2022年《概率论与数理统计》习题三答案 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载概率论与数理统计习题及答案习题三1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律. 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 3 1 0 131113C222823111C3/ 82220 3 180 0 111122282.盒子里装有3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球，在其中任取4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律 . 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 3 0 0 0 223247C C3

2、C35313247C C2C351 0 11232247C C C6C3521132247C C C12C35313247C C2C352 P(0 黑,2 红,2 白)= 2242271CC /C3512132247C C C6C35223247C C3C350 3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=.,020,20,sinsin其他yxyx求二维随机变量（X，Y）在长方形域36,40yx内的概率 . 【解】 如图 0,(3.2)4 63PXY公式 (,)(,)(0,)(0,)4 34 636FFFFX Y X Y 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

3、 - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载sinsinsinsinsin 0 sinsin0 sin4346362( 31).4题 3 图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=., 0, 0,0,)43(其他yxAyxe求： （1） 常数 A；（2） 随机变量（ X，Y）的分布函数；（3） P0 X1，0 Y2. 【解】 （1） 由-(34 )00( , )d ded d112xyAf x yx

4、 yAx y得A=12（2） 由定义，有( , )( , )d dyxF x yf u vu v(34 )340012ed d(1 e)(1 e)0,0,0,0,yyuvxyu vyx其他(3) 01,02PXY12(34)380001,0212ed d(1 e )(1 e )0.9499.xyPXYx y5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y） =., 0, 42, 20),6(其他yxyxk（ 1） 确定常数k；（ 2） 求 P X1，Y3 ；（ 3） 求 P X1.5 ；（ 4） 求 P X+Y4.【解】 （1） 由性质有名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

5、 - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2402( ,)d d(6)d d81,f x yx ykxyy xk故18R（2）131,3( , )d dP XYf x yy x130213(6)d d88kxyy x(3) 11.51.5( , )d da( , )d dxDP Xf x yx yf x yx y如图1.5402127d(6)d.832xxyy(4) 244( , )d d( , )d dXYDP XYf x yx yf x

6、 yx y如图b240212d(6)d.83xxxyy题 5 图6.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（ 0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为fY（ y）=., 0,0,55其他yye求： （1） X 与 Y 的联合分布密度； （2） PY X. 题 6 图【解】 （1） 因 X 在（ 0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,( )0.20,.Xxfx其他而名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页

7、 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载55e,0,( )0,.yYyfy其他所以( ,),( )()XYf x y X Yfxfy独立5515e25e,00.20,0.20,0,yyxy且其他.(2) 5()( , )d d25ed dyyxDP YXf x yx yx y如图0.20.2-55000-1d25ed( 5e5)d=e0.3679.xyxxyx7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x， y）=., 0, 0,0),1)(1(24其他yxyxee求（ X，Y）的联合分布密度. 【解】(42 )28e,0,0,( , )( , )0,xyxyF x yf

8、 x yx y其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（ x，y）=4.8 (2),01,0,0,.yxxyx其他求边缘概率密度. 【解】( )( ,)dXfxf x yyx204.8 (2)d2.4(2),01,=0,.0,yxyxxx其他()(,) dYfyfx yx12y4.8 (2)d2.4 (34),01,=0,.0,yxxyyyy其他名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀学习

9、资料欢迎下载题 8 图题 9 图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0,0,其他eyxy求边缘概率密度. 【解】( )( ,)dXfxf x yye de ,0,=0,.0,yxxyx其他( )( , )dYfyf x yx0e de,0,=0,.0,yyxxyy其他题 10 图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（ x，y）=., 0, 1,22其他yxycx（1） 试确定常数c；（2） 求边缘概率密度. 【解】 （1）( , )d d( , )d dDf x yx yf x yx y如图2112-14=dd1.21xxcx y yc得214c. (2) ( )

10、( , )dXfxfx yy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载212422121(1),11,d840,0,.xxxxx y y其他( )( ,)dYfyf x yx522217d,01,420,0,.yyx y xyy其他11.设随机变量（ X，Y）的概率密度为f（x，y）=.,0, 10, 1其他xxy求条件概率密度fYX（y x） ，fXY（xy）. 题 11 图【解】

11、( )( ,)dXfxf x yy1d2 ,01,0,.xxyxx其他111d1,10,( )( , )d1d1,01,0,.yYyxyyfyf x yxxyy其他所以|1,|1,( , )(| )2( )0,.Y XXyxf x yfy xxfx其他名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载|1,1,1( ,)1( |),1,( )10,.X YYyxyf x yfx yyxfyy

12、其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为 Y. （ 1） 求 X 与 Y的联合概率分布；（ 2） X 与 Y 是否相互独立？【解】 （1） X 与 Y的联合分布律如下表3 4 5 iP Xx1 3511C103522C103533C106102 0 3511C103522C103103 0 0 2511C10110iP Yy110310610(2) 因6161131,3,101010010P XP YP XY故 X 与 Y 不独立13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为2 5 8 0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.

13、05 0.12 0.03 （1）求关于X 和关于 Y 的边缘分布；（2） X 与 Y 是否相互独立？【解】 （1）X 和 Y的边缘分布如下表2 5 8 P Y=yi0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 iP Xx0.2 0.42 0.38Y X X Y X Y 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载(2) 因20.40.20.

14、8P XP Y0.160.15(2,0.4),P XY故 X 与 Y 不独立14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（ 0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为fY（y）=.,0,0,212/其他yye（1）求 X 和 Y 的联合概率密度；（2） 设含有 a 的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率 . 【解】 （1） 因1,01,( )0,Xxfx其他;21e,1,( )20,yYyfy其他.故/ 21e01,0,( , ),( )( )20,.yXYxyf x y X Yfxfy独立其他题 14 图(2) 方程220aXaY有实根的条件是2(2)40XY故X2

15、 Y，从而方程有实根的概率为：22( , )d dxyP XYf x yx y21/ 2001ded212 (1)(0)0.1445.xyxy15.设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设 X 和 Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（ x）=.,0,1000,10002其他xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载求 Z=X/Y 的概率密度 .

16、【解】 如图 ,Z 的分布函数( )ZXFzP ZzPzY(1) 当 z0 时，( )0ZFz（2） 当 0z0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p（0p1） ，且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量（X，Y）的概率分布 . 【解】 (1) |C(1),0,0,1,2,mmn mnP Ym Xnppmn n. (2) ,|P Xn YmP XnP Ym XnY X 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -

17、 - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载eC(1),0,1,2,.!mmn mnnppnmn nn24.设随机变量X 和 Y 独立，其中X 的概率分布为X7 .03.021，而 Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u). 【解】 设 F（y）是 Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为( )0.3 |10.7 |2G uP XYuP XYu XP XYu X0.3 1|10.7 2 |2P YuXP YuX由于 X 和 Y独立，可见( )0.3 10.7 2G

18、 uP YuP Yu0.3(1)0.7(2).F uF u由此，得U 的概率密度为( )( )0.3(1)0.7(2)g uG uFuFu0.3 (1)0.7(2).f uf u25. 25. 设随机变量X 与 Y 相互独立， 且均服从区间 0,3上的均匀分布，求Pmax X,Y1. 解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有1, 03,( )30,0,3;xf xxx1, 03,( )30,0,3.yf yyy因为 X，Y 相互独立，所以1, 03,03,( , )90,0,0,3,3. xyf x yxyxy推得1max, 19PX Y. 26. 设二维随机变量（X， Y）的概率分布为

19、1 0 1 1 0 1 a0 0.2 0.1 b0.2 0 0.1 c其中 a,b,c 为常数，且X 的数学期望E(X)=0.2,PY0| X0=0.5，记 Z=X+Y.求：X Y 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载（1） a,b,c 的值；（2） Z 的概率分布；（3） PX=Z. 解(1) 由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1 即a+b+c = 0.4. 由()

20、0.2E X，可得0.1ac. 再由0,00.1000.500.5P XYabP YXP Xab, 得0.3ab. 解以上关于a，b，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1abc. (2) Z 的可能取值为2， 1，0，1，2，21,10.2P ZP XY，11,00,1 0.1P ZP XYP XY，01,1 0,01,10.3P ZP XYP XYP XY，1 1,00,10.3P ZP XYP XY，21,1 0.1P ZP XY，即 Z 的概率分布为Z 2 1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) 00.10.20.10.10.20.4P XZP Yb. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -