2022年三角函数专题总复习知识点总结与经典例题讲解-高三数学 .pdf

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1、三角函数专题复习讲义1、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度；三角函数线：如右图，有向线段AT与 MP 、 OM 分别叫做的正切线、正弦线、余弦线。角度制与弧度制的互化：,23600,18001rad18057.30=5718 11800.01745 （rad）003000456009000120013501501800270036000 64323243652322、特殊角的三角函数值：sin00= 0 cos00= 1 tan00= 0 sin300=21cos300=23tan300=33sin045=22cos045=22tan045=1 sin600=23cos600=

2、21tan600=3sin900=1 cos900=0 tan900无 意 义任意角的概念弧长与扇形面积公式角 度 制 与弧度制同角三函数的基本关系任 意 角 的三角函数诱导公式三角函数的图象和性质计算与化简证明恒等式已知三角函数值求角和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用yxMPTAO名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 3、弧长及扇形面积公式弧长公式：rl.扇形面积公式 :S=rl

3、.21- 是圆心角且为弧度制。 r-是扇形半径4、任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y ）, r=22yx(1) 正弦 sin=ry余弦 cos=rx正切 tan=xy(2) 各象限的符号：sin cos tan5. 同角三角函数的基本关系：（1）平方关系： sin2+ cos2=1。（2）商数关系：cossin=tan（zkk ,2）6. 诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。1 sin 2sink， cos 2cosk， tan 2tankk2 sinsin，coscos， tantan3 sinsin， coscos， tantan

4、4 sinsin， coscos， tantan5 sincos2，cossin26 sincos2，cossin2x y +cossin2O + x y O + + + y O + + 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 : R R 2,|kxRxx值域 : -1,1 -1,1 R 周期 : 2 2奇

5、偶性 : 奇函数偶函数奇函数单调区间 : 增区间 ;kk22,22; kk2 ,2; kk2,2减区间kk223,22; kk2,2无减区间对称轴 :2kxkx无对称轴对称中心 : 0 ,k0,2k0,2k（以上 k 均为整数）考点一 : 求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换及三角函数的基础知识。例 1、已知函数 f(x)=)xcosx(sinlog21求它的定义域和值域；求它的单调区间；判断它的奇偶性；判断它的周期性。解 ： （ 1） x 必 须 满 足 sinx-cosx0， 利 用

6、 单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 及45k2x4k2，kZ 函数定义域为)45k2,4k2(，kZ )4xsin(2xcosxsin 当 x)45k2,4k2(时，1)4xsin(02cosxsin0212logy21 函数值域为 ,21 （3） f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 f(x)不具备奇偶性（4） f(x+2 )=f(x) 函数 f(x) 最小正周期为 2注；利用单位圆中的三角函数线可区分sinx-cosx的符号。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -

7、 - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 例 2、化 简),)(23sin(32)2316cos()2316cos()(ZkRxxxkxkxf并求函数)(xf的值域和最小正周期 . 解：)23sin(32)232cos()232cos()(xxkxkxf)23sin(32)23cos(2xxx2cos4所以函数 f ( x)的值域为4,4，最小正周期2T8、三角函数公式：降幂公式：升幂公式：1+cos=2cos22 cos222cos11-cos=2sin22 sin222cos1合一变形公式 asin bcos22basin（） 22bacos （）

8、14、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：1、常数代换法：如：2222tanseccottancossin12、配角方法：3、)()(2224、sincossin22baba（其中abtan） 的应用，注意的符号与象限。5、常见三角不等式：（1） 、若xxxxtansin.2,0则两角和与差的三角函数关系sin()=sin coscos sincos()=cos cossin sintantan1tantan)tan(倍角公式sin2=2sin coscos2 =cos2-sin2=2cos2-1 =1-2sin22tan1tan22tan名师归纳总结 精品学习资料 - - - -

9、 - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - （2） 、若2cossin1.2,0 xxx则（3） 、1c o ss i nxx例 3、 （1）已知 cos(2 +)+5cos=0，求 tan( +) tan 的值；（2）已知5cos3sincossin2，求2sin42cos3的值。解：从变换角的差异着手。 2 +=(+)+，=(+)- 8cos( +)+5cos( +)- =0 展开得： 13cos( +)cos -3sin( +)sin =0

10、 同除以 cos( +)cos 得：tan( +)tan =313以三角函数结构特点出发3tan1tan2cos3sincossin253tan1tan2 tan =2 57tan1tan8tan33cossincossin8)sin(cos32sin42cos3222222例 4 求函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值解： 2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=2cos2x1y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x =1+sin2x+22cos2x1 =sin2x+

