2022年概率论与数理统计考试试卷与答案 .pdf

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1、0506 一.填空题（每空题2 分，共计 60 分）1、 A、 B 是两个随机事件， 已知0.3)B(p,5.0)(,4 .0)A(pABP， 则)BA(p0.6 , )B-A(p0.1 ，)(BAP= 0.4 , )BA(p0.6。2、一个袋子中有大小相同的红球6 只、黑球 4 只。 （1）从中不放回地任取2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3 。 （2）若有放回地任取2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25 。 （3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55 。3、设随机变量 X 服从

2、 B（2，0.5）的二项分布，则1Xp0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y 服从 B(100,0.5)， E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。4、甲、乙两个工厂生产同一种零件， 设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。（1）抽到次品的概率为：0.12 。（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 5、设 二 维 随机 向 量),(YX的 分布 律 如右 ， 则a0.1, )(XE0.4，YX与的协方差为 : - 0.2 ，2YXZ的分布律

3、为 : 6、若随机变量X)4,2(N且8413.0) 1(，9772.0)2(,则42XP0.815 ，(, 12NYXY则5 ， 16 ） 。XY0 1 -1 1 0.2 0.3 0.4 az1 2 概率0.6 0.4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页7、随机变量 X、Y 的数学期望 E(X)= -1，E(Y)=2, 方差 D(X)=1 ，D(Y)=2, 且X、Y 相互独立，则：)2(YXE- 4 ，)2(YXD6 。8、设2),(125YXCovYDXD，）（，）（，则）（YXD30 9、设261,XX是总体

4、)16, 8(N的容量为 26 的样本，X为样本均值，2S为样本方差。则：XN（8 ，8/13 ） ，16252S)25(2，52/8sX)25( t。10、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是：” 弃真” ,即 H0为真时拒绝 H0,第二类错误是：“取伪”错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之996.24)15(205. 0 2算得:996.246.2110121510)1(22222sn 1不在拒绝域内 , 故接受0H, 认为读数的标准差不显著超过10 克. 1八、 （6 分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以

5、上， 现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100 件，经检验发现有84 件为一级品 ,试以 5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知645.105.0Z，提示用中心极限定理）解 总体X服从p为参数的0-1 分布，9.0:, 9.0:0100ppHppH21001,., XX为总体X的样本，在0H成立条件下，选择统计量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页npppXZ)1(000，由中心极限定理，z近似服从标准正态分布，则拒绝域为05.0zz经计算该体05.02zz，即得Z

6、在拒绝域内 , 故拒绝0H，认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求XX 大学（本科）试卷（B 卷）2006-2007 学年第二学期1、A、B 是两个随机事件，已知0.125P(AB)0.5,)B(p,52.0)A(p，则)B-A(p0.125 ;)BA(p0.875 ;)BA(p0.5 .2、袋子中有大小相同的5 只白球，4 只红球， 3 只黑球， 在其中任取 4 只(1)4 只中恰有 2 只白球 1 只红球 1 只黑球的概率为：412131425CCCC. (2) 4 只中至少有 2 只白球的概率为：4124814381CCCC. (3) 4 只中没有白球的概率为：4124

7、7CC3、设随机变量 X 服从泊松分布65),(XPXp，则XE6 . 4、设随机变量 X 服从 B（2，0. 6）的二项分布 ,则2Xp0.36 , Y 服从 B（8，0. 6）的二项分布 , 且 X 与 Y 相互独立，则 1YXP= 1-0.410，)(YXE6 。5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布 N（70，16） ，则该学校学生的及格率为0.9938 ，成绩超过 74 分的学生占比74 XP为0.1587 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页其中标准正态分布函数值9938.0)5.2(,9772

8、.0)2(,8413.0) 1(. 6、有甲乙两台设备生产相同的产品，甲生产的产品占60%，次品率为10%；乙生产的产品占40%，次品率为 20%。(1) 若随机地从这批产品中抽出一件,抽到次品的概率为0.14 ； （2）若随机地从这批产品中抽出一件，检验出为次品，则该产品是甲设备生产的概率是3/7 .7、设101,., XX及151,.,YY分别是总体)6 ,20(N的容量为 10，15 的两个独立样本，YX ,分别为样本均值，2221,SS分别为样本方差。则：XN(20,3/5) ，YXN(0,1) ，1YXp= 0.3174 ，2321S)9(2，2221SSF(9,14) 。此题中84

9、13.0) 1(。此题中9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0) 1(8、设321,.XXX是总体 X 的样本，下列的)(XE统计量中，C 最有效。A. 321XXXB. 312XXC. )(31321XXX9. 设某商店一天的客流量X 是随机变量 ,服从泊松分布)(,71,., XX为总体 X 的样本，)(XE的矩估计量为 X ，15,16,18,14,16,17,16为样本观测值，则)(XE的矩估计值为16 10、 在假设检验中，往往发生两类错误， 第一类错误是指H0成立的条件下拒绝H0的错误 ,第二类错误是指H1成立的条件下拒绝H1的错误,显著水平是指控制第一类错误的概率小

10、于. 二、 （6 分）已知随机变量 X 的密度函数其它,00,1)(2xxaxf求： （1）常数a， （2）)31(Xp（3）X 的分布函数 F（X） 。解:(1)由2, 1)(adxxf得2(2) )31(Xp=3130232112)(dxxdxxf2(3)xxxF0arctanx 200)(2第2 页共5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页三、 （6 分）设随机变量 X，Y 的概率密度分别为：)(xfX其它,0, 20,2xx)(yfY其它,0, 10,2yy，且随机变量 X，Y 相互独立。（1）求（ X，

11、Y）的联合概率密度为：),(yxf（2）计算概率值2XYp。解:(1)X，Y 相互独立，可见（ X，Y）的联合概率密度为）（）（），（yfxfyxfYX, 其它,010,20,),(yxxyyxf2（2）101222),()(xxyxydydxdxdyYxfXYP=613四、 （8 分） 从总体 X ),(2uN中抽取容量为 25 的一个样本，样本均值和样本方差分别是9,802SX，42.36)24(,85.13)24(,71.1)24(205. 0295.005. 0 xxt分别求 u、2的置信度为 0.95的单侧置信下限。解: (1)n=25,置信水平05.0,95.01,71.1)24(

12、05.0t9,802SX由此 u 的置信水平为 0.95 的单侧置信下限为 : 974.7871.125380, 4(2) n=25,置信水平05.0,95.01,42.36)24(205. 0 x92S由此2的置信水平为 0.95 的单侧置信下限为 : )24(924205. 05.93 4五、 （8 分）设总体 X 服从uuN,),(22已知未知。nXX,1是 X 的一个样本，求u的极大似然估计量，并证明它为u的无偏估计。解: 样本nXX ,.,1的似然函数为 : )(21exp)2(),.,(122/1nkinnuxuxxL2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

13、 - - - - - - -第 15 页，共 20 页而)(21)2ln(2/),.,(ln121nkinuxnuxxL1令: 0)(),.,(ln11nkinuxduuxxLd, 1解得 :inkxnu11?u的最大似然估量inkXnu11?2uXnEuEknk)1()?(1, 它为u的无偏估计量 . 2. 六、（8 分）一工厂生产化学制品的日产量(以吨计 )近似服从正态分布 ,当设备正常时一天产800吨, 现测得最近 5 天的产量分别为 :785,805,790,790 ， 802， 问是否可以认为日产量显著不为800吨。 （取05. 0） ，此题中7764.2)4(025. 0t。解:

14、按题意日产量X22,),(uuN未知,现取05. 0检验假设 : 800,800:10uHuH：1用 t 检验,现有，05.05n7764.2)4(025. 0t,拒绝域为 : 7767.25/800sxt, 1算得:6169.8, 4.794sx, 4527.15/800sxt, 2t 值不在拒绝域内 , 故接受0H, 认为日产量没有显著变化 . 1七、 （8 分）设温度计制造厂商的温度计读数近似服从正态分布未知uuN,),(22,现他声称他的温度计读数的标准差为不超过0.5, 现检验了一组 16 只温度计 ,得标准 0。7 度，试检验制造商的言是否正确（取05.0） ，此题中996.24)

15、15(205.0。解 : 按题意温度计读数X22,),(uuN未知,现取05.0检验假设 : 5.0,5 .0:10：HH1用2检验,现有，05.05n7764.2)4(025.0t,拒绝域为 : 2225 .0)1(sn996.24)15(205. 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页996.244 .295.07.0155.0)1(22222sn 2在拒绝域内 , 故拒绝0H, 认为温度计读数的标准差为显著超过0.5. 1八、（6 分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，

16、经随机抽取 100件，经检验发现有 84 件为一级品 ,试以 5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知645.105.0Z，提示用中心极限定理）解 总体X服从p为参数的0-1 分布，9 .0:, 9 .0:0100ppHppH21001,., XX为总体X的样本，在0H成立条件下，选择统计量npppXZ)1(000，由中心极限定理，z近似服从标准正态分布，则拒绝域为05.0zz经计算该体05.02zz，即得Z 在拒绝域内 , 故拒绝0H，认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求2008-2009 学年第二学期三. 填空题（每空题 3

17、分，共计 60 分）1、A、B 是两个随机事件，已知0.3p(AB)0.5,)B(p, 6.0)A(p，则)BA(p0.8 、)BA(p0.6 ,事件 A,B 的相互独立性为：相互独立。2、一个袋子中有大小相同的红球6 只、黑球 3 只、白球 1 只，(1)从中不放回地任取2 只，则第一、二次取到红球的概率为：1/3 。(2)若有放回地任取2 只，则第一、二次取到红球的概率为：9/25 。(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到红球的概率为：21/55 . 3、设随机变量X 服从参数为 100 的泊松分布，则)(XDXE）（100 ,利用“

18、3” 法则，可以认为 X 的取值大多集中在70 -130 范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页4、设随机变量 X 服从 N（500，1600）的正态分布 ,则580Xp0.0228 , Y 服从N（500， 900）的二项分布 , 且 X 与 Y 相互独立，则YX服从 N （1000，2500）分布;若aaYXp则,05.01082.5 。8413.0)1 (；9772.0)2(,95.0)645.1(5.已知随机变量 X 的密度函数其它,010,2)(xxxf则:（1）)515.0(Xp= 0.75 （2）

19、X 的分布函数 F（x）= xxx0 xxF1,110,0)(2。6、设随机变量 (X,Y) 具有4)(,9)(YDXD，6/1XY， 则)(YXD= 11 ，)43(YXD= 51 。7、两个可靠性为p0 的电子元件独立工作，（1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：2p；（2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：2)1(1p；8、若随机变量 X)3 ,0( U，则21Xp2/3；)(XE_1.5 ，)12( XD3 二、 （6 分）计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1 ，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0

20、.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M ， “程序在 A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件321,NNN。则根据全概率公式有025.004.01.005.03 .001.06.0)|()()(31iiiNMPNPMP，根据 Bayes公式，该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为24.0025.001.06.0)()|()()|(111MPNMPNPMNP，60.0025.005.03 .0)()|()()|(222MPNMPNPMNP，精选学习资料 - - - - - - - - -

21、 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页16.0025.004.01 .0)()|()()|(333MPNMPNPMNP。三 、 （ 6 分 ） 设 随 机 变 量X ， Y的 概 率 密 度 分 别 为 ：)(xfX其它,0,0,xex，)(yfY其它,0, 10,2yy，且随机变量 X，Y 相互独立。（1）求（ X，Y）的联合概率密度为：),(yxf（2）计算概率值XYp2。解:(1) X，Y 相互独立，可见（ X，Y）的联合概率密度为）（）（），（yfxfyxfYX, 其它,010,0,2),(yxyeyxfx31022/1222),()2(yxxyeydxe

22、dydxdyYxfXYP3四、 （8 分）一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从30 车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计）16.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.1 15.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.4 15.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8 设样本来自正态总体),(2N，2,均未知。经计算72.14x，9072.1)(11122niixxns，557.42)2

23、9(,708.17)29(,6991.1)29(205. 0295. 005.0 xxt求（ 1）的置信水平为90%的置信区间； （2）2的置信水平为90%的置信区间。解： （1）的置信水平为90%的置信区间为148.15,292.14428. 072.146991. 13038075.172.14) 1(05. 0ntnsx（2）2的置信水平为90%的置信区间为)42.17,49. 5()29() 1(,)29(1(295.02205.02Snsn）（精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页五、 （10 分）设总体)

24、,(2NX，参数已知，2（20）未知，nxxx,21为一相应的样本值。求2的最大似然估计量。 ，并证明它为2的无偏估计。解: 似然函数为212222)(222)(122121)(niiixnxnieeL，相应的对数似然函数为221222ln22)()(lnnxLnii。令对数似然函数对2的一阶导数为零，得到2的最大似然估计值为niixn122)(1?22122)(1)?(niiXEnE, 它2为的无偏估计量. 六、 (10 分)测得某地区16 个成年男子的体重（以公斤计）为77.18, 80.81, 65.83, 66.28, 71.28, 79.45, 78.54, 62.20 69.01,

25、 77.63, 74.00, 77.18, 61.29, 72.19, 90.35, 59.47 设 样本来自 正 态总体),(2N，2,均未知，试 取05. 0检 验假 设：64.72:,64.72:10HH。（取05. 0） ，此题中1315.2)15(025. 0t解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，检验统计量为nsxt/64.72。代入本题具体数据，得到0134.016/338.864.72668.72t。检验的临界值为1315.2)15(025. 0t。因为1315.20134.0t，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设0H，即认为该地区成年男子的平均体重为72.64 公斤。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页