2022年概率论与数理统计试卷及答案 .pdf

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1、模拟试题一一、填空题（每空 3 分，共 45 分）1、已知 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A) = 0.85, 则 P(A| B) = P( A B) = 2、设事件 A 与 B 独立，A 与 B 都不发生的概率为19，A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6 个同学，求他们之中恰好有4 个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率；4、已知随机变量 X 的密度函数为：,0( )1/ 4,020,2xAexxxx, 则常数 A= , 分布函数 F(x)= , 概率 0.51 P

2、X；5、设随机变量 X B(2，p)、Y B(1，p)，若1 5/9P X，则 p = ，若 X 与Y 独立，则 Z=max(X,Y) 的分布律：；6、设(200,0.01),(4),XBYP且 X 与 Y 相互独立，则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,XXX是总体(0,1)XN的简单随机样本，则当k时，12222345() (3)k XXYtXXX；8、设总体(0, )0XU为未知参数，12,nXXX为其样本，11niiXXn为样本均值，则的矩估计量为：。9、设样本129,XXX来自正态总体( ,1.44)N a，计算得样本观察值10 x，求参数 a 的

3、置信度为 95%的置信区间：；二、计算题（ 35 分）1、 (12 分)设连续型随机变量X 的密度函数为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页1,02( )20,xxx其它求：1）| 21|2PX；2）2YX 的密度函数( )Yy；3）(21)EX；2、(12 分)设随机变量 (X,Y)的密度函数为1/ 4,|,02,( , )0,yxxx y其他1）求边缘密度函数( ),( )XYxy；2）问 X 与 Y 是否独立？是否相关？3）计算 Z = X + Y 的密度函数( )Zz；3、 （11 分）设总体 X 的概率密

4、度函数为：1,0( ),000 xexxxX1,X2,Xn是取自总体 X 的简单随机样本。1）求参数的极大似然估计量?；2）验证估计量?是否是参数的无偏估计量。三、应用题（ 20 分）1、 （10 分） 设某人从外地赶来参加紧急会议， 他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10 和 2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？2 （10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5，假定有害物质含量 X 服从正态分布。现在取5 份水样，测定该有害物质

5、含量，得如下数据：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页0.530 ，0.542，0.510，0.495，0.515能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05)？附表：模拟试题二一、填空题 (45 分，每空 3 分) 1设( )0.5,(|)0.6,()0.1,P AP BAP AB则()P B()P AB2 设,A B C三 事 件 相 互 独 立 ， 且()()(PAPBPC， 若37()64P ABC， 则()P A。3设一批产品有12 件，其中 2 件次品， 10 件正品，现从这批产品中任取3 件，若

6、用 X 表示取出的 3 件产品中的次品件数，则X 的分布律为。4设连续型随机变量X 的分布函数为()ar c t an() ,F xABxxR则( ,)A B， X 的密度函数( )x。5设随机变量 2,2XU，则随机变量112YX的密度函数( )Yy6设,X Y的分布律分别为X-1 0 1 Y0 1 P1/4 1/2 1/4 P1/2 1/2 且00P XY，则(,)X Y的联合分布律为。和1 P XY7设(,) (0,25;0,36;0.4)X YN，则cov(,)X Y，1(31)2DXY。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3

7、页，共 19 页8设1234(,)XXXX是总体(0, 4)N的样本，则当a， b时，统计量221234(2)(34)Xa XXbXX服从自由度为 2 的2分布。9设12(,)nXXX是总体2( ,)N a的样本，则当常数 k时，221?()niikXX是参数2的无偏估计量。10设由来自总体2( ,0.9 )XN a容量为 9 的样本，得样本均值x=5，则参数a的置信度为 0.95的置信区间为。二、计算题 (27 分) 1(15 分)设二维随机变量(,)X Y的联合密度函数为1(),02,02( , )80,xyxyx y其它（1） 求XY与的边缘密度函数( ),( )XYxy；（2） 判断X

8、Y与是否独立？为什么？（3） 求ZXY的密度函数( )Zz。2(12 分)设总体 X 的密度函数为(),( )0,xexxx其中0是未知参数，12(,)nXXX为总体X的样本，求（1）参数的矩估计量1?；（2）的极大似然估计量2?。三、应用题与证明题 (28 分) 1(12 分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3 件正品和 3 件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取3 件产品放入乙箱后，（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3 件产品中恰有 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

9、 - - - -第 4 页，共 19 页件次品的概率。2(8 分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36 位考生的成绩，算得平均成绩66.5x分，标准差15s分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分，并给出检验过程。3(8 分)设0( )1P A，证明：AB与相互独立(|)(|)P B AP B A。附表：0.950.9750.950.951.65,1.96,(35)1.6896,(36)1.6883,uutt0.9750.975(35)2.0301,(36)2.0281,tt模拟试题三一、填空题（每题3 分，共 42 分）1设()0.3

10、,()0.8,P AP AB若AB与互斥，则()P B；AB与独立，则()P B；若 AB ，则()P AB。2 在电路中电压超过额定值的概率为1p， 在电压超过额定值的情况下， 仪器烧坏的概率为2p，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为；3设随机变量X的密度为34,01( )0,xxx其它，则使P XaP Xa成立的常数a；0.51.5PX；4如果(,)X Y的联合分布律为Y 1 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页则,应满足的条件是01 , 01 ,1 /，

11、若XY与独立，(31)E XY。5设( ,)XB n p，且2.4,1.44,EXDX则n， p。6设2( ,)XN a，则32XY服从的分布为。7 测量铝的比重 16 次，得2.705,0.029xs， 设测量结果服从正态分布2( ,)N a， 参数2,a未知，则铝的比重a的置信度为 95%的置信区间为。二、 （12 分）设连续型随机变量X 的密度为：,0( )0,0 xcexxx（1）求常数c；（2）求分布函数( )F x；（3）求21YX的密度( )Yy三、 （15 分）设二维连续型随机变量(,)X Y的联合密度为,01,0( , )0,cxyxx y其它（1）求常数c；（2）求XY与的

12、边缘密度( ),( )XYxy；（3）问XY与是否独立？为什么？（4）求ZXY的密度( )Zz；（5）求(23 )DXY。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页（2） 参数的极大似然估计量2?；五、 （10 分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1 ，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1 ，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。六、 （10 分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布2( ,)N a，得到的 10 个测定值给出0.452,0.037xs，试问可否认

13、为水份含量的方差20.04？（0.05）22220.9750.9750.950.95(10)20.483,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,模拟试题四一、填空题（每题3 分，共 42 分）1、 设A、B为随机事件，()0.8P B，()0.2P BA，则A与B中至少有一个不发生的概率为；当AB与独立时，则()P B AB2、 椐以往资料表明，一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律：孩子得病P= 0.6，孩子得病母亲得病P=0.5，孩子得病母亲及父亲得病P=0.4，那么一个三口之家患这种传染病的概率为。四、 （11 分）设总体 X 的密度为(1),01( )0,xx

14、x其它其中1是未知参数，1(,)nXX是来自总体 X 的一个样本，求（1） 参数的矩估计量1?；附表：22220.050.0250.050.05(10)3.94,(10)3.247,(9)3.325,(9)2.7,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页3 、 设 离 散 型 随 机 变 量X的 分 布 律 为 ：,.)2, 1 ,0(!3)(kkakXPk， 则a=_)1(XP。4、若连续型随机变量X的分布函数为3, 133,3arcsin3,0)(xxxBAxxF则常数 A， B，密度函数)(x5 、 已 知 连 续

15、 型 随 机 变 量X的 密 度 函 数 为22181( ),8xxf xex， 则)14( XE，2EX。21XP。6、设X3 , 1U，Y)2(P，且X与Y独立，则)3(YXD)= 。7 、 设 随 机 变 量YX ,相 互 独 立 ， 同 服 从 参 数 为 分 布)0(的 指 数 分 布 ， 令YXVYXU2,2的相关系数。则),(VUCOV, VU ,。（注：6915.0)5.0(,8143.0)1(）二、计算题（ 34 分）1、 （18 分）设连续型随机变量)(YX，的密度函数为,01,01( , )0,xyxyx y其他（1）求边缘密度函数)(),(yxYX；（2）判断 X 与Y

16、 的独立性；（3）计算cov(,)X Y；（3）求),max(YXZ的密度函数)(zZ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页2、（16 分） 设随机变量X与Y相互独立，且同分布于)10)(, 1(ppB。 令1,0XYZXY若为偶数，若为奇数。（1）求Z的分布律；（2）求)(ZX，的联合分布律；（3）问 p 取何值时 X 与 Z 独立？为什么？三、应用题（ 24 分）1、 （12 分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周 5 个工作日内无故障则可获 10 万元；若仅有 1 天故障则仍可获利5 万元；若仅有