11、cos2x+2 =2(sin2x cos4+cos2xsin4)+2=2 sin(2x+4)+2 当 2x+4=2+2k时,ymax=2+2即 x=8+K(KZ)，y 的最大值为 2+2注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。9正弦定理：2sinsinsinabcRABC. 变形公式有：（1）CRcBRbARasin2,sin2,sin2； （2）RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin；（3）sinsinsin:ABCa b c等余弦定理：2222cosabcbcA; 2222cosbcacaB; 2222coscababC. 名师归纳总结 精品学习资料 - - -

12、- - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 三角形面积定理：111sinsinsin222SabCbcAcaB. 10、利用正弦定理、 余弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下四类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角从而进一步求其它的边和角，（3）已知三边求三内角；（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。11、解斜三角形的应用题的解题步骤：（1）分析属于哪种类型的问

13、题（如：测量距离、高度、角度等）；（2）依题意画出示意图，并把已知量标在示意图中；（3）最后确定用哪个定理转化、哪个定理求解，并进行求解；（4）检验并作答 . 12、函数sin()yAx的图像和性质：作图时常用两种方法：五点法：图象变换法：(1)sin()sin()sinsin()(2)sin()yxyxyxyAxyxysixx13、结合函数BxAy)sin(），（其中00A的简图可知：该函数的最大值是BA， 最小值是AB， 周期是2T， 频率是2f， 相位是x，初相是；例 4、设函数f(x)=2)0(sinsincos2cossin2xxx在x处取最小值 . (1)求的值 ; (2)在ABC

14、中,cba,分别是角A,B,C 的对边 , 已知,2, 1 ba23)(Af, 求角 C. 解: （1）1cos( )2sincossinsin2f xxxxsinsincoscossinsinxxxxsincoscos sinxxsin()x因为函数f(x)在x处取最小值，所以sin()1, 由诱导公式知sin1, 因为xx0 2232)sin(xAy0 A 0 -A 0 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - -

15、 - - - 0,所以2. 所以( )sin()cos2f xxx（2）因为23)(Af, 所以3cos2A, 因为角A 为ABC 的内角 , 所以6A. 又因为,2, 1 ba所 以 由 正 弦 定 理 , 得sin12sin222bABa, 因 为ba, 所 以4B或43B. 所以当4B时 ,76412C; 当43B时,36412C. 考 点 三 : 关 于 三 角函 数 的 图 象 , 立 足 于 正 弦 余 弦 的 图 象 ， 重 点 是 函 数的图象与 y=sinx 的图象关系。根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性例 7（05 年福建）函数)20 ,0,)(sin(Rxx

16、y的部分图象如图，则（ C ）A4,2 B 6,3C4,4D45,4例 8、 （05 年全国卷 17）设函数)(),0()2sin()(xfyxxf图像的一条对称轴是直线8x。 （）求； （）求函数)(xfy的单调增区间； （）画出函数)(xfy在区间,0上的图像。 （本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12 分. ）解： （）)(8xfyx是函数的图像的对称轴，, 1)82sin(.,24Zkk.43,0（）由（）知).432sin(,43xy因此由题意得.,2243222Zkkxk所以函数.,85,8)432sin(Zkkkxy的单调增区间为（）由知)432

17、sin(xyx 0 8838587名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - y 221 0 1 0 22故函数上图像是在区间,0)(xfy ( 略) 考点四，三角函数与其它知识交汇设计试题，是突出能力、试题出新的标志，近年来多出现于三角函数与向量等知识交汇。例9（05年江西）已知向量baxfxxbxxa)(),42tan(),42sin(2(),42tan(,2cos2(令. 求函数 f ( x)的最大

18、值，最小正周期，并写出f (x) 在0 ， 上的单调区间 . 解：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(xxxxbaxf21tantan122222 2cos(sincos )222221tan1tan222sincos2cos1222xxxxxxxxxxxxcossin=)4sin(2x. 所以2)(的最大值为xf，最小正周期为,24,0)(在xf上单调增加，,4 2上单调减少 . 例 10、 （05 年山东卷）已知向量528),2,(),cos,sin2()sin,(cosnmnm且和，求)82cos(的值. 解：)sincos,2sin(cosnm22)sin(cos

19、)2sin(cosnm)sin(cos224)4cos(44)4cos(12由已知528nm，得257)4cos(又1)82(cos2)4cos(2所以2516)82(cos2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 0)82cos(898285,254)82cos(热点预测 1、下列函数中，既是（ 0，2）上的增函数，又是以 为周期的偶函数是A、y=lgx2 B、y=|sinx| C、y=cosx D

20、、y=x2sin22、如果函数 y=sin2x+acos2x 图象关于直线 x=-8对称，则 a 值为A、-2B、-1 C、1 D 、2 3、函数 y=Asin( x+)（A0，0） ，在一个周期内，当x=8时，ymax=2；当 x=85时，ymin=-2，则此函数解析式为A、)42xsin(2y B、)4x2sin(2yC、)4xsin(2y D、)8x2sin(2y4、已知 tan ，tan 是方程04x33x2两根，且 ，)2,2(，则+等于A、32B、32或3C、3或32D、35、函数 f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是A、5.5 B、6.5 C 、7

