2022年不等式恒成立问题教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载不等式恒成立问题适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）60 知识点函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法；消元转化法教学目标掌握解决恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法；消元转化法；教学重点运用函数、导数解决恒成立问题教学难点推理能力和准确的计算能力的培养名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载教学过

2、程一、课堂导入纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查，主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答从实际教学来看，这部分知识能力要求高、难度大，是学生掌握最为薄弱，看到就头疼的题目分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理本节课我们将就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页

3、，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载二、复习预习新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共

4、 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载三、知识讲解考点 1 函数性质法有以下几种基本类型：类型 1：设2( )(0).f xaxbxc a（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a； （2）Rxxf在0)(上恒成立00且a类型 2：设2( )(0).f xaxbxc a（1）当0a时，,0)(xxf在上恒成立,222( )00( )0.bbbaaaff或或,0)(xxf在上恒成立( )0,()0.ff（2）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0,0.ff名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -

5、- - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,0)(xxf在上恒成立,222()00()0.bbbaaaff或或注：( )0f x恒成立min( )0f x（注：若( )f x的最小值不存在， 则( )0f x恒成立( )f x的下界大于 0） ；() 0f x恒成立max( )0f x（注：若( )f x的最大值不存在，则( )0f x恒成立( )f x的上界小于 0） 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

6、- - - - - - - - - 第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载考点 2 分离参数法 极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围利用分离参数法来确定不等式,0fx（Dx，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为gfx （或 gfx ）恒成立的形式；（2）求 fx 在 xD 上的最大（或最小）值；（3）解不等式max( )gf x(或mingfx) ，得的取值范围适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出名师归纳总结 精品学习

7、资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载考点 3 主参换位 反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“ 反客为主 ” ，即把习惯上的主元变与参数变量的“ 地位” 交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“ 山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村” 的出奇制胜的效果名师归纳

8、总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载考点 4 数形结合 直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为( )( )fxg x（或( )( )f xg x）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - -

9、 - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载考点 5 不等式能成立问题的处理方法若在区间D上存在实数x使不等式 fxk 成立，则等价于在区间D上maxfxk ；若在区间 D 上存在实数x使不等式 fxk 成立，则等价于在区间D 上的minfxk 注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别从集合观点看，含参不等式fxkfxk在区间D上恒成立maxDx fxkfxkminDx fxkfxk，而含参不等式fxkfxk 在区间 D 上能成立至少存在一个实数x使不等式 fxkfxk 成立minDx fxkfx

10、kmaxDx fxkfxk名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载四、例题精析考点一函数性质法例 1 （2012蚌埠二中考试）已知不等式2440mxmx对任意实数x恒成立则m取值范围是（）A1,0B1,0C, 10,D1,0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

11、 - - 第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【规范解答】 由不等式2440mxmx对任意实数x恒成立，知0m或0161602mmm由此能求出m的取值范围，解得01m名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载考点二分离参数法 极端化原则例 2 已知函数xxxfln)(，当012xx时，给出下列几个结论：0)()()(2121xfxfxx；12

12、21)()(xxfxxf；)()(2112xfxxfx; 当1ln1x时，)(2)()(122211xfxxfxxfx. 其中正确的是（将所有你认为正确的序号填在横线上） 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【规范解答 】答案：试题分析：因为xxxfln)(，所以1ln)(xxf ，可知（ 0，1e）递减， （1e，+ ）递增，故错误；令xxxxxfxgln-)()(，所以( )

13、lngxx，可知)(xg在（0,1）上递减，（1，+ ）上递增，故错；令xxxxxxxxhxxfxh1lnln)( )()(2，所以 h（x）在（0，+）上递增，所以2211)()(xxfxxf)()(2112xfxxfx，故 正 确 ； 当1ln1x时 ， 可 知exx112， 又 因 为f （ x ） 在 （1e， + ） 递 增 ，设111( )( )2()()xxf xxf xx f x1( )( )( )2()xf xxfxf x112 ln2ln0 xxxxx，又因为 f（x）在（1e，+ ）递增，所以1xx时，1( )()f xf x即11lnlnxxxx，所以1xx时，( )0

14、 x，故( )x为增函数， 所以21()()xx，所以2222111()()2()()xx f xx f xx f x1()0 x，故正确 .名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载考点三主参换位 反客为主法例 3 已知函数cbxxxxf2321)(（1）若)(xf在),(上是增函数，求 b 的取值范围；（2）若)(xf在1x处取得极值，且2, 1x时，2)(cxf恒成立，求c的取值

15、范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【规范解答 】解题思路：（1）利用 “ 若函数)(xf在某区间上单调递增，则0)(xf在该区间恒成立 ” 求解；（2）先根据)(xf在1x处取得极值求得 b 值，再将恒成立问题转化为求2max)(cxf，解关于c的不等式即可 . 规律总结：若函数)(xf在某区间上单调递增， 则0)(xf在该区间恒成立；“ 若函数)(xf在某区间上单调递减，

16、 则0)(xf在该区间恒成立；求函数最值的步骤：1 3 1 212 2 6 322322aaora求导函数；求极值；比较极值与端点值，得出最值. 试题解析 :（1）2( )3fxxxb=-+因)(xf在),(上是增函数，则f (x)0，即 3x2xb0 ， bx3x2在( ，) 恒成立设 g(x)x3x2，当 x16时，g(x)max112，b112. （2）由题意，知 f (1)0，即 31b0，b2. x1,2时，f(x)c2恒成立，只需 f(x)在1,2上的最大值小于 c2即可名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料

17、 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载因 f (x)3x2x2，令 f (x)0，得 x1，或 x23. f(1)32c，f(23)2227c，f(1)12c，f(2)2c， f(x)maxf(2)2c， 2cc2，解得 c2，或 c1，所以 c 的取值范围为 ( ，1)(2， ).名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 26 页 - - -

