，2， ，2 ， ，则，i=1 ，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，（ ， ， ），通常叫先验概率。，（ ， ， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果，发生或 不发生；u 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用 表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率， 。第二章随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律设离散

9、型随机变量的可能取值为 Xk(k=1,2, )且取各个值的概率， 即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2, ，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足下列条件：（1） ， ，（2） 。（2）连续型随机设 是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有，则称 为连续型随机变量。称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页学习必备欢迎下载变量的分布密度密度函数具有下面4 个性质：1。2。（3）离散与连续型随机变

10、量的关系积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数设 为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量 X的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到 X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间 （ ，x 内的概率。分布函数具有如下性质：1；2是单调不减的函数，即时，有 ；3，；4，即 是右连续的；5。对于离散型随机变量，；对于连续型随机变量，。（5）八0-1P(X=1)=p, P(X=0)=q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页学习必备欢迎下载大分布分布二项分布在

11、 重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件 发生的次数是随机变量，设为，则 可能取值为。，其中 ，则称随机变量服从参数为， 的二项分布。记为。当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（ 0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为， ， ，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者 P( ) 。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布随机变量 X服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为H(n,N,M) 。几何分布，其中 p0，q=1-p。随机变量 X服从参数为 p 的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量的值只落在 a ，b 内，其密度函数在a ，b 上为常

12、数，即axb其他，则称随机变量在a ，b 上服从均匀分布，记为XU(a，b) 。分布函数为axb0， xb 。当 ax1x2b时，X落在区间（）内的概率为。指数分布 , 0, , 其中 ，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为 , x0 。记住积分公式：正态分布设随机变量的密度函数为，其中 、 为常数，则称随机变量服从参数为、 的正态分布或高斯精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页学习必备欢迎下载（Gauss ）分布，记为。具有如下性质：1的图形是关于对称的；2当 时， 为最大值；若 ，则 的分布函数为。参

13、数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为， ，分布函数为。是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x) 1-(x) 且 (0) 。如果 ，则 。（6）分位数下分位表：；上分位表：。（7）函数分布离散型已知 的分布列为，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。连续型先利用 X的概率密度 fX(x) 写出 Y的分布函数 FY(y) P(g(X) y) ，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y) 。第三章二维随机变量及其分布（1）联合离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（ x,y ），则称为离散型随精选学习资料

14、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页学习必备欢迎下载分布机量。设 = （X，Y）的所有可能取值为，且事件 = 的概率为 pij, 称为 = （X，Y）的分布律或称为X和 Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1这里 pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）连续型对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D ，即 D=(X,Y)|axb,cyx1时，有 F （x2,y ）F(x1,y

15、); 当 y2y1时，有 F(x,y2) F(x,y1); （3）F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即（4）（5）对于. （4）离散型与连续型的关系（5）边缘分布离散型X的边缘分布为；Y的边缘分布为。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为（6）条件分布离散型在已知 X=xi的条件下， Y取值的条件分布为在已知 Y=yj的条件下， X取值的条件分布为连续型在已知 Y=y的条件下， X的条件分布密度为；在已知 X=x的条件下， Y的条件分布密度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页学习必备欢迎下载（7）

16、独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布0 随机变量的函数若 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn相互独立， h,g 为连续函数，则：h（X1，X2, Xm）和 g（Xm+1, Xn）相互独立。特例：若 X与 Y独立，则： h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X与 Y独立，则： 3X+1和 5Y-2 独立。（8）二维均匀分布设随机向量（ X，Y）的分布密度函数为其中 SD为区域 D的面积，则称（X，Y）服从 D上的均匀分布， 记为（X，Y）U（D）。例如图 3.1 、

