2022年武汉理工线性代数课件第三章 .pdf

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1、第三章-1- 第三章 线性方程组本章包含两个内容：向量和线性方程组. 研究线性方程组的解是线性代数的最主要的任务，用矩阵方法来讨论线性方程组的解的情形和求解线性方程组，用向量表示线性方程组的解和表达解之间的关系. 1 线性方程组定义 3.1 由m个方程n个未知量组成的线性方程组的一般形式：mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111矩阵形式是：bAx其中矩阵mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，b =mbbb21, x =mxxx21分别称为 系数矩阵 ，常数项矩阵和未知量矩阵，称bA为增广矩阵 ，满足线性方程组的有

2、序数组nxxx,21称为线性方程组的解，线性方程组的全部解组成解集，求解的过程称为解线性方程组 . 对方程进行适当变化而解不变，叫做同解变换 . 显然，以下三种变换是同解变换：(1) 交换两个方程的位置；(2) 用一个非零数同乘某个方程的两边；(3) 把一个方程乘以某个数加到另一个方程上.2 线性方程组的消元解法线性方程组的消元解法就是利用上述的三种同解变换，逐步消去未知量化为一元一次方程，得到这个方程中的未知量的解，再逐步回代得出其它未知量的解。也就是两个过程：消元和回代。观察下面的例子，体会同解变换和消元法：42321321321321xxxxxxxxx1先把第 1 个方程的 -1 ， -

3、2倍分别加到第2，3 个方程上去，消去1x：6334213232321xxxxxxx2把第 3 个方程两边同乘-1/3并且和第2 个方程换位置：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页第三章-2- 42213232321xxxxxxx 3再把第 2 个方程的2 倍加到第3个方程上去，消去2x：0321332321xxxxxx4在中学时，我们一般从第3 个方程得到3x回代到第2 个方程得到2x，再把2x和3x回代到第1个方程中，得到1x。现在我们把第3 个方程乘 1/3 ，再将其 -1倍加到第1，2 个方程上去，02132

4、21xxxx5然后把第2 个方程的 -1倍加到第1 个方程上去，得到021321xxx6以上的解法中，方程组1变化到 4的过程是消元，后面2 个步骤是回代。无论是消元还是回代，都只是未知量的系数和常数项参与了运算，未知量本身并未改变；而且对方程组所作的三种同解变换对应矩阵的三种行初等变换。因此解线性方程组相当于增广矩阵的行初等变换。通过对消元法解线性方程组的观察和分析可以写出每个过程对应的矩阵，我们必须建立以下的观念：线性方程组和增广矩阵一一对应，矩阵的每一行相当于一个方程；在变换的过程中，所有的矩阵都是等价的，每一个矩阵都对应一个线性方程组，这些方程组都是同解方程组也可以叫做等价方程组！消元

5、：通过初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵；回代：通过初等行变换把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵；解线性方程组只能用初等行变换，不可以用列变换！对增广矩阵bA作行初等变换，可以化为矩阵B：BddccdcccdccccbbbaaaaaaaaabArrrnrrnrnrrmmnmmnn00000000000000000122222111121121212222111211观察到01rd方程组无解；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页第三章-3- 01rd方程组有解。并且1)(,)(01rbARrARdr，即)()(bARAR；r

6、bARARdr)()(01进一步地分析，当nrbARAR)()(时，方程组有唯一解；当nrbARAR)()(时，方程组含有rn个自由未知量nrxx,1，可以任意取值，方程组的解有无穷多个。因此我们得到下面的定理。定 理非 齐 次 线 性 方 程 组bxAnm有 解 的 充 分 必 要 条 件 是)()(ARbAR， 并 且nARbAR)()(时有唯一解，nARbAR)()(时有无穷多解。定理 3.2 齐次线性方程组xAnm0有非零解的充分必要条件是nAR，Ax0仅有零解的充分必要条件是nAR. 推论 1当nm时，齐次线性方程组xAnm0有非零解 . 这是因为当nm时，齐次线性方程组xAnm0的

