2022年椭圆定义及几何性质 .pdf

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1、椭圆【教案目标】（1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3）掌握求椭圆的标准方程【教案重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教案过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意： 若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。知 识 点 二 ： 椭 圆 的 标 准 方 程1 当 焦 点 在轴 上 时 ， 椭 圆 的 标 准 方 程 ：，其中；2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意： 1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立

2、直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有和；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页（1）对称性对于椭圆标准方程，把x 换成 x ，或把y 换成 y ，或把x、y 同时换成 x 、y ，方程都不变，所以椭圆是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：（2）范围椭圆上所有的点都位于

3、直线x= a 和 y= b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 |x| a，|y| b。（3）顶点 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆（ a b 0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（a ，0）， A2（ a，0）， B1（0，b ）， B2（0，b）。线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作。因为a c 0，所以e 的取值范围是0e 1。 e 越接近1，则c 就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；

4、反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b 时， c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2+y2=a2椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（ 1），；（2 ），；（ 3 ）,，；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页知识点四：椭圆与（ab 0）的区别和联系标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点，轴长轴长 =，短轴长 =离心率准线方程焦半径，注意： 椭圆，（a b0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有ab0 和，

5、a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。二、考点分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页考点一：椭圆的定义【例 1】 方程10222222yxyx化简的结果是。【例 2】 已知 F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P满足 |PF1|+|PF2|=16，则点 P的轨迹为（）A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线【变式训练】已知椭圆=1 上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则 P到另一焦点距离为。考点二：求椭圆的标准方程【例 3】 若椭圆经过点 (5，1)，(3，2)则该椭圆的标准方程为。

6、【例4】ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹【例 5】 求以椭圆229545xy的焦点为焦点，且经过点(2,6)M的椭圆的标准方程【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且213a，212c的椭圆的标准方程为。2、焦点在x轴上，1:2: ba，6c椭圆的标准方程为。3、已知三点P（5， 2）、1F（ 6，0）、2F（6，0），求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；4、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程22169xy精选学习资料 - - -

7、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页考点三：利用标准方程确定参数【例 6】 若方程25xk+23yk=1 （1）表示圆，则实数k 的取值是 . （2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是. 【例7】椭圆22425100 xy的长轴长等于，短轴长等于, 顶点坐标是 ,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于。【变式训练】1、椭圆2214xym的焦距为2，则m=。2、椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k。考点四：离心率的有关问

8、题一、求离心率1、用定义（求出a,c 或找到 c/a）求离心率（1）已知椭圆C:22221,(0)xyabab的两个焦点分别为12( 1,0),(1,0)FF, 且椭圆C经过点4 1(,)3 3P. 则椭圆C的离心率。（2）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）12F F2222:1(0)xyEababP32ax21F PF30E()A12()B23()C()D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页（3）椭圆（ab0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|

9、，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_. （4）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线距离为1，则该椭圆的离心率为。2、根据题设条件构造a、c 的齐次式方程，解出e。2220()0nccmanacpcmpm aa（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A. B. C. D. （2）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为)0,0(12222babyax, 右焦点为F, 右准线为l, 短轴的一个端点为B, 设原点到直线BF的距离为1d,F到l的距离为2d,若126dd, 则椭圆C的离心率为 _.（3）设椭圆的两个

10、焦点分别为F1.F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若三角形F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。二）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式）1、直接根据题意建立,a c不等关系求解 . （ 1）椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，若12MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是。（ 2） 已 知21,FF为 椭 圆012222babyax的 焦 点 ，B为 椭 圆 短 轴 上 的 端 点 ，2121212BFB FF F，求椭圆离心率的取值范围。22221xyab54535251精选学习资料 - - - - - - - - - 名

11、师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页2、借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立,a c不等关系求解设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是。3、利用圆锥曲线相关性质建立,a c不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）（1）椭圆22221xyab（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则椭圆离心率的取值范围为。（2）已知椭圆22221(0)xyabab右顶为A,点 P 在椭圆上， O 为坐标原点，且OP 垂直

12、于 PA，求椭圆的离心率e的取值范围。（3）椭圆）（012222babyax和圆2222cbyx（其中c为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围。考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用【例 14】已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示）分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积【 变 式 训 练 】 1 、 若P 是 椭 圆16410022yx上 的 一 点 ，1F、2F是 其 焦 点 ， 且精选学习资料 - - - - - -

13、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页6021PFF，求 21PFF的面积 . 2、 已 知P 是 椭 圆192522yx上 的 点 ，1F、2F分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 若21|2121PFPFPFPF，则 21PFF的面积为（）A. 33 B. 32 C. 3 D. 33课后作业：一、选择题1已知 F1(-8，0)，F2(8， 0)，动点 P满足 |PF1|+|PF2|=25，则点 P的轨迹为 ( ) A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线3 已知方程22111xykk表示椭圆，则k 的取值范围是 ( ) A -1k0 C k 0

14、D k1或 k-1 17、椭圆32x22y=1 与椭圆22x32y= (0)有（） (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对18、椭圆192522yx与125922yx（0k9）的关系为（）(A) 相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴二、填空题2、椭圆221169xy左右焦点为F1、F2，CD 为过 F1的弦，则CDF1的周长为 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为10，短轴长为6 (2)长轴是

15、短轴的2 倍，且过点 (2，1) (3) 经过点 (5，1)，(3，2) 5、若 ABC 顶点 B、C 坐标分别为 (-4，0)，(4，0)，AC 、AB 边上的中线长之和为30，则ABC 的重心 G 的轨迹方程为 _ 6.椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是F1、F2，过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于P点。若 F1PF2=60 ，则椭圆的离心率为_ 7、已知正方形ABCD ，则以 A、B 为焦点，且过C、D 两点的椭圆的的离心率为_ 椭圆方程为 _. 8 已知椭圆的方程为22143xy， P点是椭圆上的点且1260FPF,求12PFF的面积9.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点

16、为F1，则满足 ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为10.椭圆13610022yx上的点P 到它的左焦点的距离是12，那么点P 到它的右焦点的距离是11已知椭圆)5(125222ayax的两个焦点为1F、2F，且821FF，弦AB 过点1F，则2ABF的周长。13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为4x,那么这个椭圆的方程为。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e=. 15、椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上 ,准线方程为18y,椭圆上一点到两焦点的距离分别为 10 和 14,则椭圆方程为 _。16.已知 P是椭圆90025922yx上的点 ,若 P 到椭圆右准线的距离为8.5,则 P到左焦点的距离为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页19、椭圆12622yx上一点 P到左准线的距离为2，则点 P 到右准线的距离为。20、点P为椭圆1162522yx上的动点 ,21,FF为椭圆的左、右焦点,则21PFPF的最小值为_ ,此时点P的坐标为 _。. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页