东北师大附属中学高三第一轮复习导学案导数的概念及运算A 2.pdf
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1、导数的概念与运算 (教案)A 一、知识梳理: (阅读选修教材2-2 第 2 页第 21 页)1、 导数及有关概念:函数的平均变化率:1.设函数)(xfy在0 xx处附近有定义,当自变量在0 xx处有增量x时,则函数( )yf x相应地有增量)()(00 xfxxfy,如果0 x时,y与x的比xy(也叫函数的平均变化率)有极限即xy无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0 xx处的导数,记作0 xxy,即0000()()()limxf xxf xfxx在定义式中, 设xxx0,则0 xxx,当x趋近于0时,x趋近于0 x,因此,导数的定义式可写成000000()()( )()(
2、)limlimxoxxf xxf xf xf xfxxxx. 2.导数的物理意义和几何意义:导数0000()()()limxf xxf xfxx是函数)(xfy在点0 x的处瞬时变化率,它反映的函数)(xfy在点0 x处变化的快慢程度 . 它的几何意义是曲线)(xfy上点()(,00 xfx)处的切线的斜率. 因此,如果)(xfy在 点0 x可 导 , 则 曲 线)(xfy在 点 ()(,00 xfx) 处 的 切 线 方 程 为000()()()yf xfxxx3.导函数 ( 导数 ):如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数,此时对于每一个),(bax,都对应着一个确定的导数
3、( )fx,从而构成了一个新的函数( )fx, 称这个函数( )fx为函数)(xfy在开区间内的导函数,简称导数,也可记作y,即名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - ( )fxyxxfxxfxyxx)()(limlim00说明 : 导数与导函数都称为导数, 这要加以区分, 求一个函数的导数, 就是求导函数 , 求一个函数在给定点处的导数, 就是求导函数值.函 数)(xfy在0 x处 的 导 数0 x
4、xy就 是 函 数)(xfy在 开 区 间),(ba),(bax上导数( )fx在0 x处的函数值,即0 xxy0()fx. 所以函数)(xfy在0 x处的导数也记作0()fx4.可导 :如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数,则称函数)(xfy在开区间),(ba内可导5.可导与连续的关系:如果函数)(xfy在点0 x处可导,那么函数)(xfy在点0 x处连续, 反之不成立 . 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件. 6.求函数( )yf x的导数的一般步骤:1求函数的改变量)()(xfxxfy2求平均变化率xxfxxfxy)()(;3取极限,得导数y( )f
5、xxyx0lim7.几种常见函数的导数:0C(C为常数 ) ;1)(nnnxx(Qn) ;xxcos)(sin;xxsin)(cos;1(ln ) xx;名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 1(log)logaaxex,()xxee;()lnxxaaa8.求导法则 :法则1 ( )( )( )( )u xv xu xv x法则2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v x
6、u x v x, ( )( )Cu xCu x法则3:2(0)uu vuvvvv9.复合函数的导数:(理科)设函数( )ux在点x处有导数( )xux,函数( )yf u在点x的对应点u处有导数uyfu,则复合函数( ( )yfx在点x处也有导数,且xuxuyy或( ( )( )( )xfxfux10.复合函数的求导法则: (理科) 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数11.复合函数求导的基本步骤是:分解求导相乘回代12.导数的几何意义:是曲线)(xfy在点()(,00 xfx)处的切线的斜率,即0()kfx,要注意 “过点A的曲线的切线方程”与“在
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