17、图 3.2 和图 3.3 。y1 D1O 1 x图 3.1 y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页学习必备欢迎下载D21 1 O 2 x图 3.2 yD3dcO a b x图 3.3 （9）二维正态分布设随机向量（ X，Y）的分布密度函数为其中 是 5 个参数，则称（ X，Y）服从二维正态分布，记为（ X，Y）N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN （但是若 XN（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数分布Z=X+Y 根据定义计算：对于连续型， fZ(z) 两个独

18、立的正态分布的和仍为正态分布（）。n 个相互独立的正态分布的线性组合， 仍服从正精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页学习必备欢迎下载态分布。，Z=max,min(X1,X2, Xn) 若 相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min(X1,X2, Xn) 的分布函数为：分布设 n 个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量 W服从自由度为 n 的 分布，记为 W ，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设则t 分布

19、设 X，Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量 T服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页学习必备欢迎下载F分布设 ，且 X与 Y独立，可以证明的概率密度函数为我们称随机变量 F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为 n2的 F 分布，记为 Ff(n1, n2). 第四章随机变量的数字特征（1） 一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设 X是离散型随机变量， 其分布律为 P( )pk， k=1,2, ,n ，（要求绝对收敛）

20、设 X是连续型随机变量， 其概率密度为 f(x) ，（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X) Y=g(X) 方差D(X)=EX-E(X)2，标准差，矩对于正整数 k，称随机变量X的 k 次幂的数学期望为X的k 阶原点矩，记为 vk, 即k=E(Xk)= , k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量X与 E （X）差的 k 次幂的数学期望为 X的 k 阶中心矩，记为 ，即= ， k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量 X的 k 次幂的数学期望为X的 k阶原点矩，记为 vk, 即k=E(Xk)= k=1,2, .对于正整数 k，称随机变量 X与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X的 k 阶

21、中心矩，记为，即= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页学习必备欢迎下载k=1,2, .切比雪夫不等式设随机变量 X具有数学期望 E （X）=，方差 D （X）=2，则对于任意正数 ，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2） 期望的性质（1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件： X和 Y独立；充要条件： X和 Y不相关。（3） 方差的性质（1

22、） D(C)=0 ；E(C)=C （2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) （3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5）D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件： X和 Y独立；充要条件： X和 Y不相关。D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X -E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4） 常见分布的期望和方差期望方差0-1 分布p二项分布np泊松分布几何分布超几何分布均匀分布精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

23、- - - - -第 15 页，共 23 页学习必备欢迎下载指数分布正态分布n 2n t 分布0 (n2) （5） 二维随机变量的数字特征期望函数的期望方差协方差对于随机变量 X与 Y，称它们的二阶混合中心矩为 X与 Y的协方差或相关矩，记为，即与记号 相对应， X与 Y的方差 D （X）与 D （Y）也可分别记为与 。相关系数对于随机变量 X与 Y，如果 D （X）0, D(Y)0 ，则称为 X与 Y的相关系数，记作（有时可简记为）。| | 1，当 | |=1时，称 X与 Y完全相关：完全相关而当 时，称 X与 Y不相关。以下五个命题是等价的： ；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E

24、(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页学习必备欢迎下载协方差矩阵混合矩对于随机变量 X与 Y，如果有存在，则称之为 X与 Y的 k+l阶混合原点矩，记为；k+l 阶混合中心矩记为：（6） 协方差的性质(i) cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E

25、(Y). （7） 独立和不相关（i ）若随机变量 X与 Y相互独立，则；反之不真。（ii ）若（X，Y）N（ ），则 X与 Y相互独立的充要条件是X和 Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理（1）大数定律切比雪夫大数定律设随机变量 X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C所界： D（Xi）C(i=1,2, ), 则对于任意的正数 ，有特殊情形：若 X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则上式成为伯努利大数定律设 是 n 次独立试验中事件A发生的次数， p 是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件 A发生的频率与概率

