2022年一元二次方程的四种解法 .pdf

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1、精品资料欢迎下载龙文教育个性化辅导教案提纲教师:陈燕玲学生:年级 九日期: 星期: 时段: 课 题一元二次方程的概念及解法学情分析教学目标与考点分析1.掌握一元二次方程的概念及其一般形式，能指出一元二次方程的各项及其系数。 2 能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。教学重点难点教学重点 : 掌握常用四种一元二次方程的解法。教学难点 : 灵活选用适当方法解一元二次方程教学方法讲解法合作探究法教学过程一、一元二次方程的概念：问题（ 1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的

2、正方形边长为x，那么原来长方形长是_，宽是 _，根据题意，得：_整理，得： _归纳：（1）只含一个未知数x； （2）最高次数是2 次的；（3）?整式方程因此， 像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理， ?都能化成如下形式ax2+bx+c=0 （a 0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0 （a0）后，其中ax2是二次项， a是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数；c 是常数项例 1将方程3x（x-1）=5(x+2)

3、化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项注意 :二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例 2将方程（ x+1）2+（x-2） （x+2）=?1 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项练习 :判断下列方程是否为一元二次方程？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载(1)3x+2=5y-

4、3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2(5) ax2+bx+c=0 例 3求证：关于x 的方程（ m2-8m+17）x2+2mx+1=0 ，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程练习 :一、选择题1在下列方程中，一元二次方程的个数是（） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （ x-2） （x+5）=x2-1 3x2-5x=0 A1 个B2 个C 3 个D4 个2方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（） A2，3，-6 B2，-3， 18 C2， -3，6 D2，3，6 3px2-3x+p2-q=0 是关于

5、x 的一元二次方程，则（） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp 为任意实数二、填空题1方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为 _2一元二次方程的一般形式是_3关于 x 的方程（ a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则a 的取值范围是_三、综合提高题1、a 满足什么条件时，关于x 的方程 a（ x2+x）=3x-（ x+1）是一元二次方程？2、关于 x 的方程（ 2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？3、方程（ 2a4）x2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？4、当 m 为何值时 ,方程

6、(m+1)x4m-4+27mx+5=0 是关于的一元二次方程二、一元二次方程的解：复习：方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 （只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例 1下面哪些数是方程2x2+10 x+12=0 的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2， 3，4例 2.若 x=1 是关于 x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a 0)的一个根 ,求代数式 2007(a+b+c)的值练习 :关于 x 的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0 的一个根为0,则求 a的值例 3你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

7、- - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 三、一元二次方程的解法（一） 、直接开平方法问题 1填空（1） x2-8x+_= （x-_）2； （ 2）9x2+12x+_= （ 3x+_）2； （3）x2+px+_= （x+_）2问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？方程 x

8、2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=3，如果 x 换元为 2t+1，即（ 2t+1 ）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？例 1：解方程： (1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1 例 2市政府计划2 年内将人均住房面积由现在的10m2提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程?这种思想称为“降次转化思想” 由应用直接开平方法解形如x2=p （p0） ， 那么 x=p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（ p0） ，那么 mx+n= p，达到降次转化之目

9、的若p 0则方程无解练习：一、选择题1若 x2-4x+p=（ x+q）2，那么 p、q 的值分别是（） Ap=4，q=2 Bp=4， q=-2 C p=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程 3x2+9=0 的根为（） A3 B-3 C 3 D无实数根二、填空题1若 8x2-16=0，则 x 的值是 _2如果方程2（ x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_3如果 a、b 为实数，满足34a+b2-12b+36=0，那么 ab 的值是 _三、综合提高题1解关于 x 的方程（ x+m）2=n（二） 、配方法1、解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x

10、2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7 上面的方程都能化成x2=p 或（ mx+n）2=p（p 0）的形式，那么可得x=p或 mx+n= p（p 0） 如： 4x2+16x+16= （2x+4）2 ,你能把 4x2+16x=-7 化成（ 2x+4）2=9 吗? 2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下

11、载转化：x2+6x-16=0 移项 x2+6x=16 两边加（ 6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 x2+6x+32=16+9 左边写成平方形式 （x+3）2=?25 ?降次 x+3=5 即 x+3=5 或 x+3=-5 解一次方程x1=2，x2= -8 可以验证： x1=2，x2= -8 都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为 8m. 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法 通过配方使左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：

12、(1)将方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为 (x+p)2=q 的形式，如果q 0，方程的根是x=-p q；如果 q0,方程无实根例 1用配方法解下列关于x 的方程（1）x2-8x+1=0 （ 2）x2-2x-12=0 例 2解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （ 3） （1+x）2+2（1+x）-4=0例 3 求证 :无论 y 取何值时 ,代数式 -3 y2+8y-6 恒小于 0 例 4、用配方法解方程：ax2+bx+c=0 （a0）练习：一、选择题1将

13、二次三项式x2-4x+1 配方后得（） A （x-2）2+3 B （x-2）2-3 C （x+2）2+3 D （x+2）2-3 2已知 x2-8x+15=0 ，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（） 3如果 mx2+2（3-2m）x+3m-2=0 （m0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（） A1 B -1 C 1 或 9 D-1 或 9 4配方法解方程2x2-43x-2=0 应把它先变形为（） A （x-13）2=89B （x-23）2=0 C （x-13）2=89D （x-13）2=1095下列方程中，一定有实数解的是（） Ax2+1=0 B （2x+1 ）2=0 C

14、 （2x+1 ）2+3=0 D （12x-a）2=a 6已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0 ，则 x+y+z 的值是（） A1 B2 C-1 D-2 二、填空题1方程 x2+4x-5=0 的解是 _2代数式2221xxx的值为 0，则 x 的值为 _名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载3如果 16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么 x 与 y 的关系是 _4

15、已知（ x+y） （x+y+2 ）-8=0，求 x+y 的值，若设x+y=z，则原方程可变为_，?所以求出z 的值即为 x+y 的值，所以x+y 的值为 _三、综合提高题1用配方法解方程（1）9y2-18y-4=0 （ 2）x2+3=23x 2已知： x2+4x+y2-6y+13=0 ，求222xyxy的值3已知三角形两边长分别为2 和 4，第三边是方程x2-4x+3=0 的解，求这个三角形的周长4如果 x2-4x+y2+6y+2z+13=0，求（ xy）z的值5、求证： 无论 x、y 取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16 的值总是正数（三）公式法由上 例 4 可知，一元二次方程ax

16、2+bx+c=0 （a 0）的根由方程的系数a、b、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 ，当 b2-4ac 0 时， ?将 a、b、c 代入式子 x=242bbaca就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 例

17、 1用公式法解下列方程（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-2x+ 12=0 例 2某数学兴趣小组对关于x 的方程（ m+1）22mx+（m-2）x-1=0 提出了下列问题若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程应用公式法解一元二次方程的步骤: 1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0. 2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算 b2-4ac，若结果为负数，方程无解，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

18、 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。练习：一、选择题1用公式法解方程4x2-12x=3，得到（） Ax=362Bx=362Cx=32 32Dx=32 322方程2x2+43x+62=0 的根是（） Ax1=2，x2=3Bx1=6，x2=2C x1=22，x2=2Dx1=x2=-63 （m2-n2） （ m2-n2-2）-8=0，则 m2-n2的值是（） A4 B -2 C4 或-2 D-4 或 2 二、填空题1一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的求根公式是_，条件是 _2当

19、 x=_时，代数式x2-8x+12 的值是 -43若关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0 有一根为0，则 m 的值是 _三、综合提高题1用公式法解关于x 的方程： x2-2ax-b2+a2=02设 x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba，x1 x2=ca；（2）?求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22） +c（x1+x2）的值四、因式分解法 : 例题：Eg1、3x25x=0Eg2、025)2(10)2(2xxEg3、0)4()52(22xxEg4、0542xxEg5、04)23(5)23(2xxEg6 E

20、x1、(1 2)x2=(1+2)x ex2、22)52()2(xxex3、0)1(2)1(2xxxex4、2x2+7x=4 06)32(22xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载五、选用适当的方法 : 2(x 1)2=8 2x2+4x=0 22510 xx0812x4(2x+1)2=3(4x21) 5)3)(1(xx03722xx(x 5)(x+3)+(x2)(x+4)=49(x2

21、x+1)(x2x+2)=12 0223)12(22xxxx3122x2+12x15=0 六、综合题 : 1、已知 x23xy4y2+0144222yxyx=0，求 3x+6y 的值。2、方程 , m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解。教学反思01) 3()1(12xmxmm名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载三、本次课后作业：四、学生对于本次课的评价： 特别满意 满意 一般 差学生签字：五、教师评定：1、学生上次作业评价：非常好好 一般 需要优化2、学生本次上课情况评价：非常好好 一般 需要优化教师签字：教务主任签字：_ 龙文教育教务处名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -