2022年三角函数图像变换顺序详解2 .pdf

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1、精品资料欢迎下载图象变换的顺序寻根题根研究一、图象变换的四种类型从函数 y = f (x)到函数 y = A f ()+m，其间经过4 种变换：1.纵向平移 m 变换2.纵向伸缩A 变换3.横向平移变换4.横向伸缩变换一般说来，这4 种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以 y = sinx 到 y = Asin ()+m 为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例 1】 函数的图象可由y = sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法 1】 第 1 步，横向平移：将 y = sin x 向右平移，得第 2

2、步，横向伸缩：将的横坐标缩短倍，得第 3 步：纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得第 4 步：纵向平移：将向上平移1，得【解法 2】 第 1 步，横向伸缩：将 y = sin x 的横坐标缩短倍，得y = sin 2x第 2 步，横向平移：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载将 y = sin 2x 向右平移，得第 3 步，纵向平移：将向上平移，得第 4 步，纵向伸缩：将的纵坐标扩大3

3、倍，得【说明】解法 1 的“变换量” （如右移）与参数值（）对应，而解法2 中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1 的“可靠性”大，而解法2 的“风险性”大 . 【质疑】对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反如当0 时对应右移（增方向） ，而 m 1 时对应着“缩” ，而 | A | 1 时，对应着“扩”？【答疑】 对于（2） ，（3） 两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m中 x 和 y 的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式(y

4、+) = f ()，则 x、y 在形式上就“地位平等”了. 如将例 1 中的变成它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（ 1） ：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x中，平移是对x 进行的 . 故先平移（ x）对后伸缩（）没有影响；但先收缩（ x）对后平移（）却存在着“平移”相关. 这名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载就是为什么

5、（在例1 的解法 2 中）后平移时，有的原因 . 【说明】为了使得4 种变换量与4 个参数（ A，m）对应，降低“解题风险” ，在由 sinx 变到 Asin () ( 0) 的途中，采用如下顺序：（1）横向平移： x（2）横向伸缩： x+（3）纵向伸缩： sin () Asin () （4）纵向平移： Asin () Asin () + m这正是例1 中解法 1 的顺序 . 二、正向变换与逆向变换如果把由sin x 到 Asin ()+m 的变换称作正向变换，那么反过来，由Asin ()+m 到 sin x 变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”. 因为正向变换的一般顺

6、序是：（1）横向平移， （2）横向伸缩， （3）纵向伸缩， （4）纵向平移 . 所以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移， （2）纵向伸缩， （3）横向伸缩， （4）横向平移 . 如将函数y= 2sin (2) +1 的图像下移1 个单位得 y=2sin (2 x)，再将纵坐标缩小一半得 y= sin(2 x),再将横坐标扩大2 倍得 y= sin(x),最后将图象左移得函数 y= sinx.【例 2】 将 y = f (x)cos x 的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin2 x. 试求 f (x)的表达式 . 【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“

7、原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序. 【解析】将 y = 2sin2 x 下移 1 个单位（与正向变换上移1 个单位相反） ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载得y = 2sin2 x1，再将2sin2x1 左移（与正向变换右移相反）得令 f (x)cos x = 2sin x cos x 得 f (x) = 2sin x【说明】 由此得原函数为

8、y=f(x)cosx=2 sin x cosx=sin2x. 正向变换为sin 2x2sin2x,其逆变换为 2sin2xsin2x. 因为 2sin2x=1+sin(2 x),所以下移1 个单位得sin(2 x),左移得 sin2x.三、翻折变换使 0平移变换x是“对 x 而言” ，由于 x过于简单而易被忽略. 强调一下，这里x 的系数是 +1. 千万不要误以为是由 sin(- x)左移而得 . 其实， x 或 y 的系数变- 1，也对应着两种不同的图象变换：由x - x 对应着关于y轴的对称变换 ,即沿 y 轴的翻折变换；由f (x) - f (x)对应着关于x 轴的对称变换,即沿 x 轴

9、的翻折变换 . 【例 3】 求函数的单调减区间 . 【分析】先变换-3x3x,即沿 y 轴的翻折变换. 【解析1】，转化为求g(x)=sin(3x)的增区间令 x （f(x)减区间主解）又函数的 f(x)周期为，故函数f(x)减区间的通解为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 x 【解析 2】的减区间为即是 x 【说明】 从图象变换的角度看问题,比较解析1 和解析 2 可知 ,求 f(x)的减区间 ,实际上分两步进行 : (1)先求得 f(x)减区间的主解 x (2)再利用主解进行横向平移(的整数倍 )即得 f(x)减区间的通解 . 【思考】本解先将“正数化”，使0 是本解成功的关键. 否则，如果去解不等式组将会使你陷入歧途，不防试试！名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -