2022年与二次函数与三角形面积或相似问题 .pdf

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1、1、如图 2，已知二次函数24yaxxc的图像经过点A 和点 B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点 P（m，m）与点 Q 均在该函数图像上（其中m0） ，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求 m 的值及点 Q 到 x 轴的距离解： （1）将 x=- 1，y=- 1；x=3，y=- 9 分别代入cxaxy42得.3439,)1(4)1(122caca解 得.6, 1ca 二 次 函 数 的 表 达 式 为642xxy（2）对称轴为2x；顶点坐标为（2，- 10） （3）将（ m，m）代入642xxy，得642mmm，解得121,6mm m 0，11m不合题意

2、，舍去 m=6 点 P 与点 Q 关于对称轴2x对称，点 Q 到 x 轴的距离为62、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B（4，0） 、C（8， 0） 、D（ 8，8）. 抛物线 y=ax2+bx 过 A、C两点 . (1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 动点 P从点 A出发沿线段AB向终点 B运动，同时点Q从点 C 出发，沿线段CD向终点 D 运动速度均为每秒1 个单位长度，运动时间为t 秒. 过点 P作 PE AB交 AC于点 E. 过点 E作 EFAD于点 F， 交抛物线于点G.当 t 为何值时，线段 EG最长 ? 连接 EQ 在点 P、Q运动的过

3、程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t 值 . 解： (1) 点 A的坐标为（ 4，8）1 分将 A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得0=64a+8b解 得 a=-12,b=4 抛物线的解析式为：y=-12x2+4x 3 分x y O 3 9 1 1 A B 图 2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - （2）在 Rt APE和

4、RtABC中， tan PAE=PEAP=BCAB, 即PEAP=48PE=12AP=12t PB=8-t 点的坐标为（4+12t ，8-t ） . 点 G的纵坐标为： -12（ 4+12t ）2+4(4+12t ）=-18t2+8. 5 分 EG=-18t2+8-(8-t) =-18t2+t. -180，当 t=4 时，线段EG最长为 2. 7 分共有三个时刻. 8 分t1=163， t2=4013， t3= 8 52511 分3，已知二次函数解析式为y=2x-2x-3, 与 x 轴交于 A 、B两点，与y 轴交于 C点。问：是否存在直线y=kx+b 交抛物线于P、Q两点，使 y 轴平分 C

5、PQ 的面积，若存在，求出k、b 满足的条件。若不存在，说明理由。答：存在k=-2 ， b-3 使 y 轴平分 CPQ 的面积。解：过 P作 PM y 轴于 M ，QN y 轴于 N y 轴平分 CPQ的面积PECS=QECSPM=QN -px=Qx联立 bkxyxxy3222x- （2+k）x-3-b=0 px+Qx=2+k=0 k=-2 又pxQx=-3-b 0 b-3 反思：这类题其实根据所给出的几何特性：y 轴平分 CPQ 面积，将等分面积的问题转化为线段相等的问题， 即 P、Q到 y 轴的距离相等， 再将线段相等转化为点的坐标关系，即：-px=Qx建立方程，得出本题的解，完成了从形到

6、数的转化。,4、已知二次函数22aaxxy。42-2-4-8510ONMEQPBCAAX Y 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - （1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点。（2）设 a0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。（3）若此二次函数图象与x 轴交于 A、B 两点，在函数图象上是否存在点P，使得PAB 的面积为2133，若存在求出P点坐

7、标，若不存在请说明理由。解（ 1）因为 =04)2()2(422aaa所以不论a为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点。（2 分）（2） 设 x1、 x2 是022aaxxy的两个根， 则axx21，221axx，因两交点的距离是13，所以13)(|22121xxxx。（4 分）即：13)(221xx变形为：134)(21221xxxx（5 分）所以：13)2(4)(2aa整理得：0)1)(5(aa解方程得：15或a又因为： a Py=4，即 P 点纵坐标为 4 = x2-2x-3=4, 或者 x2-2x-3=-4 当 x2-2x-3=4时， x=1+2 2 或者 x=1- 22当 x2-2

8、x-3=-4 时， x=1 P 点坐标为 (1+22 ，4)或(1-22 ，4)或(1， -4) （3）由前面的计算可以得到，C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=1 令 Q 点坐标为Q(1，y) 那么， QAC 的周长 =QA+QC+ AC=(y+4)+ 1+(y+3)+ 10可以看出，要使得QAC 的周长最小，即只要保证( y+4)+ 1+(y+3) 最小即可令 f(y)=(y+4)+ 1+(y+3),在 f(y)=0 得到 y=-2,此时 f(y) 有最小值，也即是 QAC 的周长有最小值。此时， Q 点坐标为 Q(1,-2) 图 8 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

9、- - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 5、如图 5，已知抛物线cxbxay2的顶点坐标为E （1,0 ） ， 与y轴的交点坐标为 （ 0,1 ）. （1）求该抛物线的函数关系式. （2）A、B是 x 轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4 ， A在 B的左边，过A作 AD x 轴交抛物线于D，过 B作 BC x 轴交抛物线于C. 设 A点的坐标为（t,0 ） ，四边形ABCD的面积为S. 求 S与t之间的函数关系式. 求四边形ABCD 的最小面积，

