2022年椭圆与双曲线的必背的经典结论 .pdf

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1、学习必备欢迎下载椭圆与双曲线的必背的经典结论椭圆1.点 P处的切线PT平分 PF1F2在点 P处的 外角 . 2.PT平分 PF1F2在点 P处的外角， 则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 4.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab. 6.椭圆22221xyab (a b 0)

2、 的左右焦点分别为F1， F2，点P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.7.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P、Q两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M 、N两点，则MF NF. 8.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M ，A2P和 A1Q交于点 N ，则 MF NF. 9.AB 是 椭 圆22221xyab的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M),(00yx为AB 的 中 点 ， 则22OMABbkka，即0202yaxbK

3、AB。10.若000(,)P xy在 椭 圆22221xyab内 ， 则 被Po所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是2200002222x xy yxyabab. 11.若000(,)P xy在 椭 圆22221xyab内 ， 则 过Po的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是22002222x xy yxyabab. 双曲线1.点 P处的切线PT平分 PF1F2在点 P处的 内角. 2.PT平分 PF1F2在点 P处的内角， 则焦点在直线PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

4、 -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载3.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 . （内切： P在右支；外切：P在左支）4.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 5.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 6.双曲线22221xyab（ a0,b o）的左右焦点分别为F1，F2，点 P为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F

5、PFSb co. 7.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、 A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M ，A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF. 8.AB 是双曲线22221xyab（a0,b 0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。9.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 10.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程

6、是22002222x xy yxyabab. 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）椭圆1.椭圆22221xyab（ abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2.过椭圆22221xyab (a 0, b 0) 上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC有定向且2020BCb xka y（常数） . 3.若 P 为椭圆22221xyab（a b0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点 , 精选学习资料 - - - - - -

7、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 4.P 为椭圆22221xyab（a b0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为椭圆内一定点，则2112| | 2|aAFPAPFaAF, 当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立. 5.椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC. 6.已知椭圆22221xyab（ab0） ， O为坐标原点， P、 Q为椭圆上两动点， 且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;

8、（ 2） |OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab. 7.已知椭圆22221xyab（ a b0） ,A 、B、是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 8.设 P点是椭圆22221xyab（ a b0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则 (1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FSb. 9.已知椭圆22221xyab（ a b0） 的右准线l与 x 轴相交于点E， 过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B 两点 ,点C在右准线

9、l上，且BCx轴，则直线AC经过线段 EF 的中点 . 10.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 11.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载12.椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比. 13.椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）双曲线1.双曲线22221xyab（a0,

10、b 0）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2.过双曲线22221xyab（a0,b o）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC有定向且2020BCb xka y（常数） . 3.P 为双曲线22221xyab（a0,b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为双曲线内一定点，则21| 2|AFaPAPF, 当且仅当2,A FP三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立. 4.双曲线22221xyab（a 0,b 0）与直线

11、0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 5.已知双曲线22221xyab（ba 0） ，O为坐标原点， P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ. （1）22221111|OPOQab;（2） |OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba. 6.已知双曲线22221xyab（a0,b 0） ,A、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 7.设 P 点是双曲线22221xyab（a0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1

12、)2122|1cosbPFPF.(2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载122cot2PF FSb. 8.设 A、B 是双曲线22221xyab（a0,b 0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co. (2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 9.已知双曲线22221xyab（a0,b 0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点 , 点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段 EF 的中点 . 10.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 11.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 12.双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页