2022年一元二次方程知识点总结及典型习题 .pdf

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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思一元二次方程一、本章知识结构框图二、具体内容（一）、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0a时，整式方程02cbxax才是一元二次方程。（2）各项的确定 (包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4列出实际问题的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程

2、转化为一元一次方程求解；2根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3体会不同解法的相互的联系；4值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如nx2或)0()(2anbax的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如nx2的方程的解法：实际问题数学问题)0(02acbxax设未知数，列方程实际问题的答案数学问题的解aacbbx242解方程降次开平方法配方法公式法分解因式法检 验名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习

3、资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当0n时，nx; 当0n时，021xx; 当0n时，方程无实数根。（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为nmx2)(的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；“系数化1” ：根据等式的性质把二次项的系数化为1；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为nmx2)(的形式；求解：若0n时，方程的解为nmx，若0n时，方程无实数解。

4、（3）公式法：一元二次方程)0(02acbxax的根aacbbx242当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为abxx221；当042acb时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定cba,的值；代入acb42中计算其值，判断方程是否有实数根；若042acb代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。 ）（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至

5、少有一个为0，即：若0ab，则00ba或；因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（ 2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分

6、解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（三）、根的判别式1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=acb42（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02cbxax（0a）当时00a方程有实数根；（当时00a方程有两个不相等

7、的实数根；当时00a方程有两个相等的实数根；）当时00a方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2常见的问题类型（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况先计算出判别式（关键步骤）；用配方法将判别式恒等变形；判断判别式的符号；总结出结论. 例：求证：方程0)4(2)1(222aaxxa无实数根。（ 4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次

8、方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（ 5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题（四）、一元二次方程的应用1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精

9、心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a） ，增长率（x） ，变化的次数（n） ，变化后的基数（b）,这四者之间的关系可以用公式bxan)1(表示。4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。（五）新题型与代几综合题（1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600 平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40 米、

10、宽 10 米的仓库，但面积只有400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁）(3)已 知 ：cba,分 别 是A B C的 三 边 长 ， 当0m时 ， 关 于x的 一 元 二 次 方 程02)()(22axmmxbmxc有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形。（4）已知：cba,分别是ABC的三边长，求证：方程0)(222222cxacbxb没有实数根。（5）当m是什么整数

11、时， 关于x的一元二次方程0442xmx与0544422mmmxx的根都是整数？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（6）已知关于x的方程02212222mxxmxx，其中m为实数，（1）当m为何值时，方程没有实数根？（ 2）当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。（六）相关练习（一）一元二次方程的概念1一元二次方程的项与各项系数把下列方

12、程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：（1）xx3252（2）015622xx（3）5)2(7)1(3yyy（4）mmmmmm57)2()(22应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值(1) m为何值时，关于x的方程mxmxmm4)3()2(2是一元二次方程。（2）若分式01872xxx，则x3由方程的根的定义求字母或代数式值(1)关于x的一元二次方程01)1(22axxa有一个根为0，则a(2)已知关于x的一元二次方程)0(02acbxax有一个根为1，一个根为1，则cba，cba（3）已知 c 为实数，并且关于x的一元二次方程032cxx的一个根的相反数是方程0

13、32cxx的一个根，求方程032cxx的根及 c 的值。（二）一元二次方程的解法1开平方法解下列方程：（1）012552x（2）03612y名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2配方法解方程：（1）0522xx（2）0152yy（3）3422yy3公式法解下列方程：（1）2632xx（2）pp3232（3）yy1172（4）2592nn（5）3)12)(2(2

14、xxx4因式分解法解下列方程：（1）09412x（6x）（ 2）04542yy（5,921yy）（3）031082xx（23,4121xx）（4）02172xx（3,021xx）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思5解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1）128)72(22x（227x）（2）222)2(212mmmm（262m）（3）)3)(2()2(

15、6xxxx（53,221xx）（4）3)13(2)23(332yyyyy（2,2321yy）（5）22)3(144)52(81xx（23,102721xx）6解含有字母系数的方程（解关于 x 的方程）：（1）02222nmmxx(nmxnmx21,) （2）124322aaxax（1, 1321axax）（3）nmnxxnm2)(2（0nm）（nmnmxx21, 1）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - -

16、 - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（4）xaxaxxa)1()1()1(2222（讨论 a）（三）一元二次方程的根的判别式1不解方程判别方程根的情况：（1） 4xxx732（有两个不等的实数根）（2）xx4)2(32（无实数根）（3）xx54542（有两个相等的实数根）2k为何值时，关于x 的二次方程0962xkx（1）有两个不等的实数根（01kk且）（2）有两个相等的实数根（1k）（3）无实数根（1k）3已知关于的方程mxmx1)2(42有两个相等的实数根求的值和这个方程的根(21,221xxm或23,1021xxm) 4若方程054)1(222aaxax有实数根，求：正整数a.

17、（3,2, 1aaa）5对任意实数m，求证：关于x 的方程042)1(222mmxxm无实数根 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思6k为何值时，方程0)3()32() 1(2kxkxk有实数根 . 7设m为整数， 且404m时，方程08144)32(222mmxmx有两个相异整数根，求m的值及方程的根。（当m=12 时，方程的根为26,1621xx；当m

18、=24 时，方程的根为52,3821xx）（四）一元二次方程的应用1已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积2一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思求这个两位数. 3某印刷厂在四年中共印刷1997 万册书，已知第一年印刷了342 万册，第二年印刷了500 万册

19、，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？4某人把5000 元存入银行，定期一年到期后取出300 元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275 元，求存款的年利率？（不计利息税）5某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场每天可多售出 2件，若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？6已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD 的顶点 B、C 同时出发，甲由C 向 D 运动，乙由B 向 C 运

20、动，甲的速度为每分钟1 千米，乙的速度每分钟2 千米，若正方形广场周长为40 千米，问几分钟后，两人相名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思距102千米？7某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200 万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路, 使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利

21、息外, 还盈余 72 万元 , 若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同, 试求这个百分数 . (20%) 8如图，东西和南北向两条街道交于O 点，甲沿东西道由西向东走，速度是每秒4 米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3 米，当乙通过 O 点又继续前进50 米时，甲刚好通过O 点，求这两人在相距85 米时，每个人的位置。 （甲离 O84 米，乙离O13 米）9已知关于x 的方程01)1(2mxxn有两个相等的实数根. (1)求证：关于y 的方程03222222nmmyym必有两个相等的实数根。东北BABAO名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -

22、- - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(2)若方程的一根的相反数恰好是方程的一个根，求代数式nnm122的值。（14）10一次函数6xy和反比例函数xky， （ 1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个交点？（2）设（ 1）中的两个公共点为A、B，AOB是锐角还是钝角？（09kk且；钝角）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -