2022年求二次函数解析式-综合题-练习+答案 .pdf

《2022年求二次函数解析式-综合题-练习+答案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年求二次函数解析式-综合题-练习+答案 .pdf（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品资料欢迎下载求二次函数解析式：综合题例 1 已知抛物线与x 轴交于 A(-1 ，0)、B(1，0) ，并经过 M(0，1)，求抛物线的解析式分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1 ，0)、B(1，0) 是抛物线与x 轴的交点，因此有更简捷的解法如果抛物线yax2bxc 与 x 轴(即 y=0) 有交点 (x1，0) ，(x2，0) 那么显然有x1、x2是一元二次方程ax2bxc=0 的两个根 因此，有ax2+bxc=a(x-x1)(x-x2) 抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (*) ( 其中 x1、x2是抛物线与x 轴交点的横坐标) 我们将 (*) 称为抛物线

2、的两根式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页精品资料欢迎下载对于本例利用两根式来解则更为方便解： 抛物线与x 轴交于 A(-1 ，0)、B(1，0) 设抛物线的解析式为ya(x 1)(x-1) 又抛物线过M(0，1) ，将 x=0，y=1 代入上式，解得a=-1 函数解析式为y=-x21说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：三项条件确定二次函数；求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；二次函数的解析式有三种形式：究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定例 2 由右边图象写出二次函数的解析式精选学习资料

3、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页精品资料欢迎下载分析：看图时要注意特殊点例如顶点，图象与坐标轴的交点解：由图象知抛物线对称轴x=-1 ，顶点坐标 (-1 ，2) ，过原点 (0 ，0) 或过点 (-2 ，0)设解析式为y=a(x 1)2+2 过原点 (0 ，0) ，a 2=0，a=-2 故解析式为y=-2(x+1)2+2，即 y=-2x2-4x 说明：已知顶点坐标可以设顶点式本题也可设成一般式y=ax2+bxc，过顶点 (-1 ，2) 和过原点 (0 ，0) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

4、- - - - - - -第 3 页，共 31 页精品资料欢迎下载本题还可以用过点(0，0) ，(-2 ，0) 而设解析式为y=a(x+2) x再将顶点坐标 (1 ，2) 代入求出 a例 3 根据下列条件求二次函数解析式(1) 若函数有最小值 -8 ，且 abc=12( -3) (2) 若函数有最大值2，且过点 A(-1 ，0) 、B(3，0)(3) 若函数当 x-2 时 y 随 x 增大而增大 (x -2 时， y 随 x 增大而减小 ) ，且图象过点 (2 ，4) 在 y 轴上截距为 -2 分析：(1) 由 abc=12( -3) 可将三个待定系数转化为求一个k即设 a=k，b=2k，c=

5、-3k(2) 由抛物线的对称性可得顶点是(1 ，2)(3) 由函数性质知对称轴是x=-2 解：(1) 设 y=ax2bx+c abc=12( -3) 设 a=k，b=2k，c=- 3k 有最小值 -8 解析式 y=2x2+4x-6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页精品资料欢迎下载(2) 图象过点A(-1 ，0) 、B(3，0)，A、B两点均在 x轴上，由对称性得对称轴为x=1又函数有最大值2，顶点坐标为 (1 ，2) ，设解析式为y=a(x-1)22(3) 函数当x-2 时 y 随 x 增大而增大， 当 x-2

6、时 y随 x 增大而减小对称轴为x=-2 设 y=a(x+2)2+n 过点 (2 ，4)在 y 轴上截距为 -2，即过点 (0 ，-2) 说明：题 (3) 也可设成 y=ax2bxc，得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页精品资料欢迎下载题(2) 充分利用对称性可简化计算例 4 已知抛物线y=ax2bxc 与 x 轴相交于点A(-3 ，0) ，对称轴为x=-1 ，顶点 M到 x 轴的距离为2，求此抛物线的解析式分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A 点关于对称轴x=-1 对称的对称点A

7、(1， 0) ，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点 M到 x 轴的距离为2，对称轴为x=-1 ，因此又可以找顶点坐标为 (-1 ，2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法解法 ( 一) ：抛物线的对称轴是x=-1 ，顶点 M到 x 轴距离为 2，顶点的坐标为M(-1 ，2)或 M (-1 ，-2) 故设二次函数式y=a(x 1)22 或 y=a(x+1)2-2 又抛物线经过点A(-3 ，0) 0=a( -3 1)22 或 0=a(-3 1)2-2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页

8、，共 31 页精品资料欢迎下载所求函数式是解法 ( 二) ：根据题意：设函数解析式为y=ax2bxc 点 A(-3 ，0) 在抛物线上0=9a-3b c 又对称轴是x=-1 顶点 M到 x 轴的距离为2 解由，组成的方程组：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页精品资料欢迎下载所求函数的解析式是：解法 ( 三) ：抛物线的对称轴是x=-1 又图象经过点A(-3 ，0) 点 A(-3 ，0) 关于对称轴x=-1 对称的对称点A(1，0) 设函数式为y=a(x+3)(x-1) 把抛物线的顶点M的坐标 (-1 ，2) 或(-

9、1 ，-2) 分别代入函数式，得2=a(-1 3)(-1-1)或-2=a(-1 3)(-1-1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页精品资料欢迎下载解关于 a 的方程，得所求函数式为：说明：比较以上三种解法， 可以看出解法 ( 一) 和解法 ( 三)比解法 ( 二) 简便M点到 x 轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是 -2 ，不要漏掉一解例 5 已知抛物线y=x2-6x m与 x 轴有两个不同的交点A和 B，以 AB为直径作 C ，(1) 求圆心 C的坐标(2) 是否存在实数m ，使抛物线的顶点在C上，若存在，

10、求出 m的值；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页精品资料欢迎下载分析： (1) 根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x 轴的交点(2) 依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在C 上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断解： (1) y=x2-6x m=(x-3)2+m-9 抛物线的对称轴为直线x=3 抛物线与x 轴交于 A 和 B 两点，且 AB是C 的直径，由抛物线的对称性圆心 C的坐标为

11、 (3，0) (2) 抛物线与x 轴有两个不同交点=( -b)2-4m0，m 9 设 A(x1，0) ，B(x2，0) 抛物线的顶点为P(3，m-9) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页精品资料欢迎下载解得： m=8或 m=9 m 9，m=9舍去m 8 当 m=8时，抛物线的顶点在C上说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式解答这类问题的基本思路是：假设“存在”演绎推理得出结论 ( 合理或矛盾 ) 例 6 已知抛物线y=ax2bxc，其顶点在x 轴的上方，它与 y 轴交于点C(0，3) ，与 x 轴交于点 A 及

12、点 B(6，0)又知方程： ax2bxc0(a0)两根平方和等于40(1) 求抛物线的解析式；(2) 试问：在此抛物线上是否存在一点P，在 x 轴上方且使 SPAB=2SCAB如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31 页精品资料欢迎下载式第 (2) 问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在解： (1) 由题设条件得抛物线顶点为(2 ，4) 又 A点坐标为 (-2 ，

13、0)，而ABC与PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，PAB面积最大显然， SPAB=162SABC=212=24故在 x 轴上方的抛物线上不存在点P 使 SPAB=2SCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页精品资料欢迎下载例 7 在一块底边长为a， 高为 h 的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH ，使它的一边FG在 BC边上，矩形的边 EF等于多长时，矩形铁板的面积最大分析：问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S) 而自变量就是EF的长(x) ，因此问

14、题的关键就是用EF(x) 表示矩形面积S，这就要用 EF表示出 EH 解： 设内接矩形EFGH 中，AM BC ，EH BC ，设EF=x(0 xh) 则 AN=h-x 设矩形 EFGH 的面积为 S 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页精品资料欢迎下载说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值例 8 二次函数 y=ax2bx-5 的图象的对称轴为直线x=3，图象与 y 轴相交于点B，(1) 求二次函数的解析式；(2) 求原点 O到直线 AB的距离分析：为

15、直线 x=3，来求系数a，b注意根与系数关系定理的充分应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页精品资料欢迎下载为求原点 O到直线 AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理解： (1)如图，由已知，有(x1+x2)2-2x1x2=26，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 31 页精品资料欢迎下载a=-1 解析式为y=-x26x-5=-(x-3)24(2) OB=5 ， OC=4 ，AC=3 ，AOB为等腰三角形，作OD AB于 D，说明：有部分学

16、生把二次函数的顶点坐标记错，也有的学生不会用“根与系数的关系”，得不出解析式有不少学生没有发现 AOB是等腰三角形，若发现为等腰三角形，OD是底边 AB的高，利用勾股定理就迎刃而解了发生错误的原因，没记熟抛物线的顶点坐标公式，有的学生记下来了，但与两个根如何综合使用发生了问题，有些学生求点 O到直线 AB的距离，没有分析出图形与数量关系，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页精品资料欢迎下载其实 AOB是等腰三角形， 知道这一性质求OD的数据就方便多了纠正错误的办法，加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐标与巧用“根与系数

17、的关系”的学习；另外，也要加强寻找特殊点的学习一般说，无论多难的题目，总是有解题规律的在几何图形中，经过认真分析，有的题目总含等边三角形、等腰三角形、直角三角形例 9 设 A，B 为抛物线 y=-3x2-2x k 与 x 轴的两个相异交点， M为抛物线的顶点，当 MAB 为等腰直角三角形时，求 k 的值分析：首先按题意画出图形，再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件，来解答本题，得出解后要分析解的合理性进行取舍解：抛物线与x 轴有两个相异交点，故0，即(-2)2- 4(-3)k 0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31

18、 页精品资料欢迎下载解关于 k 的不等式，得根据题意，作出图象，如图设 N为对称轴与x 轴的交点，由抛物线的对称性知，N为 AB中点AMB Rt，且 MN的长即为 M点的纵坐标，又设 A点坐标 (x1，0) ，B点坐标 (x2，0) ，则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页精品资料欢迎下载解关于 k 的方程，得k 0说明： 本题有一个重要的隐含条件，即要使抛物线与x轴有两个相异交点，应首先满足0(2) 本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理，找到等量关系，列

19、出关于k 的方程，如果没有这种灵活运用定理的能力，将得不到关于k 的方程，难以求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页精品资料欢迎下载例 10 某商场将进货单价为18 元的商品，按每件20 元销售时，每日可销售100 件，如果每提价1 元( 每件) ，日销售量就要减少10 件，那么把商品的售出价定为多少时，才能使每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？分析：此题主要涉及两个量，即售出价和每天获得的利润而每天获得的利润是随着售出价的改变而改变的，所以要找到二者的函数关系式，应把售出价设为自变量，把每天获得的利润看作

20、是售出价的函数这样，再根据已知条件，就可列出二者的函数关系式解： 设该商品的售出价定为x 元件时， 每天可获得y元的利润即每件提价(x-20)(元) ，每天销售量减少10(x-20)(件) ，也就是每天销售量为100-10(x-20)(件) ，每件利润 (x-18)(元) 根据题意，得：y(x-18)100-(x-20)10=-10 x2+480 x-5400 =-10(x-24)2+360(20 x30)y 是 x 的二次函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 31 页精品资料欢迎下载a=-10 0，202430当 x=

21、24 时， y 有最大值为360答：每件售出价为24 元时，才能使每天获得的利润最大，每天的最大利润是360 元例 11 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面 1.5 米，在 B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点 C的连线与水平面成45角，水流的最高点C比喷头 B 高出 2 米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F 到 A点的距离是多少？分析：要求点F 到 A点的距离，也就是求A、F 两点横坐标的差又A点横坐标为0，所以只需求出F 点横坐标 F点在抛物线上是抛物线与x 轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的解析式解：过

22、 C点作 CD Ox 于 D，BE CD 于 E，则有 CE=BE2，AB=DE=1.5，则 B(0，1.5) ，C(2，3.5) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 31 页精品资料欢迎下载C 为抛物线的最高点，例 12 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图地导弹运行达到距地面最大高度3 千米时，相应的水平距离为4 千米( 即图中 E 点) (1) 若导弹运行轨道为一抛物线，求抛物线的解析式；(2) 说明按 (1) 中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由精选学习资料 - - - - - - - -

23、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 31 页精品资料欢迎下载分析：题中的实际条件转化成数学意义就是已知抛物线的顶点 E，而且过点D求抛物线的解析式以及判断C是否在曲线上解： (1) 设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3 (2) 设 C(x0， y0) ， 过 C点作 CB Ox ，垂足为 B 在 RtOBC和 RtABC中， OA=1 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 31 页精品资料欢迎下载例 13 已知函数 y1=-x2+b1x+c1与 x 轴相交于原点O(0， 0)和点 A(4，0)

24、 ，若函数 y2=-x2+b2x+c2，(b1b2) 也经过点 A，且 y1与 y2的顶点所在直线平行于x 轴(1) 求两个函数的解析式(2) 当 x 为何值时， y1y2分析：解答第 (1) 题的关键是求y2的解析式，由题意可知 a1=a2=-1 ，因此可以判断两条抛物线的形状和开口方向都相同，再利用 y1与 y2的顶点所在直线平行于x 轴，可判断出y1和 y2在 x 轴上截得的线段长相等，从而求出 y2与 x 轴另一个交点 B(8，0) ，由 A，B 点都是抛物线与x 轴交点，可设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) 形式解：(1) y1=-x2+b1x+c1过点 O(0，0) ，A(

25、4，0) 0=0 0c1 c1=0 0=-16+4b1+0 b1=4 函数 y1=-x2+4x a1=a2=-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 31 页精品资料欢迎下载两条抛物线的形状，开口方向相同又y1与 y2的顶点所在直线平行于x 轴y1与 y2的顶点纵坐标相等b1b2，y1与 y2都经过 A(4，0) 点y2与 x 轴的另一个交点是点B(8，0) y2=-(x-4)(x-8) =-x212x-32 注：以上求y2的解析式是采用数、形结合的方法，进行推理得到的，此外，也可用计算方法求到b2和 c2，然后写出y2的

26、解析式，具体解法如下：y1的顶点是 (2 ，4) y1与 y2的顶点所在直线平行于x 轴y1与 y2的顶点纵坐标相等，y2又过点 A(4，0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 31 页精品资料欢迎下载b1=4，而 b1b2 b2=4( 舍去 ) y2=-x2+12x-32 解： (2) 若要使 y1y2只要使 -x2+4x-x2+12x-32 即可解不等式，得x4 当 x4 时， y1y2例 14 m是怎样的数值时， 二次函数 y(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与 x 轴的负方向交于两个不同点分析：二次函数的图象

27、与x 轴的负方向交于两个不同点的条件是二次项系数不为零，判别式大于零，两根之和小于零，两根之积大于0( 所谓两根是这个函数对应的一元二次方程的两根 ) 解：设二次函数与x 轴两交点的横坐标为x1，x2要使它的图象与x 轴两交点都在x 轴的负方向上，应满足不等式组：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 31 页精品资料欢迎下载解得 1m 2答：当 1m 2 时，二次函数 y=(m-2)x2-4mx+2m-6 的图象与 x 轴的负方向交于两个不同点对二次函数式中的m不知代表什么， 也无从下手求m 当抛物线与 x 轴相交时， y=

28、0，两个交点的横标即为方程的两个根，两个根在原点的左方，列不出算式，不知道列出这种算式与“根与系数的关系”有关总之有不少学生没有掌握二次函数与一元二次方程的内在联系而解题失败发生错误的原因，不知道在一元二次函数式中的m其实质是参数一元二次方程的根在直角坐标系x 轴上的分布理论如何表达，许多学生不清楚解不等式功底不深厚也会发生错误精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 31 页精品资料欢迎下载纠正错误的办法，加强一元二次函数式的学习，m属于实数，任给m一个数值，就存在一条具体数值的抛物线，给出 m的数值是无穷的，随着m值的不同也

29、产生了不同的抛物线，可用“抛物线族”这个名词去表达本题的一元二次函数表达式所勾勒的抛物线是无穷无尽的另外也要加强方程理论、根与系数关系、根的判别式的学习例 15 已知抛物线l：y=x2-(k-2)x+(k+1)2(1) 证明：不论k 取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x212x9 上；(2) 要使抛物线 y=x2-(k-2)x(k 1)2和 x 轴有两个不同的交点 A，B，求 k 的取值范围；(3) 当(2) 中的 A，B 间距离取得最大值时，设这条抛物线顶点为 C，求此时的k 值和 ACB的度数分析：把l的顶点坐标用k 的代数式表示分别代入y=3x2+12x+9 的左、右后能使两边相等说

30、明顶点在抛物线y=3x2+12x+9 上抛物线与x 轴交点的情况就是相应一元二次方程有无实根的情况AB间距离又可列出反的二次函数解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 31 页精品资料欢迎下载左边 =右边，所以不论 k 取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y3x2+12x+9 上(2) 欲使抛物线l与 x 轴有两个交点，则0，即= -(k-2)2-4(k+1)2=-3k2-12k 0，解之， -4 k0(3) 当-4 k0 时，抛物线l与 x 轴有两个不同的交点A，B，设 A(x1，0)，B(x2，0) ，且 x1x2，x1x

31、2k-2 ，x1x2(k 1)2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 31 页精品资料欢迎下载说明：不明白“不论k 取何值，抛物线l的顶点总在抛物线 y=3x2+12x+9”上这句话的意思，实质上就是方程与曲线的关系，点在曲线上，即点的坐标满足曲线的方程；将抛物线顶点坐标的表达式代入抛物线函数式左右相等，即达到(1) 提问；不知道抛物线与x 轴相交，是0，无法运算而失败；不知道用“根与系数的关系”以及截距公式，不会巧用“根与系数的关系”，求不出最大值，因而求不出y=ax2bxc(a 0)的 a，b，c，使该题后面的提问无法

32、进行；在x 轴与抛物线顶点所构造出的三角形中，求边长时没有绝对值的概念、正切函数值不熟悉而求不出ACB=60 发生错误的原因，本题是综合题，而且是中考的考题，要顺利而正确地回答出本题所有答案，从初一至初三所学的数学知识应该牢固掌握，第一问求出抛物线顶点坐标表达式，将表达式代入(1) 的函数式，若相等，即满足了函数式的要求，按初中阶段属于验根的手段，按高中就是曲线与方程的关系了这个不难的问题为什么学生束手无策呢？只是用文字表示了顶点坐标，很抽象，不易理解本题的难度之一是出现了“ k”，这个“ k”其本质起到了参数作用有些精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

33、- - - -第 30 页，共 31 页精品资料欢迎下载学生不了解 0，有两个不等的实数解，按几何的观点就是曲线有两个不同的交点，=0 有二重根， 在圆与直线的关系中就是相切抛物线与x 轴的截距是很重要的概念，它与高中的解析几何、数列沟通，在求截距的极值时，必须学会巧用“根与系数的关系”在直角坐标系中用坐标求解三角形面积和边长均用绝对值的概念，必须是非负数，有时学生忽略这些概念而发生错误问题多集中于运用截距公式时不会巧用“根与系数的关系”，算不出极值；对正负号的本质认识不深刻，比如说，抛物线与x 轴相交于两点，其两点的纵坐标均为0，而横坐标x1=-3，x2=2，这又如何处理？代入公式， |AB|=|x1-x2|=|-3-2|=5，这是正确的有的学生不是这样作，而是 |AB|=|2-3|=1，这就错了，这一点必须给以订正求正切函数值也要注意，两条直角边的比要搞正确，不要搞颠倒了总之，“根与系数的关系”、根的判别式、解不等式以及求极值在本题中是有机的整体，互相制约、相辅相成，它们的关系与联系要一清二楚，解本题才能达到运用自如的程度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 31 页