7、系数矩阵的秩一定小于n. 推论 2当nm时，齐次线性方程组xAnm0有非零解的充要条件是0A；仅有零解的充要条件是0A。要清楚以上定理中的n是未知量的个数，m是方程的个数。 但是判断解的情形总是根据矩阵的秩而不是方程的个数或未知量的个数。3 线性方程组的消元解法步骤解非齐次线性方程组bxAnm的步骤：(1) 写出bxAnm对应的增广矩阵)(bA；(2)()(ARbAR?假设不相等，得出无解的结论，假设相等就进行下一步；(3) 继续初等行变换把矩阵化为行最简形，nARbAR)()(时可直接写出它的唯一解，nARbAR)()(时，进行下一步；(4) 根据行最简形写出等价方程组，令其中的rn个自由未

8、知量非首元所在列为任意常数：rnccc,21，并把其它未知量首元所在列用rnccc,21表示 . 增广矩阵对应原始方程组，阶梯形矩阵用于判断线性方程组有没有解和有多少解，行最简形矩阵用于求解. 解齐次线性方程组xAnm0的步骤：(1) 写出xAnm0对应的系数矩阵A；(2)nAR)(?假设nAR)(，得出仅有零解的结论，假设nrAR)(进行下一步；(3) 继续初等行变换把矩阵化为行最简形，写出等价方程组，令其中的rn个自由未知量非首元所在列为任意常数：rnccc,21，并把其它未知量 首元所在列 用rnccc,21表示 . 无论非齐次还是齐次线性方程，判断解的情形只需化为阶梯形矩阵，而求解必须

9、化为行最简形矩阵 . bA原 始 方 程 组r r 行 最 简 形 矩 阵求出方程组的解阶 梯 形 矩 阵判 断 有 无 解有解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页第三章-4- 例3.1解下面的线性方程组8311102322421321321xxxxxxxx解对线性方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵：80311102132124)(Ab6000102138331600034111008331得到3)(,2)(AbRAR，说明秩不相等，所以方程组无解. 例3.2 解线性方程组163340533323213213

10、21321xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵：1631311405133312)(Ab163136213821294111570132051760294151760132042102941292900770042102941B0000110042102941发现3)()(AbRAR，说明有唯一解，因此继续初等行变换，化为行最简形矩阵：B00001100201070410000110020101001得到解：21rr2132rrr123rr1223rrrr41rr1312rrrr14rr24rr24rr232rr246rr371r3429rr322rr319rr214

11、rr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页第三章-5- 121321xxx例3. 3 k为何值时，下面的齐次线性方程组有非零解？求最小k值时方程组的通解. 0)4(206202253121321xkxxkxxxxk解对方程组的系数矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵. 为了计算的方便，令tk5，10201222402062225tttkkkA01222102tttttttt110)4(21201022ttttt110)4(401022Bttttt)9(4100)4(4010232令0)9(413tt，得0t或3t，即852

12、kkk或或时，32)(AR，齐次线性方程组有非零解. 当2k时，3t，000240202BA0002110101, 等价方程组：02103231xxxx令自由未知量cx3，c为任意常数，得到全部解：cxcxcx32121如果方程组的系数或常数项中含有未知参数，在对矩阵作初等行变换时，要注意运算的可行性 . 在本例中，如果不先换行，而作变换：122rtr使(2,1)元化为零，是不可以的，因为不能确定是否0t作初等行变换， 有时计算比较难，如果方程的个数和未知量的个数相同时，可以13rr32rr1212rtr23rr22r2413) 1(rtr121r241r精选学习资料 - - - - - -

13、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页第三章-6- 用行列式是否为零来判断解的情形和确定未知参数的值克莱姆法则 ，再用矩阵的初等行变换消元法求出解. 本例可以采用这种克莱姆法则和消元法结合的方式：令09102012224020622253tttttkkkA记tk5得0t或3t，即852kkk或或；当2k时，0002110101202042223rA得到方程组的解：cxcxcx321213.2 向量及其运算1 向量的定义定义 3.2 n个有序的数naaa,21组成的数组称为n维向量，n称为向量的 维数 ，这n个数称为该向量的n个分量 ，第i个数ia是第i个分

14、量，每个分量都是实数的向量称为实向量 ，分量中有复数的向量称为复向量 . 本课程仅讨论实向量. 向量可以写成一列或写成一行，分别称为列向量 或行向量 ，记作：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页第三章-7- naaa21或),(21naaa一个行向量的转置是一个列向量，一个列向量的转置是一个行向量. 一个列 行 向量可以看成一个列行矩阵. 对于向量，我们有以下的说明：() 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；() 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；() 当没有明确指明是行向量还是列向量时，都当作列向量.

15、 定义 3.3 每个分量都是零的向量称为零向量 ，记作0；将向量的每个分量变成相反数得到的向量称为的负向量 ，记作. 有不同维数的零向量.定义 3.4 假设干个维数相同的向量组成的集合称为向量组 . 线性方程组的一个解是一个向量，称为解向量 ，解的集合称为解向量组 . 向量组：) 1 , 0, 0(,),0, 1 , 0(),0,0 , 1 (21TnTT称为 初始单位向量组，有不同维数的初始单位向量组. 2 向量的线性运算定义 3.5 当且仅当两个向量,的维数相同且对应的分量相等时称这两个向量相等 ， 记作：.即：假设有naaa21，nbbb21，那么), 2, 1(nibaii下面我们定义

16、向量的加法和数乘运算，暂时不作向量的乘法运算.(1) 加法设有两个n维向量：naaa21与nbbb21，称向量nnbababa2211为与和，记作：，即：nnbababa2211(2) 数乘精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页第三章-8- 设有n维向量naaa21和数k，称向量nkakaka21为数k与向量的乘积 ，记作k，即 : nkakakak21根据负向量和数乘运算的定义，我们得到向量的减法：nnbababa2211行向量的线性运算类似上述列向量的运算. 定义 3.6 向量的加法和数乘运算统称为线性运算 . 既

17、然向量可以看成列矩阵或行矩阵，那么向量的线性运算与矩阵的加法和数乘运算完全相同，也就具有相同的算律，这里不再重复. 3 向量与矩阵、方程组的关系一个矩阵nmA的每一行元素可以构成一个向量，得到m个n维的行向量，称为矩阵nmA的行向量组 . 每一列元素可以构成一个向量，得到n个m维的列向量n,21，称为矩阵nmA的列向量组 . 用分块矩阵的观点看，矩阵nmA以列向量为子块：)(21nA，也可以以行向量为子块TmA)(21.如果矩阵)(21nA是n阶方阵，那么它的行列式可以写成nA21. 线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211121211

18、1它的每个未知量的系数组成一个列向量，得到n个m维列向量Tmjjjjaaa),(21，),2, 1(nj，常数项也组成一个m维列向量，用向量的线性运算表示为：nnxxx2211那么齐次线性方程组可表示为nnxxx22110在方程组中n,21是未知量nxxx,21的系数，而在向量的运算中，可以把精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页第三章-9- nxxx,21看成是向量n,21的系数 . 这在向量关系的讨论中很重要. 例3.4 已知向量1, 3, 5, 1,5, 3,2, 0,3, 0, 1,2321，求一个向量使得32

19、1432成立 . 解先将所求向量用向量321,表示出来，再作向量的线性运算. 由于3213214251432所以1,3,5,145, 3,2,03,0, 1,22513,3, 4, 015,15,20, 051例 3.5 已知向量4, 5, 0, 1,0, 2cba，且0.求：cba,的值 . 解4, 5, 0, 10, 2cba4, 5,1bac0 根据向量相等的定义04,05,01bac1,4,5cba3.3 向量组的线性相关性1 线性组合线性组合研究一个向量与一个向量组的关系.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24

20、页第三章-10- 定义 3.7 对于给定的向量组n,21和向量，如果存在一组数nkkk,21使得nnkkk2211() 成立，那么称向量是向量组n,21的一个 线性组合 ，或者说向量可以由向量组n,21线性表示 ，数nkkk,21称为 组合系数 。等 式nnkkk2211表 达 了 向 量 组n,21和 向 量以 及 一 组 数nkkk,21之间的关系。一般有两类问题：(1) 已知n,21和一组数nkkk,21，求向量. (2) 已知n,21和向量，求一组数nkkk,21. 前一个是向量的线性运算问题，后一个是求线性组合的系数问题.如何求组合系数呢？可以认为 ()式是一个线性方程组，它以nkk

21、k,21为未知量，n,21为系数，为常数项，显然线性方程组的解就是组合系数。因此有定理向量是向量组n,21的一个线性组合的充分必要条件是以n,21为列向量的矩阵的秩和以,21n为列向量的矩阵的秩相等，即：nnRR2121判断向量是否是向量组n,21的一个线性组合并求出组合系数，和判断线性方程组是否有解及求解的步骤相同. 如果方程组有唯一解，表示法唯一；如果方程组有无穷多解，则表示法不唯一。注意：求组合系数时，应把所有的向量写成列向量组成矩阵，并且作初等行变换，不可以作列变换！定义3.8 设有两个向量组：(A) s,21，(B) t,21，如果 (A)组的每个向量都可以由(B) 组线性表示，称(

22、A)可由(B)线性表示；如果(A)与(B)可以互相表示，则称向量组 (A)与向量组 (B)等价 . 等价向量组的性质：1自反性：每个向量组与自身等价；2对称性：假设向量组(A)与向量组 (B)等价，则 (B)与(A)等价；3传递性：假设向量组(A)与(B)等价，且向量组(B)与(C)等价，则向量组(A)与(C)等价 . 设向量组 (A)s,21可由向量组 (B)t,21线性表示，那么存在tjjkk,1使得sjkkttjjj, 2, 1,11即：存在矩阵stijkK)(使得BKA其中，),(),(2121tsBA。称K为向量组 (A)由向量组 (B)线性表示的系数矩阵。更简单地说，矩阵方程BXA

23、有解，那么向量组A由向量组B线性表示，其解X为表示矩阵。例 3.6 问向量9,5, 2, 8能否由向量组：7, 1, 3, 1,3, 1, 1, 1,1, 1, 1, 3321线性表示？假设能，写出其表示式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页第三章-11- 解0000000027210231019731511123118113,321r321321,RR可由向量组321,线性表示，且有32102723。2 线性相关与线性无关线性相关和线性无关研究一个向量组与零向量的关系. 定义 3.9 对于给定的向量组n,21，

24、如果存在一组不全为零的数nkkk,21使得nnkkk22110(3.3.2) 成立，称向量组n,21线性相关 ；如果当且仅当021nkkk时(3.3.2)式成立，那么称n,21线性无关 . 对于给定的向量组n,21，如何判断是否有一组不全为零的数nkkk,21使nnkkk22110呢？如何求出这组数呢？可以将 (3.3.2)式看成一个齐次线性方程组，它以nkkk,21为未知量，n,21为系数，那么就变成了讨论齐次线性方程组是否有非零解.因此得到下面的定理：定理3.4 向量组n,21线性相关的充分必要条件是nRn21，线性无关的充分必要条件是nRn21. 推论 1n个n维向量n,21线性相关的充

25、分必要条件是021n，线性无关的充分必要条件是021n. 推论 2 )(Nkkn个n维向量一定线性相关，即向量组中所含向量个数大于维数时必定线性相关 . 根据上面的讨论，n个m维向量组成的向量组n,21：当nm时，一定线性相关；当nm时，可用行列式n21是否为零判断其线性相关性；无论n和m 哪个大，都可以用初等变换求秩来判断是否线性相关，与判断齐次线性方程组是否有非零解的步骤相同. 求线性关系式的一组系数nkkk,21，就是要求出相应的齐次线性方程组的任一组非零解。下面是一些关于线性组合和线性相关的简单有用的结论：一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关；含有零向量的向量组线性相关；两个向量线

26、性相关的充要条件是对应分量成比例；初始单位向量组线性无关；任何向量可由初始单位组线性表示；零向量是任何向量组的线性组合；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页第三章-12- 向量组中的任何一个向量可以由该向量组线性表示. 定义 3.10 由向量组中的一部分向量组成的新向量组称为原向量组的部分组 . 定理 3.5 一个向量组线性无关，则它的任何部分组线性无关；如果向量组的一个部分组线性相关，则原向量组线性相关. 例3.7 证明：两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例. 证明必要性： 设向量naaa,21和nbbb,

27、21线性相关， 即存在不全为零的数21,kk，使得21kk=0不妨设01k，那么由21kk=012kk，即有),2, 1(12nibkkaii成立，即对应分量比例. 充分性：如果,对应分量比例成比例，就是存在数k使得),2, 1(nikbaii即kk0记11k，kk2，那么存在不全为零的数21, kk使得21kk0即,线性相关。例 3.8 设向量组321,线性无关，证明：向量组3132212,2线性相关 .证明证明向量线性相关，一般用定义或用矩阵的秩，也有用其它相关定理的。下面我们给出两种常用方法的证明过程，希望同学们掌握. (一) 用定义证明设有数321,kkk使得31332221122kk

28、k0即33222113122kkkkkk0由于321,线性无关，根据线性无关的定义上式成立的条件是02020322131kkkkkk其系数行列式0210012101，根据克莱姆法则，这个齐次线性方程组有非零解，即存在不全为零的数321,kkk使得31332221122kkk0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页第三章-13- 根据线性相关的定义，向量组3132212,2线性相关。(二)用矩阵的秩证明对向量组3132212,2组成的矩阵作初等变换3132323132212)(22231cc313222021cc那么，

29、32202,23132313221RR所以，向量组3132212,2线性相关 . 例3.9 设有向量组A ：0, 1,0, 1,1, 0, 1, 2,1, 1, 2, 0321，向量组B ：2, 4, 3,5,1, 2, 0,521，问向量组A是否线性相关？向量组B能否用向量组A线性表示？表示式是什么？解对向量组A和B组成的矩阵进行初等行变换：TTTTT21321210114210130012551205512042101300122101155120631101201021011311005110012010210112000051100120102101120000311001201011

30、001由此可知：3321R，向量组A ：321线性无关；33211321RR，所以1可以由向量组A ：321线性表示，表示式为32112；42321R而3321R，所以2不能由向量组A ：321线性表示 . 因此，向量组B不能用向量组A线性表示 .例3.10 k为何值时，向量组TTTkk1, 1, 2, 1,1, 1, 1, 1, 1, 1321(1) 线性无关；(2) 线性相关，并且求出线性关系式.41rr13rr122rr242rr23rr34rr21rr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页第三章-14- 解对

31、给出的向量组成的矩阵A进行初等行变换：1111211111321kkABkk001010100111(1) 显然，1k时，有一个三阶子式010010101002kkk所以3BR，即3,321R，那么321,线性无关；(2) 而1k时，2BR，即2,321R，此时321,B作初等行变换，化为行最简形：000000100111B000000100011得到线性关系式：00321. 3 线性组合与线性相关有关定理定理 3.6 向量组n,21线性相关的充分必要条件是n,21中至少有一个向量是其余n-1 个向量的线性组合. 定理 3.7如果向量组n,21线性无关， 添加一个向量后,21n线性相关， 那么

32、可由n,21线性表示，且表示式唯一. 定理 3.8如果向量组 (A)s,21可由向量组 (B)t,21线性表示，且ts，那么向量组 (A)线性相关 . 推论 1如果向量组 (A)s,21可由向量组 (B)t,21线性表示， 且向量组 (A)线性无关，那么ts. 此推论即是上面定理的逆否命题. 推论 2如果两个向量组(A)s,21与(B)t,21可以互相表示，且向量组(A)和(B)都线性无关，那么ts.即两个线性无关的等价向量组所含向量个数相同. 定理 3.9 矩阵A经过初等行变换化为B，那么矩阵A与B的行向量组等价；对应位置的列向量部分组具有相同的线性相关性. 也就是矩阵A与B的行向量组可以互

33、相表示；而在A与B中取相同列的向量，A中的几个向量与B中相同位置的几个向量，要么都线性相关，要么都线性无关.为下一节求最大无关组和求表示式提供了依据. 定义 3.11 在m维向量组 (A)的每个向量后面 或者前面 添加k个分量， 得到m+k维的向量组 (A)，称(A)是 (A)的加长向量组 . 定理 3.10 如果向量组线性无关那么其加长向量组也线性无关，如果加长向量组线性相关那么原向量组也线性相关. 4, 3, 2i1rri4, 3 ,2i1rri精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页第三章-15- 向量组的秩和最

34、大线性无关组1 最大无关组最大无关组研究的问题是：一个向量组中有没有一部分向量是线性无关的？最多有多少个向量是线性无关的？定义 3.12设riii,21是向量组n,21中的r个向量nr，如果精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页第三章-16- (1) riii,21线性无关；(2) n,21可riii,21由线性表示 . 那么称riii,21是向量组n,21的一个 最大线性无关部分组，简称 最大无关组 . 定义中条件 (2)意味着每一个向量都可以用riii,21线性表示， 可以将其改写为 “其余向量可以用riii,2

35、1线性表示” . 注意理解最大无关组的两个关键词：最大、线性无关. 只有一个零向量的向量组没有最大无关组. 根据定义可知，向量组与它的最大无关组等价，两个最大无关组等价. 有了最大无关组，很多研究向量组的问题就变成研究它的最大无关组问题，研究两个向量组的关系就变成研究它们的最大无关组之间的关系，例如：两个向量组等价相当于它们的最大无关组等价 . 最大无关组一般不唯一，但有下面的结论：定理 3.11 最大无关组所含向量个数相同. 2 向量组的秩定义 3.13 一个向量组的最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩 . 如果向量组 (A)：n,21的最大无关组中含有r个向量， 那么向量组的秩为r，记作

36、：rAR或rRn,21. 规定：只有一个零向量的向量组的秩为零. 为了更好地理解最大无关组和向量组的秩，假设rRn,21，我们作以下说明：任何r-1 个向量都不可能是向量组的最大无关组；任何r+1 个向量都是线性相关的；任何含有r个向量的线性无关部分组都是最大无关组. 定理 3.12 如果向量组 (A)可以由向量组 (B)线性表示，那么BRAR. 推论假设向量组 (A)与向量组 (B)等价，则BRAR. 3 向量组的秩与矩阵的秩的关系一般用定义求向量组的秩很困难，鉴于向量和矩阵的关系，我们希望找到向量组的秩与矩阵的秩的关系 . 定义 3.14 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩 ；矩阵的列向量组

37、的秩称为矩阵的列秩 . 定理 3.13 矩阵的行秩 =矩阵的列秩 =矩阵的秩 . 如果矩阵A的秩 =r，那么A中至少有一个r阶子式不为零，这个子式所在的行和列的r个向量都是线性无关的. 这个定理告诉我们一个求向量组的秩的方法初等变换求向量组的秩.步骤：(1) 用向量组n,21组成一个矩阵n21；(2) 对矩阵作初等变换，化为阶梯形矩阵；(3) 矩阵的秩就是向量组的秩. 求秩的时候， 向量在矩阵中写成行向量或列向量都可以但要一致 ，对矩阵既可作初等行变换又可作初等列变换. 如果需要求出一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示，那么建议把向量写成列向量，对这样的矩阵只能作初等行变换！步骤

38、：(1) 把向量组n,21中的向量写成列向量，组成一个矩阵n21；(2) 对矩阵作初等行变换，化为行最简形矩阵；(3) 非零行行数首元个数就是向量组的秩，并且首元所在列对应的向量就是最大无关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页第三章-17- 组；(4) 把非首元所在列的向量用首元所在列的向量表示，这个表示式就是把该列对应的向量用最大无关组表示的表示式. 例3.11已知向量：7391,1183312111514321，求一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组线性表示.解 用4321,做成矩阵，对其进行初等行变换，化

39、为行最简形矩阵. 739111833121115143218414142734271000100210013001100010021001200100001首元在第1，2 列，所以21,是一个最大无关组，首元以外有第3，4 列，所以43,可以用21,表示，表示式为：2132，2142例 3.12 设向量组132,12132134321，ba的秩为 2，求参数ba,。解1321213213,4321ba，3111332221ba111042310221abaababaa520042310221由5, 22,4321baR， 线性方程组解的解构1 齐次线性方程组解的结构1齐次线性方程组0Ax解的

40、性质1如果21, vv是齐次线性方程组0Ax的解，那么21vv也是它的解；1413rrrr125rr242342rrrr271r21rr42cc31cc13rr122rr12rr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页第三章-18- 2如果v是齐次线性方程组0Ax的解，k是任意实数，那么kv也是它的解；3如果svvv,21是齐次线性方程组0Ax的解，那么其线性组合1k1v+2k2v+sksv也是它的解，其中skkk,21是任意常数 . 实际上，当0, 1321skkkk时，性质3 即是性质1 ，当02skk时性质3 就

41、是性质2 . 这几条性质也说明了，齐次线性方程组如果有非零解，就有无穷多个；找到一个解就可以找到无穷多个 . 20Ax的基础解系我们知道，当系数矩阵nmA的秩nAR)(时，方程组0Ax有非零解，其解向量组一定线性相关个数大于维数！如果我们能求出它的最大无关组，记作：svvv,21，那么最大无关组的任意线性组合1k1v+2k2v+sksv就是方程组的全部解. 这句话包含两层意思：11k1v+2k2v+sksv是方程组的解；2任意一个解v都可以写成svvv,21的线性组合形式没有其它形式的解. 由性质3 ，第 1条成立，由最大无关组的定义，第2条成立 .因此求出解向量组的最大无关组就是求解的根本问

42、题. 定义 3.15 如果svvv,21是齐次线性方程组0Ax的非零解，且满足：(1) svvv,21线性无关；(2) 任意一个解都可以由svvv,21线性表示 . 则称svvv,21是齐次线性方程组0Ax的一个 基础解系 .一个基础解系实际上就是解向量组的一个最大无关组. 如何求基础解系？定理 3.14 如果n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩nrAR)(，则方程组的基础解系存在，且每个基础解系恰好含有n-r个解，同时方程组的每一个解都是基础解系的线性组合. 根据本定理的证明过程见教材得知求基础解系的方法和过程：(1) 写出系数矩阵，施以初等行变换化为阶梯形矩阵，假设nrAR)(，继续作初等行

43、变换化为行最简形矩阵不妨设前r个向量线性无关，则首元位于第1r列，假设不是前r个向量做法相同 ：rmnmmnnaaaaaaaaaA21222211121100001001,1, 111rnrrrnbbbb(2) 写出等价方程组：nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11, 11111精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页第三章-19- (3) 令自由未知量nrrxxx21依次取值为初始单位向量组：100,010,001，得出其它未知量的值：rxx1= 111rbb，212rbb，rnrrnbb, 1(4) 将所

44、有未知量合写在一起，得到方程组的n-r个线性无关的解，即基础解系：0011111rbbv，0102122rbbv，100, 1rnrrnrnbbv在上述步骤 (3)中，自由未知量nrrxxx21只要取值n-r个线性无关的向量就行，但一般是取初始单位向量组，此时计算量最小几乎不用计算，表达最方便. 2 非齐次线性方程组解的结构1非齐次 线性方程组bAx解的 性质定义3.16 当齐次线性方程组0Ax和非齐次线性方程组bAx的系数矩阵相同时，称0Ax为bAx对应的齐次方程组或导出组 . 性质1如果u是方程组bAx的解，v是导出组0Ax的解，那么vu也是方程组bAx的解；2如果21uu ,都是方程组b

45、Ax的解，那么21uu是其导出组的解. 这两条性质说明方程组bAx的解和它的导出组的解之间有关系，那么bAx的全部解与导出组的基础解系有着怎样的关系呢？2线性方程组bAx的全部解定理 3.15对于 n 元非齐次线性方程组bAx， 如果有rbARAR)()(n， 且0u是bAx的一个特解，而rnvvv,21是导出组0Ax的一个基础解系，则方程组bAx的全部解表示为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页第三章-20- rnrnvcvcvcuu22110定理告诉我们求方程组的全部解，只需要求出一个特解和导出组的基础解系.

46、 我们已经学会了求基础解系，剩下的问题是求一个特解. 其实都可以用矩阵的初等行变换. (1) 写出增广矩阵，并施以初等行变换化为阶梯形矩阵，假设rbARAR)()(，继续作初等行变换化为行最简形矩阵：000010011,1,111rrnrrrnccbbbb(2) 写出等价方程组：nrnrrrrrnrnrxbxbcxxbxbcx,11,111111(3) 假 设nr， 写 出 它 的 唯 一 解Tncccx,21；假 设nr， 令TTnrxx0,0,1，求出一个特解Trcccu0 , 0,210，以及导出组的基础解系rnvvv,21上一个小节. (4) 写出全部解：rnrnvcvcvcuu221

47、10. 3 线性方程组关于解的等价命题矩阵的秩、向量组的线性关系和方程组是否有解及有多少个解之间有着密切的联系. 如果非齐次线性方程组矩阵形式bxAnm，向量形式nnxxx2211，以下命题都是等价命题：非齐次线性方程组bxAnm有解；增广矩阵与系数矩阵的秩相等，即)()(ARbAR；向量组,21n与n,21等价；向量可以由n,21线性表示；两个向量组的秩相同，即nnRR,2121如果齐次线性方程组矩阵形式xAnm0， 向量形式nnxxx22110，以下命题都是等价命题：齐次线性方程组xAnm0有非零解；系数矩阵的秩小于未知量的个数，即nARn,21线性相关；n,21中至少有一个向量可以由其余

48、向量线性表示. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页第三章-21- 例 3.13 求齐次线性方程组的基础解系和通解：03202420432143214321xxxxxxxxxxxx解齐次方程组的方程个数小于未知量个数，有非零解 .对系数矩阵作初等行变换化为行最简形矩阵：00001351003201131224211111rA等价方程组：432313532xxxxx令自由未知量0143xx和10得到：3/53/221xx和10，所以基础解系为：1010,01353221vv方程组的通解：2211vcvc，其中21,

49、cc为任意实数 . 本例中，如果令自由未知量0343xx和10得到：5221xx和10，那么基础解系为：1010,035221vv. 例 3.14 如果321,vvv是齐次线性方程组的基础解系，证明：1133221,vvvvvv也是它的基础解系；2133221,vvvvvv不是它的基础解系. 证明确定是否为基础解系要确定三点：1 基础解系含几个解，2 是否为方程组的解，3 是否线性无关 . (1) 因 为321,vvv是 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 ， 那 么 基 础 解 系 的 线 性 组 合133221,vvvvvv是方程组的3 个解 .1100111013211332

50、21vvvvvvvvv精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页第三章-22- 又02110011101，即110011101是可逆矩阵，3321133221vvvRvvvvvvR，解向量133221,vvvvvv线性无关，所以是基础解系. (2) 110011101321133221vvvvvvvvv又0110011101，2110011101R2321133221vvvRvvvvvvR， 向量组133221,vvvvvv线性相关，不是基础解系. 例 3.15 求解线性方程组：2/132130432143214321x