2022年正余弦定理完美教案 .pdf

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1、优秀教案欢迎下载正余弦定理教案教学标题正余弦定理及其应用教学目标熟练掌握正弦定理、余弦定理的相关公式会用正余弦定理解三角形会做综合性题目教学重难点正弦定理、余弦定理的综合应用授课内容：梳理知识1正弦定理 :2sinsinsinabcRABC或变形：:sin:sin:sina b cABC. 2余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC或222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab. 3 （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）

2、两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5解题中利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin,ABC cos()cos,ABCtan()tan,ABCsincos,cossin,tancot222222ABCABCABC. 典型例题探究点一正弦定理的应用例 1(1)在 ABC 中， a3，b2，B45 ，求角 A、C 和边 c；(2)在 ABC 中， a8，B60 ，C75 ，求边 b 和 c. 解题导引已知三角形的

3、两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况具体判断方法如下：在ABC中已知a、b和A，求B. 若A为锐角，当ab时，有一解；当absin A时，有一解；当bsin Aab时，有两解；当ab时，有一解；当ab时，无解解(1) 由正弦定理asin Absin B得， sin A32. ab，AB，A60或A120.当A60时，C180456075，cbsin Csin B622；当A120时，C1804512015，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9

4、 页优秀教案欢迎下载cbsin Csin B622. 综上，A60，C75，c622，或A120，C15，c622. (2) B60，C75，A45.由正弦定理asin Absin Bcsin C，得bas in Bsin A46，casin Csin A434. b46，c434. 变式迁移1(1)在 ABC 中，若 tan A13， C 150 ，BC 1，则 AB_；(2)在 ABC 中，若 a50，b256，A45 ，则 B_. 探究点二余弦定理的应用例 2已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且a2c2b2ac. (1) 求角B的大小；(2) 若c3a，求 tan A的值解

5、(1) a2c2b2ac，cos Ba2c2b22ac12. 0B，B3. (2) 方法一将c3a代入a2c2b2ac，得b7a. 由余弦定理，得cos Ab2c2a22bc5714. 0Aa，BA，cos A1sin2A5714. tan Asin Acos A35. 方法三c3a，由正弦定理，得sin C3sin A. B3，C(AB)23A，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页优秀教案欢迎下载sin(23A)3sin A，sin23cos Acos23sin A3sin A，32cos A12sin A3sin

6、A，5sin A3cos A，tan Asin Acos A35. 变式迁移2在 ABC 中， a、b、c 分别为 A、B、C 的对边， B23，b13，ac4，求 a. 探究点三正、余弦定理的综合应用例 3在 ABC 中， a、b、c 分别表示三个内角A、B、C 的对边，如果 (a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系解方法一(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(A B) ? a2sin(AB)sin(AB) b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos B

7、sin A，由正弦定理，得sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0，sin 2Asin 2B，由 02A2 ，02Bb Baa，得 BA，由asin Absin B，得 sin Bbsin Aa256502232，0 B180B 60 或 B120 . 变式迁移 2解由余弦定理得，b2a2c22accos Ba2c22accos23a2c2ac(ac)2ac. 又a c4，b13，ac3，联立ac4ac 3，解得 a 1，c3，或 a3， c1. a 等于 1 或 3. 变式迁移 3解题导引在正弦定理asi

8、n Absin Bcsin C2R 中，2R 是指什么？ a2Rsin A， b2RsinB，c2Rsin C 的作用是什么？(1)证明在ABC 中，由正弦定理及已知得sin Bsin Ccos Bcos C. 于是 sin Bcos Ccos Bsin C0，即 sin(BC)0. 因为 BC ，从而 B C0. 所以 BC. (2)解由 A BC 和(1)得 A 2B，故 cos 2B cos( 2B) cos A13. 又 02B ，于是 sin 2B1cos22B223. 从而 sin 4B2sin 2Bcos 2B4 29，cos 4Bcos22Bsin22B79. 所以 sin 4

9、B3sin 4Bcos 3cos 4Bsin 34 27 318. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页优秀教案欢迎下载课后练习区1D2.D3.B4.B5.A 6等边三角形解析b2a2c22accos B，aca2c2ac，(ac)20，ac，又 B60 ， ABC 为等边三角形71 解析由 AC2B 及 ABC180 知， B60 . 由正弦定理知，1sin A3sin 60，即 sin A12. 由 ab 知， AB， A30 ，C180 AB180 30 60 90 ，sin Csin 90 1. 8.4解析设B

10、AD ， DAC ，则 tan 13，tan 12，tanBAC tan( )tan tan 1tan tan 1312113121. BAC 为锐角， BAC 的大小为4. 9解(1)因为 cosA22 55，所以 cos A2cos2A2135，sin A45.(4分) 又由 AB AC3 得 bccos A3，所以 bc5，因此SABC12bcsin A2.(8分) (2)由(1)知， bc5，又 bc6，由余弦定理， 得 a2b2c22bccos A(bc)2165bc20，所以 a 2 5. (12 分) 10解在ADC 中， AD10，AC14， DC6，由余弦定理得，cosADC

11、AD2DC2AC22AD DC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页优秀教案欢迎下载100 361962 10612， (6 分) ADC120 ， ADB 60 .(8 分) 在ABD 中， AD10，B45 ，ADB60 ，由正弦定理得ABsinADBADsin B，ABAD sinADBsin B10sin 60sin 45103222 5 6.(12分) 11解(1) 3b23c23a2 4 2bc，b2c2a2423bc. 由余弦定理得，cos Ab2c2a22bc223，(4 分) 又 0A ， 故 sin A1cos2A13.(6 分) (2)原式2sin A4sin A41cos 2A(8分) 2sin A4sin A42sin2A222sin A22cos A22sin A22cos A2sin2A(11 分) sin2Acos2A2sin2A72. 所以2sin A4sin B C41cos 2A72.(14分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页