26、有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设 X1，X2， Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且 E（Xn）=，则对于任意的正数 有（2） 中心极限定列维林德伯设随机变量 X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页学习必备欢迎下载理格定理有相同的数学期望和方差：，则随机变量的分布函数 Fn( x)对任意的实数 x，有此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量为具有参数 n, p(0p1) 的二项分布， 则对于任意实

27、数 x, 有（3）二项定理若当 ，则超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理若当 ，则其中 k=0，1，2， n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布（1） 数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量， 一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，

28、表示 n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，表示 n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设 为总体的一个样本，称（ ）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（ ）为一个统计量。常见统计量样本均值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页学习必备欢迎下载及其性质样本方差样本标准差样本 k 阶原点矩样本 k 阶中心矩， ， , 其中 ，为二阶中心矩。（2） 正态总体下的四大分布正态分布设 为来自正态总体的一个样本，则样本函数t 分布设 为来自正态总体的一个样本，则

29、样本函数其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。设 为来自正态总体的一个样本，则样本函数其中 表示自由度为 n-1 的 分布。F 分布设 为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体的一个样本，则样本函数其中表示第一自由度为，第二自由度为的 F 分布。（3） 正态总体下分布的性质与 独立。第七章参数估计（1）点 矩估计设总体 X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的 k 阶原点矩中也包含了未知参数，即 。又设 为总体 X的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页学习必备欢迎下载估计n 个样本值，其样

30、本的k 阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的 m个方程中，解出的m个未知参数即为参数（）的矩估计量。若 为 的矩估计，为连续函数，则为 的矩估计。极大似然估计当总体 X为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中 为未知参数。又设为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln.当总体 X为离型随机变量时，设其分布律为，则称为样本的似然函数。若似然函数在 处取到最大值，则称分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。若 为 的极大似然估计，为单调函数，则为 的极大似然估计。（2）估计量的评选标准无偏性设 为未知参数的估计

31、量。若 E （ ）= ，则称 为 的无偏估计量。E（ ）=E（X）， E（S2）=D （X）有效性设 和 是未知参数的两个无偏估计量。若，则称 有效。一致性设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数，都有则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页学习必备欢迎下载若 为 的无偏估计，且则 为 的一致估计。只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间估计置信区间和置信度设总体 X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个

32、统计量与 ，使得区间以 的概率包含这个待估参数 ，即那么称区间为 的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计设 为总体 的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间 。具体步骤如下：（i ）选择样本函数；（ii ）由置信度，查表找分位数；（iii）导出置信区间。已知方差，估计均值（i ）选择样本函数(ii) 查表找分位数（iii）导出置信区间未知方差，估计均值（i ）选择样本函数 (ii)查表找分位数（iii）导出置信区间方差的区间估计（i ）选择样本函数（ii ）查表找分位数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

33、 - -第 21 页，共 23 页学习必备欢迎下载（iii）导出 的置信区间第八章假设检验基本思想假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称 H0是相容的。 与 H0相对的假设称为备择假设，用 H1表示。这里所说的小概率事件就是事件，其概率就是检验水平，通常我们取 =0.05，有时也取 0.01 或 0.10 。基本步骤假设检验的基本步骤如下：

34、(i) 提出零假设 H0；(ii) 选择统计量 K；(iii) 对于检验水平 查表找分位数 ；(iv) 由样本值计算统计量之值K；将 进行比较，作出判断：当时否定 H0，否则认为 H0相容。两类错误第一类错误当 H0为真时，而样本值却落入了否定域， 按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为 H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即P否定 H0| H0为真= ；此处的 恰好为检验水平。第二类错误当 H1为真时，而样本值却落入了相容域， 按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判

35、为 H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即P接受 H0| H1为真= 。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 n 一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平。 大小的选取应根据实际情况而定。 当我们宁可“以假为真”、 而不愿“以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页学习必备欢迎下载真当假”时，则应把 取得很小，如 0.01 ，甚至0.001。反之，则应把 取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件零假设统计量对应样本函数分布否定域已知N（0，1）未知未知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页