17、两天发生故障可获利0 万元；若有 3 天或 3 天以上出现故障将亏损2 万元。求一周内的期望利润。2、 （12 分）将 A、 B、 C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母 AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道， 输入 AAAA，BBBB， CCCC的概率分别为 0.5，0.4，0.1。已知输出为 ABCA，问输入的是 AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页答案（模拟试题一）四、填空题（每空 3

18、分，共 45 分）1、0.8286 ， 0.988 ；2、2/3 ；3、14212661112C C，61266!12C；4、1/2, F(x)= 1,021, 02241,2xexxxx， 0.51 PX0 . 53142e；5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y) 的分布律：Z 0 1 2 P 8/27 16/27 3/27；6、D(2X-3Y)= 43.92, COV(2X-3Y, X)= 3.96 ；7、当 k32时，12222345() (3)k XXYtXXX；8、的矩估计量为： 2X 。9、9.216 ，10.784；五、计算题（ 35 分）1、解 1）9| 21|2 0.5

19、1.516PXPX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页2）1()(),02( )0,01,0440,XXYyyyyyyy其它3）45(21)212133EXEX2、解： 1）1,02,02( )( , )420,0,xXxxdyxxxx y dy其它其它2| |11,| 2(2|),| 24( )( , )40,0,yYdxyyyyx y dx其它其它2）显然，( ,)( )( )XYx yxy，所以 X 与 Y 不独立。又因为 EY=0，EXY=0 ，所以， COV(X,Y)=0 ，因此 X 与 Y 不相关。3）

20、22( )( ,)11,04,044280,0,Zzzx zx dxzdxzz其它其它3、解 1）112111(, )niiixxnnniL x xxee12ln(, )lnnnxL x xxn令2ln0dLnnxd解出：?X2）?EEXEX?是的无偏估计量。六、应用题（ 20 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页1 解：设事件 A1，A2，A3，A4 分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机” ，其概率分别等于3/10，1/5，1/10 和 2/5，事件 B 表示“迟到”，已知概率|,1,2,3, 4iP B

21、 Ai分别等于 1/4，1/3，1/2，0 则41)() (|)iiiP BP A P BA23120111()(|)9(|)()23P A P B AP ABP B，222() (|)8(|)( )23P AP BAP ABP B333() (|)6(|)()23P AP BAP ABP B，444()(|)(|)0()P AP B AP ABP B由概率判断他乘火车的可能性最大。2 解：0:0.5Ha（） ，1:0.5Ha拒绝域为：00.950.55(4)xts计算0.5184,0.018xs0.950.552.2857(4)xtts，所以，拒绝0H，说明有害物质含量超过了规定。附表：答案

22、（模拟试题二）一、填空题 (45 分，每空 3 分) 1()0.4,()0.4P BP AB21()4P A3X0 1 2 P 6/11 9/22 1/22 41 1(,)(,)2A B，21( ),(1)xxRx51,0, 2( )20,0,2Yyyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页6YX0 1 -1 0 1 1/4 0 01/2 1/4 0 314P XY71cov(,)12,(31)1982X YDXY811,20100ab；911kn；10. (4.412, 5.588)二、计算题 (27 分) 1 （

23、1）11(1),0, 2(1),0, 2( ),( )440,0, 20,0, 2XYxxyyxyxy（2）不独立（3）21,0281( )(4),2480,Zzzzzzz其它2 （1）计算()1xEXxedx根据矩估计思想，1xEX解出：1?1X；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页（2）似然函数()11,(, )0,0,inxnx niiinexexL xx其它其它显然，用取对数、求导、解方程的步骤无法得到的极大似然估计。用分析的方法。因为(1)x，所以(1)xee，即11(1)(, )(,)nnL xxL x

24、xx所以，当2(1)1?min(,)nXXX时，使得似然函数达最大。极大似然估计为2?。三、1解： （1）设iA表示“第一次从甲箱中任取 3 件，其中恰有 i 件次品” ， （i=0,1,2,3 ）设 B 表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；3211231113333333123313131166666661( )() (|)04niiiCC CC CCCCCP BP A P B ACCCCCCC（2）22()(|)0.6()P A BP ABP B2 解：0:70Ha（） ，1:70Ha拒绝域为：00.97570|36(35)xts根据条件66.5x，15s，计算并比较0.975703