21、D、8 6. 方程 sinx=lgx的实根个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D) 以上都错 (考查三角函数与对数函数的图像) 7. 在ABC中，(1) 已知 tanA=125 sinB=54，则 C 有且只有一解， (2)已知 tanA=512,sinB=53, 则C有且只有一解，其中正确的是( ) (A) 只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2) 都正确(D)(1) 与(2) 均不正确( 考查综合有关公式，灵活处理三角形中的计算) 8、 （2006 年辽宁卷）ABC的三内角,A B C所对边的长分别为, ,a b c设向量(, )pac b ,(,)qba ca ,

22、若/pq, 则角C的大小为(A)6 (B)3 (C) 2 (D) 23名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 9、 （2006 年辽宁卷）设(0,0)O,(1,0)A,(0,1)B, 点 P 是线段 AB 上的一个动点, APAB, 若OP ABPA PB, 则实数的取值范围是(A)112(B) 2112 (C) 12122(D) 22112210、( 2006年湖南卷）已知|2|0ab, 且关于 x

23、的方程2|0 xa xa b有实根, 则a与b 的夹角的取值范围是 ( ) A.0,6 B.,3 C.2,33 D.,611、函数f(x)=sin(x+ )+3cos(x- ) 的图象关于y 轴对称，则=_ 。12、数 y=2sinxcosx-3(cos2x-sin2x) 的最大值与最小值的积为_。13、知(x-1)2+(y-1)2=1，则 x+y 的最大值为 _。（一）解答题 14 、是否存在实数a，使得函数 y=sin2x+acosx+23a85在闭区间 0 ，2 上的最大值是 1？若存在，求出对应的a 值。15、已知 f(x)=5sinxcosx-35cos2x+325（xR ）（1）求

24、 f(x) 的最小正周期； 求 f(x) 单调区间；求 f(x) 图象的对称轴， 对称中心。16、函 数 y=cosx-1(0 x 2) 的图像 与 x 轴 所围 成图 形 的面积是_。(考查三角函数图形的对称变换) 17、设三角函数 f(x)=sin(5kx+3) ，其中 k0 (1) 写出 f(x) 的极大值 M ，极小值 m ，最小正周期 T。(2) 试求最小的正整数 k， 使得当自变量 x 在任意两个整数间 (包括整数本身 )变化时，函数 f(x) 至少有一个值是 M与一个值 m ，(考查三角函数的最值、 周期，以及分析问题、解决问题的能力) 18、是否存在实数 a，使得函数 y=si

25、n2x+acosx+2385a在闭区间 0 ，2 上的最大值是 1？若存在，求出对应的a 值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 19. （本小题满分 13分）已知 A、B、C是ABC三内角，向量)sin,(cos),3, 1(AAnm且1nm，（1）求角 A；（2）若221sin 23,cossinBBB求tanC 。20、已知xxaxxfcossin34cos42，将xf的图象按向量2,4b

26、平移后，图象关于直线12x对称。 （1） 、求实数 a的值，并求xf取得最大值时的 x 的集合。 （2） 、求xf的单调递增区间。答案与提示 1 、B 2 、B 3 、B 4、A 5、C 6.C 7 B 8、B 9 【解析】(1)(1,),(1)(1,1),(,)APABOPOAOBPBABAPABAPAB2(1, )( 1,1)( ,)(1,1)2410OP ABPA PB解得 : 221122, 因点 P 是线段 AB 上的一个动点 , 所以01, 即满足条件的实数的取值范围是2112, 故选择答案 B. 10、 B 11、6k，kZ 12、-4 13、22 14、23a15、 （1）T=

27、（2）增区间 k -12，k+125 ，减区间 k +1211k,125（3）对称中心（62k，0） ，对称轴1252kx，kZ 16. 2 17. (1)M=1,m=-1，T=k10 (2)k=32 (提示：令T名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 1) 18、23a19、解： （1）1m n1,3cos,sin1AA即3sincos1AA312 sincos122AA, 1sin62A50,6

28、66AA66A3A（2）由题知2212sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2cos0BBBBcos0B2tantan20BBtan2B或tan1B而tan1B使22cossin0BB，舍去tan2BtantanCABtan ABtantan1tantanABAB2312 385 31120、 （1） 、按向量2,4b平移后xaxxfxg2cos322sin224由于xg的图象关于12x对称，有60gg，即aa3332解得1a则262sin422cos22sin32xxxxf， 当3262kx（Zk）时，xf取得最大值2，因此xf取得最大值时x 的集合是：)(3Zkkx（2） 、由226222kxk解得)(3,6Zkkk因此原函数的单调区间是：)(3,6Zkkk名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -