2022年正弦定理余弦定理和解斜三角形教案 .pdf

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1、课题：正弦定理、余弦定理和解斜三角形（1）教案教学目的： 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明。2、掌握三角形面积公式的证明3、会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。教学重点： 正弦定理的发现和证明教学过程：（一） 、引入一、 （设置情境）复习提问： 1、三角形有哪六个元素？2、在直角三角形中，这六个元素有哪些关系？3、在直角三角形中有哪些解三角形问题？（ 1）已知两边，可以求第三边及两个角。（ 2）已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。二、 （双基回顾）直角三角形边角关系和面积公式（二） 、新课一、 （新课教学，注意情境设置）如图，设 A、B 两点在河

2、的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A 的同侧，所在的河岸边选定一点C，测出 AC 的距离是20 米，60BAC，45ACB，求 A、B 两点间的距离。 （精确到 0.1 米）转化为数学问题：在ABC中，已知60BAC，45ACB，20AC米，求AB的长。 (在三角形中， 已知两角以及一边， 如何求出另外一边？) 二、概念或定理或公式教学（推导）在ABC中,内角 A、B、C 对边的边长分别为a,b,c 问题 1：若C=90，则A的正弦与B的正弦有何关系？在ABCRt中，90C，锐角A的正弦：caAsin,cbBsin. 由上两式可求得：Aasin=Bbsin=c，即Aasin=Bbsin=1

3、cCcsin问题 2：对于一般的三角形，问题1 中所找到的关系是否成立？A C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页方法一：在一般三角形中构造直角三角形，按问题1 的方法发现正弦定理。（1）如果ABC为锐角三角形，过点A作BCAD，垂足D在BC边上 . 在ABDRt中，BcADsin，在ADCRt，CbADsin，所以Bcsin=Cbsin，即Bbsin=Ccsin.同理，在ABC中，Aasin=Bbsin从而，在锐角三角形ABC中，总有Aasin=Bbsin=Ccsin（2） 如果ABC为钝角三角形 （不妨设90

4、C） ， 过点A作BCAD， 垂 足D在BC边 上 .在ABDRt中 ，BcADsin， 在A D CRt，ACDbADsin， 所 以Bcsin=Cbsin， 即Bbsin=Ccsin. 同 理 ， 在ABC中 ，Aasin=Bbsin从而，在锐角三角形ABC中，总有Aasin=Bbsin=Ccsin. 结论：在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高CbADsin，三角形的面积：CabADaSABCsin2121， 能 否 得 到 新 面 积 公 式 ？ 三 角 形 面 积 公 式111sinsinsin222ABCSabCcaBbcA方法二：（建立坐标系）以ABC的顶点 B 为坐标原点，BC

5、 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设a,b,c分别为CBA,所对的边长， AD 为边 BC 上的高，则点C、A 的坐标分别为.sin),sin,cos(),0,(BcADBcBcaBacADBCSABCsin2121同理得：AbcSCabSABCABCsin21,sin21三、 （概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用）（1）三角形面积：等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半。即：acSABC21sinB=AbcCabsin21sin21将等式同除以abc21，得CcBbAasinsinsin（2）正弦定理：在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等。（3）在ABC中，a：b：

6、c=CBAsin:sin:sin，这是正弦定理的另一种表达形式. DABCDABCACBc( , )c cosB c sinBabDxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页四、典型例题（3 个，基础的或中等难度）例 1、在ABC中，已知60BAC，45ACB，20AC米，求AB的长。（精确到 1 米） （若已知两角和一边，解唯一确定）解：75180BACACBCBA由CBAACACBABsinsin得：75sin45sin20AB15 AB的长为 15 米。例 2、在ABC中，已知38,50,60Aba，求 B（精确到

7、1 ）和 c（保留两个有效数字） . （确定解题顺序，及解的个数）解：已知ab，所以BAB,也是锐角 . 例 3、在ABC中，已知30,8,5Aca,求BC,和b(结果保留两位小数) 解：由正弦定理得8.0530sin8sinsinaAcCACac,.8712613.53CC或当53.13C时，96.87B，sin5sin 96.879.93sinsin30aBbA当126.87C时，23.13B，sin5sin 23.133.93sinsin30aBbA. 五、课堂练习（2 个，基础的或中等难度）1、在ABC中，已知30,7 Ba，85C，求c（精确到0.01）精选学习资料 - - - -

8、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页2、在ABC中,已知,5,80,40aBA求cb,与ABC的面积 . 六、拓展探究：1、在ABC中，已知45,32,22Aba，解三角形。变式：把32b分别改为5,62bb，并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。（三） 、小结1、正弦定理：2、正弦定理可以解决的问题类型已知三角形中两角及一边，求其他元素； 已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。（四） 、作业课外作业：（6+2 填空， 3+1 选择， 3+1 解答，其中 +后面的题目可以难些用“*”注明）一、填空题1、在ABC中，AB

9、CSCba,45,8,4。2、在ABC中，,105,45,5CBa则b。3、在ABC中，30,10,5Aca，则B= 。4、在ABC中，1,60,45cCB，则最小边的边长等于。5、在ABC中，,6,2,45baA则 B= 。6、满足60A，4,6 ba的三角形有 _个. 7*、在ABC中，45,28 Ba，若满足条件的三角形有两解，则b的取值范围是。8*、在ABC中，,2, 1 ba则角A的取值范围是。二、选择题1、在ABC中，若3220,16,60ABCSbA，则c的值是（）A、40 B、 25 C、55 D、49 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

10、 - - - -第 4 页，共 6 页2、在ABC中，若Abasin23，则B为（）A、323或B、6C、3D、656或3、在ABC中，30,100,80Aba，则B的解的个数是（）A、 0个B、1 个C、 2个D、不确定4*、在 ABC 中， sinAsinB 是 AB 的（）条件A、 充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、非充分非必要条件三、解答题1、已知平行四边形ABCD中，30,120,20ADBAB，求平行四边形ABCD的面积。2、在ABC中，30,3,4Bba，求2tanA的值。3、在ABC中，Aacos=Bbcos=Cccos. 试用正弦定理证明：ABC是等边三角形 .

11、 4*、在ABC中，若60,2:5sin:sinBCA，且390ABCS，求ca,。四、双基铺垫1、2、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页正弦定理、余弦定理和解斜三角形（1）课外作业答案一、填空题1、28；2、25；3、60； 4、365、60或120；6、0 ；7、28214b；8、6, 0(二、选择题1、 C ；2、 A ；3、C 4、C ； （简单过程）三、解答题1、解：S=33002、解：由32sinsinbBaA，ba，35cos AAAAsi nc o s12t a n，2532tanA3、证明：可得CBAtantantan得证4、解：2321,2:5:acca903，12,30 ca四、双基铺垫1、2、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页