最新同济大学第五版高等数学(下)课件D86几何中的应用幻灯片.ppt

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1、复习复习: 平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程0yy 法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在点),(00yx切线方程法线方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在点有有因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程

2、0)(),(),(0zzMyxGF机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求曲线0,6222zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. MzyGF),(),(切线方程121zyx解法解法1 令,222zyxGzyxF则即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz6机动 目录 上页 下页 返回 结束 6),(),(MyxGF)6,0, 6(T法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zx机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxzzxyydddd解法解法2. 方程组两边对 x 求导, 得1ddddxzxy1111d

3、dzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量011机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1,0, 1(T0),(:zyxF二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(, )(, )(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0 . 则 在, )(, )(, )

4、(:tztytx且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. )(, )(, )(000tttTMT证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令

5、nT 切向量由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量n的平面上 , 从而切平面存在 .n)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 )( ),(000 xxyxfx曲面时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数 ),(yxf),

6、(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx特别特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,法向量法向量用2211cosyxff将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.为锐角则分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx复习 目录 上页

7、 下页 返回 结束 例例3. 求球面3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n例例4. 确定正数 使曲面zyx222zyx在点),(000zyxM解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又

8、点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z21. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(000tttT切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(

9、),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2) 一般式情况.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xxMxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0 zz机动 目录 上页 下页 返回 结束 T空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzz

10、yxFz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 显式情况.法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 ,(yxffn思考与练习思考与练习1. 如果平面01633zy

11、x与椭球面相切,提示提示: 设切点为, ),(000zyxM则223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 162 z(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)证明 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点, ),(000zyxM则通过此0zz 作业作业 P45 2，3，4，5，8，9，10)(0 xxxzM)(0yyyzM2. 设 f ( u ) 可微,第七节 目录 上页 下页 返回 结束 证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为 1. 证明曲面0),(ynzymxF

12、与定直线平行,.),(可微其中vuF证证: 曲面上任一点的法向量,1F, )()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为,m,1)n则(定向量)故结论成立 .的所有切平面恒备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 (n(l,0nl2. 求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即与法平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl28 结束语结束语