18、 - - - - - - 学习必备欢迎下载考点四数形结合例 4 设函数)()1()(2Raaxexxfx. (1)当21a时,求函数)(xf的单调区间 ; (2)若当0 x时0)(xf,求 a 的取值范围 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【规范解答 】试题分析： （1）由21a得到221)1()(xexxfx,求其导数) 1)(1(1)(xexxeexfxxx,解不等式0

19、)(xf得 到 函 数 的 增 区 间 , 解 不 等 式0)(xf得 到 函 数 的 减 区 间 ; （ 2 ） 法 一 : 由 当0 x时0)(xf得 : 0)1()1()(2axexaxexxfxx等价于 : 01axex在0 x时恒成立 ,令axexgx1)(,注意到0)0(g,所以只需),00)(xxg在上恒成立即可,故有0aex在),0上恒成立 ,则),0,xeax所以有1a.法二 :将01axex在0 x时 恒成 立等 价 转 化为 :),0, 1 xaxex恒 成立函数),0, xeyx的图象 恒在 函 数),0,1 xaxy图象的上方 ,由图象可求得 a的取值范围 . 试题解

20、析： （1）当21a时，221)1()(xexxfx，)1)(1(1)(xexxeexfxxx当)1,(x时，0)(xf；当)0, 1(x时，0)(xf时，当),0(x时，0)(xf，增区间), 0 ,1,(，减区间0 ,1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（2）由当0 x时0)(xf得: 0)1() 1()(2axexaxexxfxx等价于 : 01axex在0 x时恒成立

21、,等价转化为:), 0,1 xaxex恒成立函数),0, xeyx的图象恒在函数),0,1 xaxy图象的上方 ,如图 :,由于直线),0,1 xaxy恒过定点，而1)(00eexx， 所以函数),0,xeyx图象在点（0， 1） 处的切线方程为：1xy，故知：1a，即 a的取值范围为1,(. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载五、课堂运用【基础】1、定义在(0,)上的单调递减

22、函数()f x，若()fx的导函数存在且满足xxfxf)()(，则下列不等式成立的是（）A3(2)2(3)ffB3(4)4 (3)ffC2(3)3 (4)ffD(2)2(1)ff【 规 范 解 答 】 答 案 ： 试 题 分 析 ： f(x) 在(0,)上 单 调 递 减 ， ()0fx, 又 xxfxf)()(， f(x)g(1),即2)2(f3)3(f，即 3f(2)1，取 x=0，结合函数 x+sinx 的连续性可知 A 错误，对于 B取 x=2， 可知 B 错误，对于 D 取 x=1， 可知 D 错误，对于 C，令 f(x)=x-ln(1+x), 则01111)( fxxxx， f(x

23、)在),0(上单调递增，f(x)f(0)=0, 即 xln(1+x) 成立名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【巩固】1.若函数1)(23axxxf在)2,0(上单调递减，则实数a的取值范围为（）A.3aB.3aC.3aD.30a【规范解答 】 答案： A 试题分析：23232fxxaxxxa ， 因为函数 fx 在)2, 0(上单调递减，则在)2,0(上0fx即320 xa恒成

24、立，等价于32xa在)2,0(上恒成立，所以3232a。故 A 正确。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2.已知函数2( )ln(1)f xaxx在区间 (0,1)内任取两个实数 p,q，且 pq，不等式(1)(1)1fpf qpq恒成立，则实数a的取值范围为（）A15,)B(,15C(12,30D( 12,15【规范解答 】答案：A 试题分析：由已知得，(1)(1)1(1)(

25、1)fpf qpq，且1 ,1(1,2)pq，等价于函数2( )ln(1)f xaxx在区间(1,2)上任意两点连线的割线斜率大于1，等价于函数在区间(1,2)的切线斜率大于1恒成立( )21afxxx，即211axx恒成立，变形为2231axx，因为223115xx，故15a名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【拔高】1.函数331fxaxx对于1,1x总有 fx0 成立，则

26、a= 【规范解答 】答案：4 试题分析：因为1,1x总有 fx0 成立，所以当10 x时，有3313013xxaxax恒成立，令3232331313)(xxxxxxxg，)12(336)(443xxxxxg知当210 x时0)(xg，当21x时0)(xg， 当121x时0)(xg； 所 以 在10 x时4)21()(maxgxg知4a； 当01x时 ， 有3313013xxaxax恒成立，由上知)12(336)(443xxxxxg在01x上恒大于 0，所以)(xg在-1，0）上是增函数，故在 -1，0）上4) 1()(mingxg，所以有4a，又注意到当x=0 时，不论 a 为何值不等式fx0

27、总成立；综上可知a=4. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2.已知函数 f(x)的导数 f (x)a(x1)(xa)，若 f(x)在 xa处取得极大值，则a 的取值范围是 _【规范解答 】答案： (1,0) 解析：若 a0，则 f (x)0，函数 f(x)不存在极值；若a1，则 f (x)(x1)20 ，函数 f(x)不存在极值；若a0，当 x(1，a)时，f (x)0，当

28、x(a，) 时，f (x)0，所以函数 f(x)在 xa 处取得极小值；若 1a0，当 x(1，a)时，f (x)0，当 x(a，) 时，f (x)0，所以函数 f(x)在 xa处取得极大值；若 a1，当 x( ，a)时，f (x)0，当 x(a，1)时，f (x)0，所以函数 f(x)在 xa 处取得极小值，所以a(1,0)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载课程小结1.解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法；消元转化法2.近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“ 统一美 ” 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 26 页 - - - - - - - - -