最新同济版线性代数课件--1向量的内积、长度及正交性ppt课件.ppt

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1、同济版线性代数课件同济版线性代数课件-1向向量的内积、长度及正交性量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量 121,11121 正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.3 321 , 向量空间的正交基向量空间的正交基., 212121的的正正交交基基向向量量空空间间是是则则称称组组是是两两两两正正交交的的非非零零向向量量且且的的一一个个基

2、基是是向向量量空空间间若若VVrrr 即即 02,0,3213232131xxxxxx 解之得解之得. 0,231 xxx则有则有若令若令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.321 ,则有则有0,3231 解解 ., 0, 213213正正交交且且分分别别与与设设 Txxx 规范正交基规范正交基. ,)( , 212121 的的一一个个规规范范正正交交基基是是则则称称向向量量两两两两正正交交且且都都是是单单位位如如果果的的一一个个基基是是向向量量空空间间维维向向量量设设VeeeeeeRVVeeenrrnr .212100,21

3、2100,002121,0021214321 eeee例如例如定义定义3.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1,. 4 , 3 , 2 , 1, 0,jijieejijieejiji且且且且由由于于.,44321的的一一个个规规范范正正交交基基为为所所以以Reeee.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知.4的一个规范正交基的一个规范正交基也为也为R 求规范正交基的方法求规范正交基的方法称称为为这这样样一一个个问问题题价价等等与与使使位位向向量量的的单单就就是是要要找找一一组组两两两两正正交交的

4、的一一个个规规范范正正交交基基要要求求的的一一个个基基是是向向量量空空间间设设,21212121rrrreeeeeeVV ., 21范范正正交交化化这这个个基基规规把把r 下面介绍下面介绍施密特正交化施密特正交化方法（方法（Gram-Schmidt orthogonalizations method ）111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等等价价与与且且两两两两正正交交那那么么rrraabbbb(2) 单位化单位化 , 取取,222111rrrbbebbebbe .,21的一个规范正交基的一个规范正交基为为那么那么Veeer22232111

5、3133,bbbabbbbabab ,1112122bbbabab (1) 正交化正交化 , 取取 ，11ab ,21的一个基的一个基为向量空间为向量空间若若Vaaar例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 称为称为的过程的过程向量组向量组构造出正交构

6、造出正交上述由线性无关向量组上述由线性无关向量组rrbbaa施密特正交化过程施密特正交化过程222321113133,bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再单位化单位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe例例.,014,131,121 321量量规规范范正正交交化化特特正正交交化化过过程程

7、把把这这组组向向试试用用施施密密设设 aaa解解;11ab 取取bbbaab1212221, 12164131;11135 bbbabbbaab222312133321, 1113512131014.1012 再把它们单位化，取再把它们单位化，取bbe111 ,12161 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即即为为所所求求eee .,1 , 1 , 14 321321两两正交两两正交使使求非零向量求非零向量已知已知例例 T 解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即应满足方程应满足方程.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为把基础解系正交化

8、，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于于是是得得其其中中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a定义定义4 4 . , 1正正交交矩矩阵阵为为称称则则即即满满足足阶阶方方阵阵若若AAAEAAAnTT 定理定理 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交AA定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换Pxy P性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变.(.(还有还有P118)P118)证明证明,为为正正交交变变换换设设Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 则则有有解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵 ,1213121121312111 .9794949491989498912 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 100010001由于由于 979494949198949891225 结束语结束语