25、61.4(35)2.0301xts所以，接受0H，可以认为平均成绩为70 分。3(8 分)证明：因为(|)(|)P BAP B A()()()()P AB P AP AB P A()1( )()()( )P ABP AP BP AB P A()( )( )P ABP B P AAB与相互独立答案（模拟试题三）一、填空题（每题3 分，共 42 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页1 0.5 ；2/7 ；0.5 。21p2p；3412；0.51.5PX15/16 ；401,01,1/ 3，2/9 ，1/9 ，17/

26、3 。5n6 ，p0.4 。623(,)24aN。7(2.6895, 2.7205) 。二、解： （1）0( )11xx dxce dxc（2）00,0( )( )1,0 xxtxxF xt dte dtex（3）Y 的分布函数1( )212YyFyPXyP X11220,11,10,10,1yyxe dxyeyyy121,1( )20,1yYeyyy三、解： （1）1001( , )2xcx y dxdycdydx，2c（2）022 ,01( )( ,)0,xXdyxxxx y dy其它122(1),01( )( , )0,yYdyyyyx y dx其它（3）XY与不独立；（4）/ 21/

27、22,01( )( ,)22,120,zzXYzdyzzzx zx dxdyzz其它精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页（5）1122300212,232EXx dxEXx dx112200112 (1),2(1)36EYyy dyEYyy dx22121111( ),( )23186318DXDY10012,4xEXYxydydx1211c o v (,)4333 6XYE X YE XE Y7( 23)492 c o v ( 2, 3)18DXYDXDYXY四、解： （1）101(1),2EXxx dx令 EX

28、x ，即12x解得121?1XX。（2）11( )(, )(1) () ,01,1,2,.,nnniiiiiLxxxin1ln( )ln(1)lnniiLnx，1ln( )ln01niiLnx解得21?1lnniinX五、解：设1A=某机床为车床 ，19()15P A；2A=某机床为钻床 ，21()5P A；3A=某机床为磨床 ，32()15P A；4A=某机床为刨床 ，41()15P A；B =需要修理 ，11(|)7P BA，22(|)7P BA，33(|)7P B A，41(|)7P BA则4122()()(|)105iiiP BP A P BA111()(|)9(|)()22P A P

29、 B AP ABP B。六、解：2201:0.04,:0.04HH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页拒绝域为：22/ 21/22200(1)(1)(1)(1)nSnSnn或计算得220(1)(91) 0.0370.27380.04ns，查表得20.025(9)2.70.2738样本值落入拒绝域内，因此拒绝0H。22220.9750.9750.950.95(10)20.483,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,答 案（模拟试题四）一、填空题（每题3 分，共 42 分）1、 0.4；0.8

30、421 。2、0.12。3、3e，34e。4、1/ 2，1/，其他,033,91)(2xxx。5、3，5 ，0.6286 。6、 2.333。7、23/, VU ,3/5。二、1、解 （18 分）（1）其他,010,2/1)()(xxxxYX（2）不独立。（3）其他,010,3)(2zzzZ附表：22220 . 0 50 . 0 2 50 . 0 50 . 0 5(1 0 )3. 9 4 ,(1 0 )3. 2 4 7 ,( 9 )3. 3 2 5 ,( 9 )2. 7 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页2、解

31、 （1）求 Z 的分布律；pqYXPYXPZP2)0,1()1,0()0(22)1, 1()0,0() 1(qpYXPYXPZP（2）)(ZX，的联合分布律：ZX0 1 0 1 pq2qpq2pqppq222qp（3）当5.0p时，X 与 Z 独立。三、应用题（ 24 分）1、解：设 X 表示一周 5 个工作日机器发生故障的天数，则X )2.0, 5(B，分布律为：5,.,1 ,0,8.02.0)(55kCkXPkkk设 Y （万元）表示一周5 个工作日的利润，根据题意，Y 的分布律057.0)3(,3,2205.0)2(,2,0410.0)1(, 1,5328.0)0(,0,10)(XPXX

32、PXXPXXPXXfY则216.5EY（万元） 。2、解：设321,AAA分别表示输入 AAAA， BBBB， CCCC 的事件，B表示输出为 ABCA的随机事件。由贝叶斯公式得：31111)()()()()(iiiABPAPABPAPBAP1.0)(,4 .0)(,5.0)(321APAPAP0064.08 .01. 01 .08 .0)(1ABP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页0008.01.01. 08 .01 .0)(2ABP0008.01 .08. 01 .01. 0)(3ABP10. 50. 0 0 6 48()0.50.00640.00080.40.00080.19P A B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页