10、此时四边形ABCD 是什么四边形？ 当四边形ABCD 面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得 PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时PAE的周长；若不存在，说明理由.5、 （1）抛物线cxbxay2顶点为 F（1,0 ）2)1(xay（ 1 分） 该抛线经过点E（0,1 ）2) 10(1a1a2) 1(xy，即所求抛物线的函数关系式为122xxy. （2） A 点的坐标为（t,0 ）, AB=4 ，且点 C、D在抛物线上， B、C、D点的坐标分别为(t+4,0) ，(t+4, (t+3)2)， (t,(t-1)2). 20844)3() 1(21)(21222ttttAB

11、BCADS. 16)1(4208422tttS. 当t=-1 时，四边形ABCD的最小面积为16，此时 AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD 是正方形 . 当四边形ABCD 的面积最小时，四边形ABCD 是正方形，xyD 图 5 E B A C O 1 xyE O 1 备用图xyE O 1 D B A C P 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 其对角线BD上存在点P, 使得 PAE的周长

12、最小 . AE=4 （定值），要使 PAE的周长最小，只需PA+PE最小 . 此时四边形ABCD 是正方形，点A与点 C关于 BD所在直线对称, 由几何知识可知，P是直线 CE与正方形ABCD 对角线 BD的交点 .点 E、B、 C、D的坐标分别为（1,0 ） （3,0 ） （3,4 ） （ -1,4 ）直线 BD ， EC的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2. P(35,34) 在 RtCEB中， CE=524222, PAE的最小周长 =AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+ 52. 已知抛物线2yxbxc交x轴于 A(1,0) 、B(3,0) 两点，交y轴于点

13、C，其顶点为D（ 1）求 b、c 的值并写出抛物线的对称轴；（ 2）连接 BC，过点 O 作直线 OE BC 交抛物线的对称轴于点E求证：四边形ODBE 是等腰梯形；（ 3） 抛物线上是否存在点Q， 使得 OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的31？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【关键词】 抛物线关系式及图形的 存在性问题【答案】（1）求出：4b，3c，抛物线的对称轴为：x=2 3 分(2) 抛物线的解析式为342xxy，易得 C 点坐标为 （0，3） ，D 点坐标为 （ 2，-1）设抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 F，易得 F 点坐标为（ 2，0） ，连接 OD，DB

14、，BE OBC 是等腰直角三角形，DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（ 2，2） ， BOE= OBD=45OEBD 四边形ODBE 是梯形 5 分在ODFRt和EBFRt中，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - OD=5122222DFOF，BE=5122222FBEFOD= BE 四边形ODBE 是等腰梯形7 分(3) 存在，8分由题意得：29332121DEOBSODBE四边形9 分设

15、点 Q 坐标为（ x，y） ，由题意得：yyOBSOBQ2321三角形=23293131ODBES四边形1y当 y=1 时，即1342xx，221x，222x， Q 点坐标为（ 2+2，1）或 (2-2，1) 11 分当 y=-1 时，即1342xx，x=2，Q 点坐标为（ 2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+2，1） ，Q2(2-2，1) ， Q3（2，-1）使得OBQS三角形=ODBES四边形3112 分如图 9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C 三点的坐标分别为A（ 2， 0） ，B（6，0） ，C（0，3） . (1) 求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；(2) 过点

16、作 CD 平行于x轴交抛物线于点D，写出 D 点的坐标，并求AD、BC 的交点E 的坐标；(3) 若抛物线的顶点为，连结C、D，判断四边形CEDP 的形状，并说明理由.E F Q1Q3Q2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 【关键词】二次函数、一次函数、菱形的判定【答案】 由于抛物线经过点)3 ,0(C，可设抛物线的解析式为)0(32abxaxy，则036360324baba，解得141ba抛物

17、线的解析式为3412xxyD的坐标为)3 ,4(D直线AD的解析式为121xy直线BC的解析式为321xy由321121xyxy求得交点E的坐标为)2 ,2(连结PE交CD于F，P的坐标为)4,2(又E)2, 2(，)3, 4(),3, 0(DC,1EFPF2FDCF，且PECD四边形CEDP是菱形PACDEBoxy1119图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 如图，已知抛物线与x交于 A( 1

18、，0) 、E(3，0) 两点，与y轴交于点B(0，3) 。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）AOB与 DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。27. （本题满分12 分）解： （1）(5 ) 抛物线与y轴交于点（ 0，3） ，设抛物线解析式为)0(32abxaxy(1 ) 根据题意，得033903baba，解得21ba抛物线的解析式为322xxy(5 ) (2)(5 ) 由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）（2 ) 设对称轴与x 轴的交点为F 四边形ABDE 的面积 =ABODFEBOFDSSS梯形=111()222AO BOB

19、ODFOFEF DF=1111 3(34)124222=9 （5）（3）(2 ) 相似如图， BD=2222112BGDG； BE=2222333 2BOOEDE=2222242 5DFEF2220BDBE, 220DE即：222BDBEDE, 所以BDE是直角三角形90AOBDBE, 且22AOBOBDBE, 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - AOBDBE (2) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -