2022年泛函分析试卷 .pdf

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1、泛函分析期末考试试卷（总分100 分）一、选择题（每个 3 分，共 15 分）1、设X是赋范线性空间，Xyx,，T是X到X中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）. A10，yxTyTx B.1，yxTyTxC.10，yxTyTxD.1，yxTyTx2、设X是线性空间，Xyx,，实数x称为x的范数 , 下列哪个条件不是应满足的条件：（）. A. 0等价于0且, 0 xxxB.数复为任意实,xxC. yxyx D. yxxy3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（）. A收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列C基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列4、巴拿赫空间 X的子集空间

2、Y为完备的充要条件是（）.A集 X是开的B.集 Y是开的C.集 X是闭的 D. 集 Y是闭的5、设(1)plp的共轭空间为ql，则有11pq的值为（）. A. 1B.12C. 1D. 12二、填空题（每个3 分，共 15 分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（） 。2、任何赋范线性空间的共轭空间是（） 。3、1l的共轭空间是（） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页4、设 X 按内积空间 成为内积空间，则对于X中任意向量 x,y成立不等式（）当且仅当 x 与 y 线性相关时不等式等号成立。5、设 T为复希尔伯特空间

3、X上有界线性算子， 则 T为自伴算子的充要条件是（） 。三、判断题（每个3 分，共 15 分）1、设 X是线性赋范空间， X中的单位球是列紧集， 则 X必为有限维。( ) 2、 距离空间中的列紧集都是可分的。( ) 3、 若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。( ) 4、 任何一个 Hilbert空间都有正交基。 ( ) 5、设 X 是线性赋范空间， T 是 XX 的有界线性算子，若T 既是单射又是满射，则 T 有逆算子。 ( ) 四、计算题（ 10分）叙述1l空间的定义，并求1l上连续线性泛函全体所成的空间？。五、证明题（第一个5 分，其余 10 分一个，共 45 分）1、若T 为 B

4、anach 空间 X 上的无界闭算子，证明T 的定义域至多只能在X 中稠密。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页2、设0,1C表 示 闭 区 间0,1上 连 续 函 数 全 体，对 任 何, 0 ,1x yC， 令10(,)|( )( ) |,dx yx ty tdt证明( ,)x d成为度量空间。3、证明nR 按范数 | max|iix组成的赋范线性空间X 与nR 按范数1|niix组成的赋范线性空间 Y 共轭。4、设 X 是可分 Banach 空间， M 是 X 中的有界集，证明 M 中每个点列含有一个弱 *收敛子

5、列。5、设 H 是内积空间， M 为 H 的子集， 证明 M 在 H 中的正交补是 H 中的闭线性子空间。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页泛函分析期末考试试卷答案一、选择题1、A 2、D 3、 B 4、D 5、D 二、填空题1、柯西点列 2 、巴拿赫空间 3 、l 4 、|x|y| 5、对于一切 xX,是实数三、判断题1、对 2、对 3、错 4、错 5、错四、计算题答：1121(,),(1,2)iiilxRiLL对于任意12(,)nxLL，12(,)nyLL，定义运算1122(,)nnxyL，12(,)naxaaa

6、L1l按上述加法与数乘运算成为线性空间11iix1l按上述定义的范数构为Banach空间令(0,01,0),1,2nnenLLL，121(,0,0,),nnnniiixxeLL则121(,)nnxlLL能被表示为limnnxx，对任意给定1fl，令(),1,2nnf enL则11( )(lim)lim()lim( )nnnniiiinnniifxfxf xf e. 又因为1ie对于i 有1()iiif efef。由此可得supiif即12(,)nlLL反之，对12(,)nblLL，作1l上泛函( )f x如下：1121( ),(,)niinif xxlLL，显然f是1l上线性泛函，又因为111

7、1( )sup.sup,iiiiiiiiiiiif xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页因此，1( ) ,fl并且有sup.iifb综上1( ).ll五、证明题（ 共 50 分）1、证：反证法。若T为定义在整个空间X上的闭算子，由于X为闭集， 而X为 Banach 空间，由闭图像定理可知，T为X到X的有界闭算子，这与T为无界闭算子矛盾，原命题成立。2、证：由定义，对于,0,1,x yC显然( ,)0,d x y且如果( )( ),0,1,x ty tt显然( ,)0,d x y反之如果( , )0,d x y因为|

8、( )( ) |0,x ty t所以( )( ), . .0,1,x ty ta e于由于( ),( )x ty t为 连 续 函 数 ， 若00,1,t使 得00( )(),x ty t则 存 在0,使 得 在00(,)0,1tt区 间 上 ， 均 有( )( ) ,x ty t这 与( )( ) ,. .x ty ta e相 矛 盾 ， 所 以( )( ) , 0 ,1x ty tt此外，对于, ,0,1,x y zC111000( , )| ( )( )| ( )( ) | ( )( ) |( ,)( , )d x zx tz tdtx ty t dty tz t dtd x yd y

9、z即三点不等式成立。因此( ,)x d成为度量空间。3、证：定义X到Y的映射T，任意1,(),(),nfXTff ef eL其中(0,0,1,0,0),1,2,ieinLLL对任意1niiixe，11( )( )() maxnniiiiiif xf ef e=Tfx，于是fTf。反之，对任意1,nyYL定义fX：对任意1niiixe，1( ),niiif x则Tfy。因此T是从X到Y上的映射。若(0,0)yL，则显然0f，则0Tff若1(,)(0,0),nyLL令1(sign)niiixe，则1x。因此( )ff x=1.niiyTf从而.Tff于是T是从X到Y的同构映精选学习资料 - - -

10、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页射，在同构的意义下X=Y。4、证：设,nfM存在0,1,2,.nKfK nL设nx是X的可数稠密子集.考察有界数列11().nnfx由 Weierstrass 定理，存在收敛子列1,11()() .nnfxfx同理1,21().nnfx也有收敛子列2,2()nfx.一般地，若已有子列,1()k nknfx收敛，考察,11().k nknfx.由于数列的有界性可找到收敛子列1,11()knknfxK K我们用对角线法则,取泛函列,11k knnkff,k kf在稠密子集nx上点点收敛 .事实上 ,由定义 ,对

11、任意i,1()i ninfx是收敛的，而,k kkif是,1i nnf的子列，因此,1()k kikfx也是收敛的，,k kf在nx上点点收敛 ,即,k kf弱* 收敛。5、证：对于,aRx yMzM则,0,xy zx zy z,0,ax za x z因此M为H的线性子空间。另外，对于任意M中的聚点x，即存在由M中互异的点组成的点列,nx使得lim.nnxx由内积的连续性，可知,lim,lim,0,nnnnx zxzxz即xM, 因此M为H的闭线性子空间。. 试卷评价：题型丰富，难易结合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页